基于能量法柔性樁復(fù)合地基的沉降計算

張可能 ，吳有平 , ，何杰，劉杰，胡達 ，張云毅

(1. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 有色資源與地質(zhì)災(zāi)害探查湖南省重點實驗室，湖南 長沙，410083；3. 中國電建集團中南勘測設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙，410014；4. 湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲，412008)

工程中常用的復(fù)合地基沉降計算是將沉降分為加固區(qū)壓縮量和下臥層壓縮量2部分進行計算。采用分層總和法來計算下臥層壓縮量，計算值與實測值較吻合。對于加固區(qū)的計算，許多研究者提出不同計算方法獲得精確結(jié)果。在剛性樁復(fù)合地基沉降計算方面，自POULOS等[1?2]采用彈性理論計算有限彈性地層樁基沉降以來，研究者不斷進行修正，如：沈偉等[3]考慮了樁、土、墊層的相互作用；仇亮等[4]以剪切位移法為基礎(chǔ)，考慮了樁周摩阻力與樁土相對位移之間滿足彈塑性關(guān)系；張乾青等[5]考慮側(cè)阻軟化和端阻硬化，提出了剛性樁復(fù)合地基的沉降計算公式。在柔性樁復(fù)合地基沉降計算方面，RANDOLPH等[6]提出采用樁土相互作用系數(shù)求解沉降的半解析法；LEE[7]在此基礎(chǔ)上提出了簡單而實用的完全解析解。日本建筑工程協(xié)會(JICE)[8]對懸浮樁提出按不同增強面積比α分2種情況進行計算，但其計算值較粗略；CHAI 等[9]對該法進行改正，引入α和β函數(shù)對樁加固層進行較精確描述；ISHIKURA等[10]采用簡化的應(yīng)力分布比計算樁土界面處剪切力，并引入1個簡單的函數(shù)描述不同工況下的計算參數(shù)，計算結(jié)果與足尺試驗結(jié)果相吻合。李海芳等[11]假設(shè)土體為性彈性體，并采用ALAMGIR等[12]建議的典型單元體的位移模式，考慮樁土相互作用，提出路堤荷載下復(fù)合地基加固區(qū)壓縮量的解析算法；章定文等[13]考慮樁土非等應(yīng)變，提出簡化的樁土應(yīng)力比和樁土差異沉降兩階段模型，進而求出樁體和樁間土沉降量。ISHIKURA等[14]采用基于樁側(cè)摩阻力的應(yīng)力分布比來估算水泥土樁復(fù)合地基固結(jié)沉降?；谀芰渴睾阍淼哪芰糠ǎ梢杂脕矸治鲇嬎憧勺冃喂腆w的位移、變形和內(nèi)力，為沉降計算提供新的思路。SHEN等[15]采用最小勢能原理分析了樁群與樁帽的相互作用。鄭俊杰等[16]利用參變量最小勢能變分原理，推導(dǎo)出復(fù)合地基復(fù)合模量的解析解。劉思思等[17]建立了樁身單元的能量平衡方程及考慮樁身與土層能量傳遞過程的樁側(cè)阻與端阻模型，并求解獲得基樁沉降。楊雨晴等[18?19]利用能量法對基樁樁身軸力與位移進行求解，從而得到高承臺樁基沉降計算方法。目前，人們對沉降計算的研究存在的主要不足是將樁或土體假設(shè)為彈性體，這顯然與實際情況不符。為此，本文對樁與土體的本構(gòu)關(guān)系引入非線性模型。樁土荷載的分擔(dān)值是求解沉降的先決條件，直接影響計算結(jié)果，但真實樁土荷載下產(chǎn)生的位移使得系統(tǒng)總勢能達到極值。本文作者采用修正劍橋模型計算樁間土的壓縮量，同時引入柔性樁應(yīng)力?應(yīng)變特性曲線計算樁體壓縮量，考慮樁側(cè)摩阻力與樁土相對位移滿足彈塑性關(guān)系建立方程，進行沉降分析計算。在對模型進行適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出加固區(qū)樁身及樁周土能量方程表達式，建立柔性樁復(fù)合地基的系統(tǒng)總勢能表達式，基于最小勢能原理獲得樁土的荷載分擔(dān)比，進而計算得出加固區(qū)壓縮量，為復(fù)合地基沉降計算提出一種新的計算方法。

1 復(fù)合地基計算模型

1.1 樁土相互作用模型

圖1 樁土相互作用示意圖Fig. 1 Schematic diagrams of pile-soil interaction

在復(fù)合地基中，褥墊層對樁土應(yīng)力調(diào)整隨著荷載的發(fā)展不斷變化，并最終達到穩(wěn)定。為分析加固區(qū)樁、土的壓縮量，選取復(fù)合地基中的中心樁作為分析對象。樁土相互作用示意圖如圖1所示，其中：sp0為樁頂位移；sb為樁端位移；ss0為樁間土表面位移；τi為樁土之間的摩阻力；i為第i個計算單元(i=1，2，3，…，n)；σi為第i個單元底面處應(yīng)力；d2為第i個單元計算長度；L為樁長；L1為臥層厚度。假設(shè)Ap為樁身截面積，As為樁間土的計算面積，d為樁徑，ρp為樁體密度，ρs為樁間土體密度，g為重力加速度；并假定分析單元在荷載p作用下，中心樁所分擔(dān)的荷載為樁承擔(dān)荷載為pp，土承擔(dān)荷載為ps。由此可得：

1.2 樁側(cè)摩阻力計算模型

樁側(cè)摩阻力傳遞模型見圖 2。樁側(cè)摩阻力與樁土間相對位移有關(guān)，通常認為樁側(cè)阻力與樁土相對位移滿足線彈性?全塑性數(shù)學(xué)模型[3]，即當(dāng)樁土相對位移達到一定值時，樁側(cè)摩阻力達到最大值。沿深度方向的各樁段的側(cè)阻力為：

式中：si為樁身i處的相對位移，si=spi?ssi，spi和ssi分別為第i個計算單元的樁身與土體位移；τu為第i土層的極限摩阻力；su為第i土層達到極限摩阻力τu時樁土相對位移最小值；cs為第i土層的摩阻力傳遞系數(shù)，cs=τu/su。

圖2 樁側(cè)摩阻力傳遞模型Fig. 2 Frictional force transfer model of pile side

1.3 樁端阻力計算模型

對于樁端刺入下臥層尚未破壞的樁，樁端阻力與位移關(guān)系曲線可采用雙折線模型模擬[5]，如圖3所示。

樁端阻力可表示為：

圖3 樁端阻力?樁端位移曲線Fig. 3 Pile tip resistance?displacement curve

式中：k1為第1段直線的斜率[6]；sbu為第1段直線對應(yīng)極限位移，一般為(0.5%~2.5%)d，mm；k2為第2段直線的斜率，可近似通過現(xiàn)場實測荷載–沉降曲線反分析獲得[5]；Gb和υb分別為樁端土的剪切模量和泊松比；ΔPt為樁頂荷載增量；Δst為樁頂荷載增加量 ΔPt引起的樁頂沉降增加量；Ep為樁體彈性模量；r0為樁半徑。

1.4 下臥層計算模型

由于樁在復(fù)合地基中置換率較低，故忽略樁端荷載與土體相應(yīng)深度處荷載差異對下臥層能量的影響。此時，樁端荷載與土體荷載相同，可以采用分層總和法來求解下臥層的沉降量。下臥層土的壓縮量采用修正劍橋模型計算。

2 復(fù)合地基單元體系能量平衡方程

2.1 基本假定

加固區(qū)土體在受荷載作用時，土體顆粒壓縮、滑移至平衡狀態(tài)，不考慮樁周土剪切變形影響，則達到穩(wěn)定時土體表面為平面。忽略單元之間的相互作用，分析單元的壓縮量可以視為復(fù)合地基的壓縮量。在分析典型單元體時，假定：

1)忽略樁身側(cè)向變形對沉降的影響，在外荷載作用下樁側(cè)摩阻力先于樁端阻力發(fā)揮。

2)樁間土為各向同性的均質(zhì)體，采用修正劍橋模型。土體單元表面在初始及加載后均為平面。

3)選取的分析單元為地基中心部位，土體受荷載為單向壓縮固結(jié)，無側(cè)向位移產(chǎn)生。

2.2 樁身能量方程

樁身在地基中的總勢能增量可分為樁身變形能Wu和由沉降引起的勢能增量Wgp2部分組成，即

式中：εz為樁身應(yīng)變；σz為樁身應(yīng)力；mz為z處樁身質(zhì)量。由樁承擔(dān)的荷載最大值為極限荷載的一半，故在應(yīng)力?應(yīng)變曲線中為上升段，樁身應(yīng)力可以用下式表示[20]：

式中：qu為樁身無側(cè)限極限強度；εu為極限強度相對應(yīng)的應(yīng)變。

外力勢能主要為樁頂荷載作功Wp和樁端阻力作功Wb：

式中：pb為樁端阻力。

2.3 土體能量方程

樁間土及下臥層土體采用修正劍橋模型計算。ROSCOE等[21]進一步修正了劍橋模型，認為劍橋模型的屈服面軌跡應(yīng)為橢圓，其能量方程為：

式中：dE為外力作功；dWe為彈性變形能；dWp為塑性變形勢；p為平均有效正應(yīng)力；q為剪應(yīng)力；為彈性體應(yīng)變增量；為彈性剪應(yīng)變增量。假設(shè)一切剪切變形是不可恢復(fù)的，則

式中：v為比體積；κ為半對數(shù)坐標(biāo)系下壓縮回彈曲線的斜率；為塑性剪應(yīng)變增量；dp為平均有效正應(yīng)力增量。修正劍橋模型的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為為塑性體應(yīng)變增量；

式中：λ為半對數(shù)坐標(biāo)系下初始固結(jié)曲線的斜率；M為臨界狀態(tài)線的斜率。

修正劍橋模型屈服面的形狀為橢圓形，其屈服準則為

式中：p0為q=0時的p值。

由于選取的單元不考慮側(cè)向變形，土體沉降引起的勢能增量Wgs為

式中：ms,z為z處土體質(zhì)量。外力勢能主要為土體表面荷載作功Ws為

3 計算流程

復(fù)合地基在外荷載p的作用下，系統(tǒng)的總勢能Π等于樁和土體的變形能U與外力勢能V之和，即Π=U+V。根據(jù)最小勢能原理，當(dāng)δΠ=0時，在滿足已知幾何邊界條件的一切容許位移u，v和w中，真實位移使得系統(tǒng)總勢能取極值。在實際計算中，樁頂荷載pp和樁間土荷載ps為未知數(shù)。為了求得荷載，采用最小勢能原理進行計算，即在npos組可能外荷載pp,k和ps,k作用下，通過迭代計算出系統(tǒng)總勢能為Πk，在npos組荷載中獲得總勢能極小值，則該值為真實的樁土荷載所產(chǎn)生。計算步驟如下。

1)將荷載按ngra級加載，則第j級(j=1，2，3，…，ngra)荷載時，樁頂外荷載為jpp,k/ngra，根據(jù)式(1)計算土體表面荷載為jps,k/ngra。

2)將樁和樁間土劃分nstr層，求得樁和樁間土層計算厚度與單元體質(zhì)量。

3)取第i層(i=1，2，3，…，nstr)樁進行計算，第i單元體所受外荷載為jpp,k/ngra(σ0)，將si代入式(3)計算τi，對應(yīng)的樁身應(yīng)力按式(2)計算。

4)樁身變形能和沉降勢能分別按式(7)和(8)計算。

5)對于樁間土，i單元體所受外荷載為jps,k/ngra(σs,0)，土體應(yīng)力為σs,i=σs,i?1+msg，計算p和q；根據(jù)式(17)判斷是否屈服，若未屈服，則按式(15)計算能量，否則按式(12)~(14)計算；在計算土體應(yīng)變時，需要對其應(yīng)變進行累加。

6)第j級荷載下，樁間土勢能按式(18)計算；土體的總勢能為其累計值。

7)重復(fù)步驟1)~6)，j的取值從1到ngra。

8)樁和土體系統(tǒng)的總勢能Π=Wu+Wgp?Wp?Wb+ΣdE+ΣWgs?Ws。

9)在合理范圍內(nèi)當(dāng)Πk為最小值，則pp,k和ps,k為樁土實際荷載值，對應(yīng)的壓縮量即為加固區(qū)壓縮量。

10)計算下臥層壓縮量，可以參考樁間土的壓縮量計算步驟進行。

11)加固區(qū)壓縮量與下臥層壓縮量之和即為復(fù)合地基沉降。

4 算例

4.1 算例1

為驗證計算方法的正確性，開展室內(nèi)復(fù)合地基模型試驗。試驗在 1個長×寬×高為 2.0 m×2.0 m×1.5 m的鐵箱中進行。在箱內(nèi)分層填筑軟黏土，填土靜置28 d后開始成樁。柔性樁采用夯實水泥土樁，樁徑為75 mm，樁長為0.9 m，樁間距為2倍樁徑。因不考慮土的側(cè)向位移，故在柔性樁側(cè)設(shè)置長約束樁，樁長為 1.5 m。先進行載荷試驗，后維持最后一級荷載14.5 kPa加載近60 d。通過室內(nèi)土工試驗獲得填土的計算參數(shù)見表1。

表1 填土的計算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of soils

采用Maple軟件分別編程計算加固區(qū)和下臥層的壓縮量。在計算加固區(qū)的壓縮量時，將樁和樁間土劃分90層，荷載分100級加載。能量與樁荷載的關(guān)系見圖4。從圖4可見：當(dāng)樁頂荷載為75.3 N時，系統(tǒng)總勢能最小。

下臥層土體劃分為60層，計算后下臥層沉降量為1.31 mm。沉降量計算結(jié)果見表2。由表2可知：沉降量計算值和實測值基本接近，表明本文所提出的計算方法精度較高。

圖4 能量與樁荷載的關(guān)系Fig. 4 Relationship between energy and load on pile top

表2 沉降量計算值與實測值的比較Table 2 Comparison between calculated and measured settlements

4.2 算例2

由于試驗填土為單一土層，為進一步檢驗計算方法的可靠性，采用文獻[11]和[22]中的案例進行驗證。寧通(寧波—南通)一級公路(南通段)引河大橋橋頭和過渡段軟土較厚，采用二灰土樁加固。二灰土樁的配比即生石灰、粉煤灰、土質(zhì)量比為1.0:4.5:4.5，樁長L=6.0 m，直徑d=0.55 m，呈三角形布置，間距和排距都為2.0 m。地基土分為4 層：第1層為亞黏土，平均厚度為2.9 m；第2層為淤泥質(zhì)亞黏土，平均厚度為10.1 m；第3層為粉砂與亞黏土互層，平均厚度為15.4 m；第4層為亞黏土夾亞砂土?，F(xiàn)場載荷試驗測得天然地基極限承載力為63 kPa，成樁11個月后二灰土樁復(fù)合地基極限承載力為268 kPa。試驗斷面K102+990處路堤高4.76 m，容重γ=19 kN/m3，路基頂寬24.5 m，坡比為1:2。采用本文計算方法時，土體計算參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗及文獻[23]選取，見表3。

采用Maple軟件編程計算加固區(qū)和下臥層的壓縮量，將樁和樁間土劃分90層，荷載分100級加載。經(jīng)計算當(dāng)pp=51 kN時，系統(tǒng)勢能有最小值，計算結(jié)果見表4。由表4可知：復(fù)合模量法計算得到的加固區(qū)沉降量偏小，而采用本文方法的沉降量計算值與實測值較接近，但下臥層的計算值比實測值略偏小。

表3 土體計算參數(shù)Table 3 Parameters of soils

表4 沉降量計算值與實測值的比較Table 4 Comparison between calculated and measured settlements mm

5 結(jié)論

1)利用修正劍橋模型建立復(fù)合地基中樁間土形變能和勢能計算式，根據(jù)柔性樁的非線性應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系獲得樁體形變能和勢能計算表達式。

2)基于最小勢能原理，構(gòu)造復(fù)合地基系統(tǒng)總能量方程并編制程序進行計算。通過2個案例進行驗證，沉降量計算值與實測值較吻合，表明本文計算方法可靠。

3)修正劍橋模型參數(shù)對計算結(jié)果影響較大，因而參數(shù)的準確性決定沉降量計算的可靠性。建議選取有代表性的孔取芯進行試驗，并適當(dāng)增加試驗次數(shù)。

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