漸開線齒輪齒頂厚理論計算分析

朱陳嘉，李 虎

（上海振華重工（集團(tuán)）股份有限公司，上海 200125）

0 引言

一對漸開線齒輪嚙合是由其齒頂和齒根共同參與完成，為了保證齒頂強(qiáng)度就要保證必要的齒頂厚，一般要求齒頂厚Sa≥0.25m，對于表面淬火的齒輪，則要求Sa＞0.4 m[1]，如圖1所示。通常標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒頂厚大多能滿足這一要求，而變位齒輪由于其齒頂厚Sa隨著正變位系數(shù)x的增大而減小，即齒頂變尖，齒頂厚度變薄。所以變位系數(shù)過大時，特別是當(dāng)齒數(shù)較少時，會導(dǎo)致齒頂厚度不能滿足要求，造成齒頂部分強(qiáng)度和剛性的削弱，尖銳處易刮傷齒面，影響齒輪的正常嚙合，甚至在齒輪加工方面無法進(jìn)行齒頂修緣。通過三維建模研究齒輪齒頂厚，將齒頂厚測量結(jié)果和理論計算結(jié)果進(jìn)行分析，該分析計算可以為齒輪齒頂厚的設(shè)計和測量提供技術(shù)支持和指導(dǎo)作用。

圖1 齒頂厚

1 齒頂厚的驗(yàn)算公式

其中：da為齒輪齒頂圓直徑；a為齒輪分度圓壓力角；aa為齒輪齒頂壓力角；aa為 arccos（db/da）.

通過公式可以看出：對于直齒輪齒頂厚計算可以直接將齒輪參數(shù)帶入公式計算得到，而由于斜齒輪存在法面參數(shù)和端面參數(shù)，所以在利用該公式計算斜齒輪齒頂厚時需注意帶入的參數(shù)是否合理。

2 漸開線齒輪三維造型

2.1 漸開線方程

在對齒輪進(jìn)行三維造型時，必須保證造型出的實(shí)體齒形是一條接近真實(shí)漸開線齒廓的曲線。根據(jù)漸開線的生成原理，可推導(dǎo)出漸開線方程（2）如下[2]：

其中：rb為齒輪的基園半徑；φ為漸開線發(fā)生線與基圓的切點(diǎn)至原點(diǎn)的連線與漸開線的起點(diǎn)與原點(diǎn)連線的夾角，如圖2所示∠AOB.

圖2 漸開線形成

2.2 標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪三維造型

2.2.1 編寫齒輪參數(shù)計算表

根據(jù)漸開線齒輪的計算公式編寫齒輪設(shè)計參數(shù)表，并按照漸開線方程（2）在excel中計算出齒形漸開線節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)。

2.2.2 Inventor草圖

如圖3所示：在Inventor草圖環(huán)境中通過“導(dǎo)入點(diǎn)”生成漸開線坐標(biāo)點(diǎn)，以樣條曲線連接，然后以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心分別作出齒輪的基圓、分度圓及齒頂園（基圓、分度圓及齒頂圓大小均在齒輪設(shè)計參數(shù)表中計算得出）。

圖3 齒形漸開線

圖4 齒形草圖

齒輪的齒形是由兩條對稱的漸開線組成，根據(jù)這一特點(diǎn)以漸開線與齒輪分度圓交點(diǎn)為端點(diǎn)作分度圓的一條弦，如圖4所示，定義弦長（弦長由公式（3）計算所得），連接弦的中點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)即為齒形的對稱中心線，通過“鏡像”即可得到另一側(cè)漸開線齒形。

分度圓弦齒厚公式：

2.2.3 Inventor三維造型

齒形草圖完成后通過“拉伸”和“環(huán)形陣列”即可生成直齒輪模型。如圖5所示。

圖5 三維標(biāo)準(zhǔn)直齒齒輪

2.3 漸開線變位直齒輪三維造型

根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊中齒輪基圓的計算公式可知基圓大小取決于模數(shù)、齒數(shù)和壓力角的大小。而齒輪漸開線的形狀取決于基圓的大小，可知直齒輪變位后，由于基圓不變，其齒形與標(biāo)準(zhǔn)齒輪同屬一條漸開線。根據(jù)變位的原理，齒輪的分度圓不變，齒頂圓發(fā)生變化，即變位齒輪相對于標(biāo)準(zhǔn)齒輪僅漸開線應(yīng)用的區(qū)段發(fā)生變化，正變位齒輪應(yīng)用曲率半徑較大的一段漸開線，而負(fù)變位齒輪應(yīng)用曲率半徑較小的一段漸開線[3]。

綜上所述直齒變位齒輪的三維造型可按對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)齒輪參數(shù)生成漸開線，借助變位后的分度圓弦齒厚作出齒形對稱中心線，再用變位后的齒頂圓截取漸開線得到的齒形即為變位后的齒形。然后通過拉伸和陣列即可得到變位齒輪的三維模型。

2.4 斜齒輪三維造型

斜齒輪與直齒輪相比存在著螺旋角β，因而斜齒輪具有端面參數(shù)與法面參數(shù)。在斜齒輪幾何尺寸計算過程中通常按照端面參數(shù)計算，端面參數(shù)可通過法面參數(shù)與螺旋角β之間的關(guān)系換算得出。

斜齒輪的端面齒形是以端面參數(shù)為準(zhǔn)的漸開線[4]。故斜齒輪端面齒形草圖可以以端面參數(shù)為準(zhǔn)按照標(biāo)準(zhǔn)直齒齒形作圖，根據(jù)2.3漸開線變位直齒輪三維造型分析，變位斜齒輪的端面齒形草圖同樣可按照標(biāo)準(zhǔn)齒形草圖作圖。斜齒輪具有螺旋角β，在Inventor中端面齒形完成后需要通過“螺旋掃略”功能造出齒形。如圖6所示：螺旋線軸線過齒輪端面圓心且垂直于齒輪端面，螺旋線起點(diǎn)為分度圓與兩條齒形漸開線對稱中心線的交點(diǎn)。最后通過“環(huán)形陣列”即可生成斜齒輪模型。

圖6 斜齒輪螺旋線

3 公法線校對

為了驗(yàn)證上述的齒輪造型方法是否準(zhǔn)確，可用漸開線齒輪的公法線長度進(jìn)行校對。漸開線齒輪的公法線長度是指與兩個異側(cè)齒面相切的兩平行平面間的距離Wn，可根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊中公式計算可得：

圖7為m=5，z=36的標(biāo)準(zhǔn)齒輪，根據(jù)公法線的定義作圖測量出公法線長度Wn=68.944 mm，與計算表中的計算值相等。圖 8為m=5，z=36，x=0.55的變位齒輪，根據(jù)公法線的定義作圖測量出公法線長度Wn=70.825 mm，與計算表中的計算值相等，故可說明上述2.2標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪和2.3漸開線直齒變位齒輪的造型方法是可行的。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)齒輪公法線

圖8 變位齒輪公法線

4 三維造型齒頂厚測量與公式計算值對比

按照前述的漸開線齒輪造型方法，建出不同參數(shù)的齒輪實(shí)體，利用Inventor自帶的測量工具在三維實(shí)體上量出齒形厚度值與通過漸開線齒輪齒頂厚計算公式（1）得到的計算值進(jìn)行比較。

表1~表4中的“實(shí)體測量”值為三維實(shí)體造型測量出的齒頂厚，“公式計算”值為通過公式（1）所得到的齒頂厚，“差值”即為兩者的差的絕對值。

表 1 標(biāo)準(zhǔn)齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35）

表 2 直齒變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°）

由表1和表2可看出，通過三維實(shí)體測量和公式計算出的齒頂厚結(jié)果是一致的。故在今后的設(shè)計計算中直齒輪的齒頂厚可直接通過公式計算得出。

根據(jù)齒頂厚計算公式可以看出，對于無變位的齒輪齒頂厚計算公式等同于：

利用公式（4）計算斜齒輪齒頂厚時，公式中的參數(shù)均為斜齒輪端面參數(shù)。從表3可以看出，通過三維實(shí)體測量和公式計算出的齒頂厚結(jié)果是一致的。

表 3 斜齒無變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，β=15°）

在利用公式（1）計算斜齒變位齒輪中，存在兩種計算方法：一是在計算時公式中分度圓壓力角α帶入端面參數(shù)計算；二是在計算時帶入法面值計算。然后將兩組計算值與實(shí)體測量值比較，通過表4可以看出：實(shí)體測量值更接近以端面參數(shù)計算的值，以法面參數(shù)的計算值與實(shí)際測量值比較偏差值明顯較大。偏差值百分比如圖9所示，以端面參數(shù)代入計算時平均偏差為1.2%，以法面參數(shù)代入計算時平均偏差為6.6%.

表 4 斜齒變位齒輪：（ha＊=1，c＊=0.35，α=20°，β=15°）

圖9 偏差百分比曲線圖

5 結(jié)論

本文分析了齒輪齒形漸開線成形原理，求得齒形漸開線的平面坐標(biāo)方程，利用Inventor軟件對標(biāo)準(zhǔn)齒輪、直齒變?yōu)辇X輪、斜齒無變位齒輪和斜齒變位齒輪進(jìn)行三維建模。通過對模型的測量與計算分析可以看出，在運(yùn)用齒輪齒頂厚公式計算時，選擇端面參數(shù)計算比選擇法面參數(shù)計算更接近三維模型的測量值。以上結(jié)果為運(yùn)用公式計算齒頂厚時提供了理論依據(jù)。

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