障板對于平板聲輻射特性的影響分析

劉 寶，王德石，朱擁勇

(海軍工程大學 兵器系，武漢 430033)

工程實際中采用的許多結構可以近似看成為一個有限大的薄板，求解其輻射效率，聲功率等聲輻射特性受到了工程界的廣泛關注。分析薄板的聲輻射特性時，通常采用簡支矩形板作為求解模型。不僅由于簡支矩形薄板的振動模態(tài)表示簡單，方便采用解析解表示其表面振速和聲輻射特性參數(shù)，而且其解析解可以與數(shù)值計算方法如有限元法等做比較，揭示結構聲輻射的一般規(guī)律。

早期研究簡支矩形薄板的聲輻射特性時，通常是將其置于無限大的障板上，這時只需要計算單層勢，且積分項呈現(xiàn)弱奇異性，可以簡化計算的復雜性。20世紀60年代，Maidanik首先提出了簡支矩形板聲輻射阻的近似方程，為后來的研究者提供了理論基礎[1]。Wallace隨后采用對遠場聲強進行積分，推導出了聲輻射阻的一系列近似積分方程，成功求解出了吻合頻率一下結構的模態(tài)聲輻射功率[2]。Heckl在波數(shù)段內(nèi)利用傅里葉變換研究分析了板的聲輻射問題[3]，Leppington得出了幾種近似方程求解大波數(shù)域振動模態(tài)輻射效率[4]。但是上述學者忽略了交叉模態(tài)對結構輻射聲功率的影響。為此，Snyder和Tanaka利用模態(tài)輻射效率，考慮模態(tài)之間的耦合，計算出了低頻時結構的輻射聲功率[5]。Li和Gibeling采用積分變換的方法將結構的聲輻射阻從四重積分形式轉(zhuǎn)換為二重積分的形式，并成功的化為了一重積分的形式，求出了自輻射阻、互輻射阻及結構的輻射聲功率[6–7]。對于水下平板的聲輻射問題，由于需要考慮流體對結構的作用，因此可以歸結為聲振耦合問題。Crighton分析了點激勵作用下無限大板在水中的聲輻射[8–9]，Leibowitz提出了有限大板在水中聲學特性的計算方法[10]。M.L.Rumerman研究了水荷載的存在對聲輻射效率產(chǎn)生的影響[11]，B.E.Sandman進一步通過實驗驗證了求解流體載荷作用下板振動和聲輻射問題的理論的正確性[12]。

然而在實際的工程當中，無限大的障板是不存在的，因此需要研究無障薄板的聲輻射特性。Williams采用快速傅里葉變換（FFT），由迭代運算給出了簡支無障薄板在空氣中的聲壓，然而在計算高階模態(tài)的聲輻射阻抗時收斂性較差[13]。Atalla等采用Kirchhoff-Helmholtz積分方程計算了空氣中任意邊界條件下無障板的聲輻射特性參數(shù)，然而在計算聲壓時忽略了平板兩側(cè)壓力脈動的影響，在高頻計算中誤差較大[14]。Oppenheimer和Dubrowsky利用實驗對有障薄板的聲輻射參數(shù)修正，給出了計算無障薄板聲輻射的經(jīng)驗公式[15]。

本文分析比較有障板和無障板的聲輻射特性，由邊界積分方程，分別推導有障板和無障板的聲壓積分方程，根據(jù)交界相容性條件，獲取二重積分形式的平板表面聲壓和振速。進一步將結構的動力方程代入有障板和無障板形式的振速方程中，離散聲壓差值和板的位移為振動模態(tài)疊加的形式，獲得二重積分形式的聲輻射阻抗，從而求解振動模態(tài)系數(shù)，確定聲輻射特性參數(shù)。以水下簡支矩形板為例計算對比了聲輻射參數(shù)，分析障板對薄板聲輻射特性的影響。

1 平板動力學與聲學基本方程

本文研究簡支矩形薄板的聲輻射特性。設板的密度為ρs，它長度分別為a、b，板的中心面與z=0平齊。有一個垂直于板面的激勵力F(x,y)施加于上面，簡諧角頻率為ω，模型如圖1所示。則由經(jīng)典動力學可知，薄板的橫向振動方程為

式中：B=Eh3/12(1-v2)為板的彎曲剛度，E為板的彈性模量，ν為板的泊松比?！?ρsh表示板單位面積的質(zhì)量。w(x,y)是板的橫向位移。

圖1 簡支矩形板及坐標系示意圖

簡支矩形板的位移可以表示為如下振動模態(tài)的疊加

式中：Amn是振動模態(tài)系數(shù)，φmn(x,y)是模態(tài)形函數(shù)，表 示 為φmn(x,y)=sin(mπx a)sin(nπy b) 。 令Lm=mπ/a，Ln=nπ/b，則φmn(x,y)=sin(Lmx)sin(Lny)。

同樣，外力也可以表示為如下形式

式中：Fmn為相應于模態(tài)函數(shù)φmn(x,y)的幅值。Δp(x,y)表示板上下表面產(chǎn)生的聲壓差值，可以表示為(x,y)為作用于薄板下表面的聲壓，p+(x,y)為作用于薄板上表面的聲壓。

平板在介質(zhì)中的聲壓滿足經(jīng)典的Helmholtz積分方程，表示為

式中：p(x,y)為介質(zhì)中任一點處的聲壓，k為波數(shù)，k=ω/c，c為聲速，?2為Laplace算子。

由Euler方程，交界相容性條件為

式中：ρf為介質(zhì)的密度。

應用Kirchhoff-Helmholtz積分公式到一個包圍板結構的無限大空間中，空間任一點M0的聲壓可以表示為

式中：C(M0)為聲壓系數(shù)，當M0位于結構外部空間取1，當M0位于光滑結構表面取12。分別稱等號右側(cè)第一項和第二項為單層勢和雙層勢。nM表示結構表面的外法線方向，G(M,M0)為自由空間的格林函數(shù)，滿足如下方程

式中：δ為Delta函數(shù)，(x,y,z)為M點坐標，(x0,y0,z0)為M0點坐標。G(M,M0)為自由空間的格林函數(shù)，表示為

式 中 ：表 示 空 間 一 點(x′,y′,z′)到板面一點(x,y,z)的距離。對上式進行二維Fourier積分變換，格林函數(shù)的另一種可以表達式為

式中：kx、ky是二維波數(shù)空間中的Fourier變量，。為了保證當 ||z-z0趨近于無窮時，格林函數(shù)G(M,M0)為有限數(shù)值，kz取為如下的形式

薄板上下表面法線方向相反，為此統(tǒng)一格林函數(shù)偏導方向為z軸正方向。由于聲源位于結構表面，表面積分方程變?yōu)閷l的積分（Sl為全部的S+和S-），如圖2所示。

圖2 簡支板橫截面圖

2 有障板聲輻射計算方程

對于有障板來說，由于(7)式中?G?nM為0，板結構上方一點r處產(chǎn)生的聲壓等于板面所有點對該點聲壓貢獻的積分，從而式(7)可以化為

式中表示空間一點(x′,y′,z′)到板面一點(x,y,z)的距離。將式(12)代入式(1)，可得

由式(2)可知，矩形板的的撓度w可以表示為振動模態(tài)的線性疊加的形式，則代入式(13)可得

從式(14)可以看出每一個振動模態(tài)都會引起表面的壓強變化。對式(14)在板面上進行Fourier逆變換，可得

式中：L2mn=L2m+L2n。

Zpqmn被定義為(pq,mn)階聲輻射阻抗。通過坐標變換令可以轉(zhuǎn)化為二重積分形式，表示為

由坐標變換，可以方便地轉(zhuǎn)化聲輻射阻抗為二重積分的形式，將變換后的聲輻射阻抗代入式(15)，表示成矩陣形式為

式中：K為剛度矩陣，，R為阻抗矩陣，矩陣中的每一個元素為Rpqmn=4 iωρfcZpqmn，M為質(zhì) 量 矩 陣 ，，F(xiàn)為 外 力 列

由于上述矩陣中的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣已知，聲輻射矩陣可以通過二重積分運算獲得，則通過矩陣的求逆運算就可以獲得振動模態(tài)系數(shù)矩陣A，進而可以求解板結構在重介質(zhì)中的表面振速、聲輻射功率等問題。

3 無障板聲輻射計算方程

為了計算空間一點M0點處的聲壓，M0點的位置需要確定，式(10)中的格林函數(shù)可以表示為

則對于空間中任一點M0，式(7)可以離散為

式中：S+、p(M+)、v(M+)表示板上表面及其表面一點M+處的聲壓和振速，S-、p(M-)、v(M-)表示板下表面及其表面一點M-處的聲壓和振速。當板面很薄時，單層勢項消失，即

且薄板中，近似看作相同，式(19)可以化為

式中：M為板表面任一點，(M,M0)表示沿z軸正方向進行的偏導。將式(1)代入式(21)，可得M0處的聲壓表達式為

由Euler公式，對式(22)兩邊在板面上求偏導，可得

式(23)建立了關于板表面位移w(x,y)的求解方程。對位移項w(x,y)，外力F進行振動模態(tài)展開，可得

對于作用于點(x0,y0)的點力F，F(xiàn)mn可以表示為

式中：F0為點力的幅值。

由振動模態(tài)的正交性，式(24)可以化簡為

式中：，表示簡支矩形板第(m,n)階固有角頻率的平方。系數(shù)交換格林函數(shù)與結構表面積分的順序，可以將βpqmn表示為

式中：?pq為pq的共軛復數(shù)形式的 Fourier變換，可以表示為

當m、p同為奇數(shù)或偶數(shù)并且n、q同為奇數(shù)或偶數(shù)時，βpqmn不等于零，否則為零。利用被積函數(shù)積分的對稱性，進一步化簡可得βpqmn可以化為如下形式

當確定了βpqmn元素后，Amn可以利用式(26)求解，矩陣形式表示為為

式中：β為βpqmn所形成的矩陣，Ω矩陣表示為

參考上節(jié)有障板聲輻射計算方程中對于聲輻射阻抗的定義，則無障板的聲輻射阻抗表示為

4 數(shù)值分析

平板產(chǎn)生的輻射聲功率可以表示為

式中：Re表示復數(shù)的實部，v*為v的共軛復數(shù)形式。

將聲壓差值Δp，振速v*進行振動模態(tài)展開，可知

表面均方振速v2和聲輻射效率σ分別表示為

設板長為a=1 m，寬為b=1.2 m，板厚h為級和均方振速級均取為10-12。0.01 m，水中聲速為c=1400 m/s，不考慮板阻尼，參考聲功率Wf=10-12W。在平板中心處處受到一個法向激勵力作用，幅值為1 N。圖3－圖5分別為薄板聲輻射功率，均方振速和聲輻射效率的比較圖，參考聲功率

圖3 平板聲功率級比較

圖4 平板均方振速級比較

圖5 薄板輻射效率比較

由圖3可知，障板的存在導致聲輻射阻抗不同，從而引起了結構的共振頻率發(fā)生改變，障板的存在導致結構的共振頻率進一步降低，且引起結構的聲輻射功率增加。這是由于障板存在時，平板由于表面振動壓縮一側(cè)的介質(zhì)不能向另一側(cè)稀疏態(tài)的介質(zhì)流動，致使結構振動產(chǎn)生的能量更有效地轉(zhuǎn)化為聲能，從而增加了聲輻射的能量，因此在相同頻率下，有障板的輻射功率和效率都高于無障板的輻射功率和效率。有障板的輻射類似于單極子的聲輻射，而無障板的聲輻射則類似于偶極子產(chǎn)生的輻射。有障板的聲輻射阻抗要高于無障板，聲輻射抗相當于在結構表面附加質(zhì)量，因此從圖4中可以看出，總體上有障板的均方振速要低于無障板的均方振速。

5 結語

由平板模型，采用邊界積分方程分別建立了有障板和無障板的聲輻射計算公式，分析了它們各自的聲輻射阻抗，并比較了有障板和無障板的輻射聲功率，輻射效率和均方振速。從而可以得出：

(1)障板的存在致使結構的聲輻射功率和效率得到提高，類似于將結構的偶極子輻射轉(zhuǎn)換為了單極子輻射

(2)障板的存在也改變了結構在重介質(zhì)中的共振頻率，致使結構的共振頻率降低。

(3)總體而言，有障板的均方振速要低于無障板的均方振速。

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