具有混合時(shí)變時(shí)滯主從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)采樣同步控制

陳剛 ，王信 ，肖伸平 ，杜博文 ，王聰聰 ，羅昌勝

(1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲，412007；2. 電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲，412007)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural networks)已經(jīng)廣泛運(yùn)用于各種工程領(lǐng)域，如模式識(shí)別、靜態(tài)圖像處理、聯(lián)想儲(chǔ)存以及組合優(yōu)化等[1?5]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在大規(guī)模綜合電子回路的實(shí)現(xiàn)過程中，神經(jīng)元之間的信息交互往往會(huì)產(chǎn)生神經(jīng)元時(shí)滯現(xiàn)象。而此時(shí)滯往往是導(dǎo)致系統(tǒng)震蕩、發(fā)散和不穩(wěn)定的重要原因，因此，對(duì)時(shí)滯相關(guān)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究具有實(shí)際與理論意義。系統(tǒng)中的時(shí)滯項(xiàng)存在許多形式，常見的有離散時(shí)滯與分布時(shí)滯。在研究時(shí)滯系統(tǒng)的方法中，Lyapunov?Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法(LMI)得到廣泛運(yùn)用。例如，在對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究中，利用Lyapunov?Krasovskii泛函方法構(gòu)建Lyapunov增廣泛函，并對(duì)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行界定，可以得到線性矩陣不等式形式的穩(wěn)定性判據(jù)。至今已有許多穩(wěn)定性判據(jù)被推導(dǎo)[6?9]。同樣，在對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無源性、耗散性、全局穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性以及同步性等的研究中，推導(dǎo)出大量線性矩陣不等式形式的判據(jù)[10?11]。基于 Lyapunov穩(wěn)定性定理，可從 2個(gè)方面獲得更低保守性判據(jù)：一個(gè)是構(gòu)建更加合適的Lyapunov?Krasovskii泛函，另一個(gè)是利用更好的不等式界定方法，界定泛函中的交叉項(xiàng)。在構(gòu)建Lyapunov?Krasovskii泛函時(shí)，大多采用增廣泛函方法[1?6]。而在研究界定交叉項(xiàng)時(shí)，主要采用自由權(quán)矩陣方法[11]、積分不等式方法[12]以及凸優(yōu)化方法[13]等。近年來，同步控制問題[14]被廣泛研究，包括時(shí)滯反饋控制、自適應(yīng)控制、模糊控制、脈沖控制以及采樣控制在內(nèi)的控制方法被運(yùn)用于同步控制問題中。主、從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制同樣可以利用這些控制方法，如ZHANG 等[15?17]基于線性矩陣不等式方法以及Lyapunov?Krasovskii泛函方法對(duì)混合時(shí)滯主從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)采樣同步控制進(jìn)行了研究，得到1個(gè)控制該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的線性矩陣不等式判據(jù)以及可行控制器。本文作者在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上，研究具有離散與分布時(shí)滯的主從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)采樣同步控制問題，構(gòu)建新的增廣Lyapunov?Krasovskii泛函。對(duì)泛函導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，獲得具有更小保守性的指數(shù)同步性判據(jù)以及可行控制器，并通過數(shù)值計(jì)算以及仿真結(jié)果證明該方法的優(yōu)越性和可行性。

1 問題描述

采用如下標(biāo)號(hào)：矩陣上標(biāo)“T”和“?1”分別表示轉(zhuǎn)置矩陣以及逆矩陣；Rn和Rn×n分別代表n維向量和n×n維矩陣；矩陣P＞0代表矩陣P是正定的；diag{b1，…，bn}表示塊對(duì)角矩陣；0和I分別表示合適維度的零矩陣以及合適維度的單位矩陣；Sym{P}代表矩陣PT+P；標(biāo)記“*”表示塊對(duì)陣矩陣中的對(duì)稱項(xiàng)。

考慮下面的混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]T∈Rn，為t時(shí)間神經(jīng)元狀態(tài)向量；g(t)=[g1(t)，g2(t)，…，gn(t)]T∈Rn，為神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)向量，且有g(shù)(0)=0；C=diag{a1，…，an}，是 1 個(gè)正定對(duì)稱矩陣；A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，D=(dij)n×n，表示連接權(quán)矩陣；V(t)=[V1(t)，…，Vn(t)]T，為外部輸入向量；d(t)和τ(t)分別表示離散時(shí)滯與分布時(shí)滯，并且滿足以下條件：

其中：d，τ和μ都為常數(shù)。

假設(shè) 1[16]：系統(tǒng)(1)中的激勵(lì)函數(shù)gi(.)是連續(xù)的且滿足

其中：S1≠S2；Fiˉ和Fi+為已知實(shí)恒定值。

設(shè)定系統(tǒng)(1)是主系統(tǒng)，則系統(tǒng)(1)的從系統(tǒng)可以寫成以下形式：

其中：C，A，B和D與系統(tǒng)(1)中等價(jià)；u(t)∈ Rn，為合適的控制輸入。

據(jù)文獻(xiàn)[1?5]，通過定義誤差信號(hào)為r(t)=y(t)?x(t)，誤差系統(tǒng)可以寫成以下形式：

其中：f(t)=g(y(t))?g(x(t))。必須指出的是，f(t)依賴于y(t)和x(t)，這里用f(t)代替f(x(t)，y(t))。

假設(shè)控制信號(hào)由零階保持函數(shù)發(fā)生，其保持以下時(shí)間次序：

則狀態(tài)反饋控制器可以寫成以下形式：

其中：K為采樣反饋控制增益矩陣；tk為第k個(gè)采樣時(shí)間，且滿足當(dāng)k趨向于無窮大時(shí)，tk也趨向無窮大；r(tk)表示tk采樣時(shí)刻狀態(tài)向量r(t)的離散值。

其中：h為正標(biāo)量，代表最大采樣間隔。

將(5)代入系統(tǒng)(4)，可以得到下面誤差系統(tǒng)：

這里，引入指數(shù)同步性的概念。

注釋 1：設(shè)mk=t?tk，mk+1=tk+1?t，據(jù)式(6)可以得出在系統(tǒng)(7)中，有 0≤mk＜h，0＜mk+1≤h。又因?yàn)閙k和mk+1是關(guān)于t的一次函數(shù)，所以，有

或者

定義 1：若誤差系統(tǒng)(7)是指數(shù)穩(wěn)定的，則主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(3)指數(shù)同步。換言之，存在 2個(gè)常數(shù)ρ＞0，α＞0，

其中：

引理1[17]：對(duì)于所有對(duì)稱正定矩陣X及可積函數(shù){w(s)|s∈ [α,β]}，滿足

引理 2[18]：對(duì)于任意向量w1和w2，正定對(duì)稱矩陣X，任意合適矩陣S以及標(biāo)量β∈(0，1)，當(dāng)條件成立時(shí)，有

引理 3[19]：對(duì)于任意正定對(duì)稱矩陣X，2個(gè)標(biāo)量β>α>0以及可積函數(shù)w(s)，有

引理 4[17]：存在合適維度的矩陣?1，?2和?3，其中?1是對(duì)稱矩陣，?2是對(duì)稱正定矩陣，則有

當(dāng)且僅當(dāng)或者時(shí)成立。

2 主要結(jié)果

定義：

定理1：在條件(C1)下，給定正常數(shù)d和τ以及常數(shù)γ和μ，若存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，Pa∈R2n×2n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=2，3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，對(duì)稱陣Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定對(duì)角陣Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩陣O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有以下矩陣不等組成立：

其中：

則主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(3)是指數(shù)同步的，其衰減率為α。另外，據(jù)系統(tǒng)(7)中的可行控制增益矩陣求得K=G?1L。

證明：構(gòu)建下面的增廣泛函：

其中：

對(duì)V(t)求導(dǎo)，可得

其中：

根據(jù)引理1，可知

這里，引入2個(gè)零項(xiàng)等式：

又根據(jù)引理1和引理2，并將式(17)和(18)中的積分項(xiàng)代入，根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的推理，可得

其中：

由引理3，可得

運(yùn)用自由權(quán)矩陣方法，對(duì)任意適合維度的自由矩陣H，有下面的不等式成立：

其中：

故可得

根據(jù)誤差系統(tǒng)(7)，對(duì)于任意合適的矩陣G，L以及標(biāo)量γ，有

同時(shí)，根據(jù)不等式(2)，對(duì)于任意i=1，2，…，n，有

對(duì)于合適維度的正定對(duì)角矩陣V1和V2，可得

根據(jù)引理4，式(14)和(15)等同于t∈[tk,tk+1)。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，當(dāng)P＞0以及式(9)成立時(shí)，存在充分小的正標(biāo)量δ和σ，有

因此，系統(tǒng)(7)是指數(shù)穩(wěn)定的，其衰減率為α。根據(jù)定義1，主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(3)是指數(shù)同步的。其指數(shù)同步率為α。證畢。

注釋2：無法直接用Matlab計(jì)算。由計(jì)算結(jié)果以及注釋1，已知是關(guān)于mk或mk+1的一次函數(shù)，因此，求解等同于求

其結(jié)果見式(14)與(15)。

注釋3：引理2中β的取值并不影響時(shí)滯d(t)的取值，因此，d(t)可以等于0或者d。

定理2：在條件(C2)下，給定正常數(shù)d和τ以及常數(shù)γ和μ，若存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，Pc∈R4n×4n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=2，3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，對(duì)稱陣Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定對(duì)角陣Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩陣O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下面不等式組成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2，Ψ，Ξ，Π1，Π2和Pa在定理1中定義，且

則主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(3)是指數(shù)同步的。另外，據(jù)系統(tǒng)(7)中的可行控制增益矩陣求得K=G?1L。

證明：構(gòu)建以下增廣泛函：

其中：V1(t)，Vi(t)(i=3，…，12)在定理1中被定義。同理，可以證明定理2的結(jié)論。

注釋4：在條件(C2)下，無法直接用Matlab計(jì)算。因?yàn)閷?duì)是一次函數(shù)，所以，可同時(shí)計(jì)算時(shí)的2種條件。

當(dāng)系統(tǒng)沒有分布時(shí)滯時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和(3)可以寫成下列形式：

同樣地，誤差系統(tǒng)(4)可寫成

根據(jù)定理1與定理2，并將增廣泛函中的V7(t)去掉，可以得到下面2個(gè)定理。

定理3：在條件(C1)下，給定正常數(shù)d以及常數(shù)γ和μ，若存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，Pa∈R2n×2n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，對(duì)稱陣Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定對(duì)角陣Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩陣O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下面不等式組成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2，Ψ，Ξ，Z2和τ在定理1中被定義，且

則主系統(tǒng)(21)與從系統(tǒng)(22)是指數(shù)同步的，其衰減率為α。另外，系統(tǒng)(23)中的可行控制增益矩陣求得為K=G?1L。

定理4：在條件(C2)下，給定正常數(shù)d以及常數(shù)γ，μ，如果存在正定對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，Pc∈R4n×4n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，對(duì)稱陣Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定對(duì)角陣Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩陣O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下列不等式組成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2和Ψ在定理1中被定義，Ξa(chǎn)，Z2和τ在定理2中被定義，且

則主系統(tǒng)(21)與從系統(tǒng)(22)是指數(shù)同步的，其衰減率為α。另外，系統(tǒng)(23)中的可行控制增益矩陣求得，為K=G?1L。

3 仿真實(shí)例

例 1 考慮系統(tǒng)主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(3)以及下列參數(shù)：

假設(shè)d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F(xiàn)1?=F2?=0 和F1+=F2+=1。利用定理1與定理2，得到在不同采樣間隔h下的最大允許α，其計(jì)算結(jié)果見表1。與文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]中結(jié)果相比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理2，當(dāng)h=0.1，α=0.796 7時(shí)，利用Matlab工具箱可以計(jì)算得到1個(gè)可行增益控制器：

表1 例1中不同h下的最大允許αTable 1 Maximum allowed α for different h in Example 1

例2 考慮系統(tǒng)主系統(tǒng)(21)與從系統(tǒng)(22)以及下列參數(shù)：

假設(shè)激勵(lì)函數(shù)g1(s) =g2(s) = tanh(s)，以及d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F(xiàn)1?=F2?=0 和F1+=F2+=1，利用定理3與定理4，得到在不同采樣間隔h下的最大允許α，其計(jì)算結(jié)果見表2。與文獻(xiàn)[16]對(duì)比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理4，當(dāng)h=0.1，α=0.807 6，離散時(shí)滯d(t)=(et/et+1)，初始狀態(tài)為x(t)=[0.6，0.7]T，y(t)=[0.8，0.5]T，t∈[?1，0]時(shí)，可以得到1個(gè)可行增益控制器：

無控制輸入時(shí)的狀態(tài)軌跡見圖 1。根據(jù)上面的增益控制器，控制輸入(5)以及誤差系統(tǒng)(23)的響應(yīng)曲線分別見圖2和圖3。從圖2和圖3可見：主系統(tǒng)(21)與從系統(tǒng)(22)在該控制器下是同步的。

表2 例2中不同h下的最大允許αTable 2 Maximum allowed α for different h in Example 2

圖1 例2中無控制輸入誤差系統(tǒng)(23)的狀態(tài)響應(yīng)Fig. 1 State response of error system (23)without control input in Example 2

圖2 例2中控制輸入u(t)與時(shí)間t的關(guān)系Fig. 2 Relationship between control inputu(t)and time in Example 2

圖3 例2中誤差系統(tǒng)(23)的狀態(tài)響應(yīng)Fig. 3 State responses of error system (23)in Example 2

4 結(jié)論

1)運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，并將其與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)相結(jié)合，能夠解決很多工程領(lǐng)域的難題，如模式識(shí)別問題、聯(lián)想儲(chǔ)存、工程優(yōu)化問題等。

2)利用 Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及構(gòu)建新的增廣泛函，得到具有更小保守性的線性矩陣不等式形式的指數(shù)同步控制判據(jù)。并且通過比較系統(tǒng)在(C1)與(C2)2種情況下的最大允許時(shí)滯，當(dāng)考慮到更多時(shí)滯信息的情況下，所獲得的穩(wěn)定性判據(jù)具有更小的保守性。數(shù)值算例及仿真結(jié)果證明了此方法的優(yōu)越性與可行性。

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