基于擾動(dòng)觀測器的制冷機(jī)組非奇異terminal滑?？刂?/h1>
2018-06-25 01:47:36劉君健吳愛國董娜
劉君健，吳愛國，董娜
(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津，300072)
目前商用空調(diào)多采用壓縮式制冷機(jī)組，制冷機(jī)組的設(shè)計(jì)和選型都是根據(jù)最大冷熱負(fù)荷的計(jì)算結(jié)果完成的，然而，大部分時(shí)間機(jī)組工作在部分負(fù)荷狀態(tài)下，運(yùn)行效率不高[1]。因此，為了實(shí)現(xiàn)空調(diào)節(jié)能，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)組精準(zhǔn)的溫度控制尤為重要。國內(nèi)外許多學(xué)者采用分布參數(shù)法等方法對(duì)壓縮制冷機(jī)組的建模進(jìn)行了研究[2?5]。然而，分布參數(shù)模型雖精確度高但計(jì)算復(fù)雜，當(dāng)?shù)螖?shù)過多時(shí)解容易發(fā)散。因此，近年來出現(xiàn)了很多利用分相區(qū)集中參數(shù)法建模的方法。在建模過程中存在最主要的問題是模型過于簡單或復(fù)雜，例如張涵等[6]辨識(shí)出的 2階傳遞函數(shù)矩陣是線性的，實(shí)際上不符合制冷機(jī)組非線性的特性，僅在工作點(diǎn)附近滿足一定精度要求；程保華[7]提出的12階非線性模型，模型精確度較高，但是其狀態(tài)變量中包含制冷劑物性參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和一些時(shí)間常數(shù)較小的狀態(tài)變量，計(jì)算復(fù)雜，更難用于控制。在壓縮制冷機(jī)組的控制方法方面，一般采用PID控制方法[8]。PID控制適用于線性模型，而制冷機(jī)組模型本質(zhì)上非線性，且常規(guī)的PID控制方法會(huì)使得過熱度和蒸發(fā)溫度產(chǎn)生震蕩，其抗擾性能減弱，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)攝動(dòng)沒有較強(qiáng)抑制作用，并不能適應(yīng)制冷系統(tǒng)自動(dòng)控制的需求。針對(duì)此問題，許多學(xué)者對(duì)控制方法進(jìn)行了改進(jìn)，如內(nèi)模解耦控制[6]、模糊控制[9]、自適應(yīng)控制[10]等；然而，大部分方法對(duì)模型的精確性要求很高，而制冷機(jī)組工作范圍廣，受外界環(huán)境干擾影響大，因此，減少控制對(duì)數(shù)學(xué)模型的依賴性、提高系統(tǒng)魯棒性十分必要。經(jīng)典的非線性魯棒設(shè)計(jì)工具是滑?？刂品?sliding mode control, SMC)，該方法具有對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)較好的抑制能力，并且可以保證系統(tǒng)對(duì)匹配擾動(dòng)的魯棒性。然而，傳統(tǒng)的滑?？刂凭哂卸墩瘳F(xiàn)象，并且在面對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)時(shí)的響應(yīng)速度有待提高。此外，傳統(tǒng)的線性滑模面只具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，收斂速度較慢，VENKCATARAMAN等[11]提出了terminal滑模法(terminal sliding mode，TSM)，該方法具有有限時(shí)間收斂性與快速的響應(yīng)速度等優(yōu)點(diǎn)，但在某些情況下會(huì)出現(xiàn)控制的奇異現(xiàn)象，為此，MINH等[12?13]對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，但存在收斂速度在接近滑模面時(shí)變得較慢的問題。所以，有必要對(duì) TSM 進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。近年來，擾動(dòng)觀測器(disturbance observer,DOB)被提出，由于其具有良好的抗擾性以及魯棒性，在跟蹤控制[14]、機(jī)器人系統(tǒng)[15]、硬盤驅(qū)動(dòng)控制[16]、飛行器控制[17]等方面得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，許多學(xué)者將擾動(dòng)觀測器與滑模控制方法結(jié)合起來[18?19]，使得系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力和動(dòng)態(tài)性能。目前，該方法在制冷系統(tǒng)上應(yīng)用較少，為此，本文作者設(shè)計(jì)了二階非線性擾動(dòng)觀測器，對(duì)傳統(tǒng)滑模法進(jìn)行改進(jìn)，將擾動(dòng)估計(jì)值融入非奇異 terminal滑模控制(non-singular terminal sliding mode control, NTSMC)，以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾性，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。最后，以本文提出的模型為仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)象，與傳統(tǒng)滑模法進(jìn)行了仿真對(duì)比。
1 模型建立
1.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)
壓縮式中央空調(diào)測試平臺(tái)系統(tǒng)主要由壓縮式制冷部分和中央空調(diào)末端組成。
制冷部分主設(shè)備包含壓縮機(jī)、冷凝器、節(jié)流裝置、蒸發(fā)器。其中節(jié)流裝置設(shè)置有電子膨脹閥、熱力膨脹閥和電動(dòng)針形調(diào)節(jié)閥3種不同的節(jié)流方式，用戶可根據(jù)需求選擇節(jié)流裝置。
系統(tǒng)裝置如圖1所示。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。
圖1 制冷系統(tǒng)裝置Fig. 1 Devices of refrigeration system
表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of refrigeration system
1.2 換熱器建模
在制冷系統(tǒng)運(yùn)行過程中，電子膨脹閥和壓縮機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)遠(yuǎn)比蒸發(fā)器和冷凝器的快，因此，在建模過程中采用穩(wěn)態(tài)建模，而對(duì)于動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢的換熱器則采用動(dòng)態(tài)建模。制冷系統(tǒng)的整體模型就由壓縮機(jī)膨脹閥穩(wěn)態(tài)模型和換熱器動(dòng)態(tài)模型組成。
本平臺(tái)中采用管式換熱器的當(dāng)量直徑，將管道看作一維管道。因流體在管道中的流動(dòng)非常復(fù)雜，一般的分區(qū)集中參數(shù)法均視以下條件為前提：
1)制冷劑在管內(nèi)為軸向的一維流動(dòng)，只考慮換熱器的徑向傳熱，忽略軸向傳熱；
2)假定每個(gè)相區(qū)內(nèi)換熱器管壁溫度均勻；
3)忽略換熱器管內(nèi)不凝氣體、油膜等對(duì)傳熱的影響；
4)換熱器在兩相區(qū)內(nèi)，采用均相模型，即具有相同的飽和壓力和飽和溫度，且兩相的流動(dòng)速度相等；
5)在兩相區(qū)采用平均空泡系數(shù)模型，認(rèn)為平均空泡系數(shù)基本不變；
6)制冷劑除了在蒸發(fā)器和冷凝器的管內(nèi)有換熱外，與管外介質(zhì)無熱交換。
在質(zhì)量守恒、能量守恒和管壁能量平衡定律的基礎(chǔ)上對(duì)換熱器進(jìn)行建模。利用分區(qū)集中參數(shù)法，即將蒸發(fā)器內(nèi)部分為兩相區(qū)和過熱區(qū)，分別對(duì)2個(gè)區(qū)域進(jìn)行集中參數(shù)建模。但由于高階機(jī)理模型各變量關(guān)系較為復(fù)雜，且含有制冷劑物性參數(shù)及其偏微分，非常不便于控制器設(shè)計(jì)。為了獲得簡化非線性模型，在建模過程中進(jìn)行如下簡化處理：
1)蒸發(fā)器與冷凝器均只考慮兩相區(qū)；
2)換熱器能量守恒方程只考慮換熱器溫度的變化，而質(zhì)量守恒方程只考慮兩相區(qū)長度的變化；
3)空隙率、換熱系數(shù)與制冷劑物性參數(shù)均采用常數(shù)。
蒸發(fā)器兩相區(qū)原理圖如圖2所示。圖2中：le為蒸發(fā)器兩相區(qū)長度；Le為蒸發(fā)器管道總長度；D為蒸發(fā)器當(dāng)量直徑。
圖2 蒸發(fā)器相區(qū)原理圖Fig. 2 Principle diagram of evaporator zone
簡化后的兩相區(qū)內(nèi)的制冷劑質(zhì)量Me和能量Ue分別為：式中：γe為空隙率；Ae為蒸發(fā)器管道橫截面積；ρl和ρg分別為制冷劑飽和液體和蒸汽密度；hl和hg分別為制冷劑飽和液體和蒸汽焓值。
聯(lián)立式(1)和(2)，得
這里忽略hl和hg隨壓力和溫度的變化，將式(3)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并進(jìn)行適當(dāng)變換，得
再由質(zhì)量及能量守恒定律可得
式中：為膨脹閥制冷劑質(zhì)量流量；為壓縮機(jī)制冷劑質(zhì)量流量；α1為蒸發(fā)器中制冷劑與冷凍水換熱系數(shù)；W為蒸發(fā)器管道橫截面周長；Te為蒸發(fā)溫度；Tw為冷凍水溫度。
聯(lián)立式(5)和(6)，有
根據(jù)式(4)和(7)，有
將等式兩邊系數(shù)近似為常數(shù)，并將等式左邊系數(shù)化為1，得
然后，將式(1)兩端對(duì)le求導(dǎo)，并將其代入式(5)得到
將等式左邊系數(shù)視為常數(shù)，則有
式(9)和(11)就是蒸發(fā)器的狀態(tài)方程。
此外，在過熱區(qū)局部應(yīng)用能量守恒方程，可估計(jì)出過熱度：
式中：α2為過熱區(qū)換熱系數(shù)；Cp,g為制冷劑的定壓比熱容。
同理可得冷凝器的狀態(tài)方程：
式中：Tc為冷凝溫度；Twa為冷凝器的管壁溫度，為另一個(gè)狀態(tài)變量，可以提高模型精度。根據(jù)管壁能量守恒定律，管壁溫度變化率可以用管壁吸收制冷劑熱功率和向空氣散發(fā)熱功率之和來描述：
式中：c6和c7分別為制冷劑側(cè)和空氣側(cè)的換熱系數(shù)；
Ta為環(huán)境溫度。式(13)~(15)為冷凝器的狀態(tài)方程。
1.3 壓縮機(jī)和電子膨脹閥建模
壓縮機(jī)和電子膨脹閥的參數(shù)變化迅速，慣性相對(duì)較小，所以可用穩(wěn)態(tài)模型進(jìn)行建模。這里采用穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)法建立其數(shù)學(xué)模型。
壓縮機(jī)質(zhì)量流量由以下經(jīng)驗(yàn)公式表示：
式中：f為壓縮機(jī)頻率；η為壓縮機(jī)效率；Vcom為壓縮機(jī)理論輸氣量。
壓縮機(jī)效率可由下式計(jì)算得到：
式中：Pe和Pc分別為蒸發(fā)壓力和冷凝壓力；κ為多變指數(shù)，對(duì)于R410a，取κ=1.23[20]。
電子膨脹閥的質(zhì)量流量可由下式確定：
式中：Cv為流量系數(shù)；k為膨脹閥開度。
1.4 模型驗(yàn)證
針對(duì)換熱器模型中未知系數(shù)，進(jìn)行最小二乘法辨識(shí)，得到的結(jié)果如表2所示。
為了驗(yàn)證換熱器模型的準(zhǔn)確性，在壓縮制冷機(jī)組平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在壓縮制冷系統(tǒng)中，蒸發(fā)器過熱度、蒸發(fā)溫度、冷凝溫度主要由壓縮機(jī)質(zhì)量流量膨脹閥質(zhì)量流量控制，對(duì)應(yīng)的實(shí)際控制量分別為壓縮機(jī)頻率f和電子膨脹閥開度k。通過在壓縮機(jī)頻率改變與電子膨脹閥開度變化時(shí)測量過熱度、蒸發(fā)溫度和冷凝溫度，與模型仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。
表2 換熱器模型參數(shù)Table 2 Parameters of heat exchanger model
初始條件如下：水箱水溫為10.8 ℃，室溫為30 ℃，冷凍水流量為4.35 m3/h。壓縮機(jī)頻率為70 Hz，電子膨脹閥開度85%。
在700 s時(shí)壓縮機(jī)頻率從70 Hz增加到90 Hz，膨脹閥開度保持不變。結(jié)果見圖3。
圖3 壓縮機(jī)頻率變化時(shí)模型驗(yàn)證Fig. 3 Model validation when frequency of compressor changes
在700 s時(shí)，膨脹閥開度從85%減小到55%，壓縮機(jī)頻率保持不變。結(jié)果見圖4。
通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比可以看出：模型具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)具有一定的動(dòng)態(tài)誤差。這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)裝置中采用的風(fēng)冷冷凝器置于室外，受環(huán)境條件影響較大；另外，對(duì)于模型中各物性參數(shù)及換熱系數(shù)的簡化，也會(huì)帶來一定的精度損失，但總體而言，各溫度指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差在1 ℃之內(nèi)，模型的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度可以比較準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的變化。
圖4 膨脹閥開度變化時(shí)模型驗(yàn)證Fig. 4 Model validation when opening of expansion valve changes
2 控制方法
2.1 擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)
制冷機(jī)組受環(huán)境溫度、風(fēng)速和濕度等影響較大，因此對(duì)于系統(tǒng)模型，存在模型失配與不確定性擾動(dòng)。本文針對(duì)蒸發(fā)器子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)。
由于蒸發(fā)器子系統(tǒng)中擾動(dòng)主要存在于蒸發(fā)溫度，因此根據(jù)前面提出的制冷系統(tǒng)模型，帶有擾動(dòng)觀測器的蒸發(fā)器模型如下式所示：
式中：d為復(fù)合擾動(dòng)；主要包括未建模動(dòng)態(tài)及參數(shù)不確定性、系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定工作點(diǎn)帶來的參數(shù)攝動(dòng)等。
設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器，需進(jìn)行以下假設(shè)。
假設(shè) 1 蒸發(fā)器子系統(tǒng)的復(fù)合擾動(dòng)及其各階導(dǎo)數(shù)是有界的，并且其范數(shù)滿足：其中：δ＞0。
現(xiàn)設(shè)計(jì)二階擾動(dòng)觀測器估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)d。
式中：和分別為d和的估計(jì)值；p1和p2為輔助變量；L1和L2為正的常系數(shù)。
定理1 二階擾動(dòng)觀測器的估計(jì)誤差有界。
證明 定義估計(jì)誤差為
得
同理可得
定義觀測器的誤差為易得觀測器誤差的狀態(tài)方程為
式中：
通過選擇合適的參數(shù)L1和L2使得Ae的特征值位于左半開平面，從而上述誤差方程漸進(jìn)穩(wěn)定。
選擇Lyapunov函數(shù)
其中：Pe滿足AeTPe+PeAe=-Qe，Qe為正定陣。
對(duì)該Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得
式中：0＜αe＜1。
所以，有
另外，滿足不等式
可得最終邊界為
證畢。
2.2 非奇異terminal滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
傳統(tǒng)滑模控制方法主要問題是控制器輸出容易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，不能保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。因此，針對(duì)上述問題，設(shè)計(jì)改進(jìn)的terminal滑?？刂破饕愿玫乜朔鹘y(tǒng)滑模控制器的缺點(diǎn)，這里定義擾動(dòng)觀測器估計(jì)誤差的上確界為
定義蒸發(fā)溫度誤差為
式中：Ter為蒸發(fā)溫度參考值。
定義滑模變量σ=e，控制目標(biāo)是使蒸發(fā)溫度較快達(dá)到給定值，即使得σ=0。同時(shí)，為了更好地利用擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)信息，還設(shè)計(jì)控制器以使得滑模變量的導(dǎo)數(shù)為0，即使得滑模變量及其二階導(dǎo)數(shù)如下：
系統(tǒng)的相對(duì)階為 1，為便于控制器的設(shè)計(jì)，選取輔助變量
把二階滑模的控制問題轉(zhuǎn)換為不確定二階系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題：
式中：f和b(b≠0)是關(guān)于y的有界光滑的非線性不確定函數(shù)。
在式(32)中，控制量而實(shí)際的控制量為壓縮機(jī)頻率f，f由求得，所以，此二階滑模系統(tǒng)的控制量是由v通過積分而得的，這樣就克服了傳統(tǒng)滑模控制作用的不連續(xù)性，可以消除抖振。
現(xiàn)針對(duì)系統(tǒng)(32)設(shè)計(jì)改進(jìn)的terminal滑?？刂破鳌鹘y(tǒng)的terminal滑模面如下：
式中：β＞0；p和q為正奇數(shù)，滿足1＜p/q＜2。
存在TSM的充分條件為
式中：η＞0。
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面s=0時(shí)，有
即
通過選擇合適的控制v使得系統(tǒng)滿足條件(34)，則系統(tǒng)可在有限時(shí)間tr內(nèi)[21]到達(dá)滑模面s=0。在系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，可以證明y1和y2在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0[21]。
傳統(tǒng)的滑?？刂屏窟x為
式中：K＞0。注意到控制項(xiàng)中包含當(dāng)y1= 0,y2≠0時(shí)，形成奇異現(xiàn)象。在理想滑模面上，有將其代入得因?yàn)?＜p/q＜2，所以，2q/p-1＞0；當(dāng)y1=0時(shí)，并不會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。但是，由于計(jì)算誤差和不確定性的影響，保證理想滑模面幾乎不可能，因此，只要出現(xiàn)y1=0,y2≠0時(shí)就會(huì)發(fā)生奇異現(xiàn)象。因此，采用非奇異terminal滑模法是必要的。
本文提出的非奇異terminal滑模面如下：
式中：式(37)中添加了線性項(xiàng)，當(dāng)接近給定值時(shí)可以加快收斂速度。另外，設(shè)計(jì)項(xiàng)是為了保證在計(jì)算過程中每一項(xiàng)都為實(shí)數(shù)。
定理2 對(duì)于式(37)，若控制為
系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。
證明
1)若y2≠0，則由于其中p?q為偶數(shù)，所以，總有ρ＞0。此時(shí)滿足條件(34)，系統(tǒng)自然可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。
2)若y2=0，則有
易證系統(tǒng)同樣可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn)[21?22]，同時(shí)從控制量中容易看出不包含可能導(dǎo)致奇異的項(xiàng)。
證畢。
現(xiàn)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，由上述推導(dǎo)，將各變量代入式(38)可得：
得到控制量后，對(duì)其進(jìn)行積分可得到實(shí)際控制量
2.3 傳統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
為了更好地體現(xiàn)本方法的優(yōu)越性，另設(shè)計(jì)傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對(duì)比。
選擇滑模面如下：
對(duì)式(40)求導(dǎo)，得
設(shè)計(jì)控制量
式中：K1為正常數(shù)。
將式(42)代入式(41)，得閉環(huán)系統(tǒng)：
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定條件易知，只需滑模變量將會(huì)漸進(jìn)收斂到滑模面σ1=0。
3 仿真結(jié)果
現(xiàn)以控制制冷機(jī)組的蒸發(fā)溫度為目標(biāo)，對(duì)基于擾動(dòng)觀測器的NTSMC法進(jìn)行仿真研究。本文設(shè)計(jì)了3組仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)控制方法中采用的擾動(dòng)觀測器及NTSMC的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證。
3.1 擾動(dòng)觀測器優(yōu)越性驗(yàn)證
根據(jù)式(16)和(18)，壓縮機(jī)頻率和電子膨脹閥開度的改變會(huì)引發(fā)壓縮機(jī)質(zhì)量流量和膨脹閥質(zhì)量流量的變化，相當(dāng)于給系統(tǒng)輸入端施加了一個(gè)復(fù)合擾動(dòng)。在初始條件下，水箱水溫為10.8 ℃，室溫為30 ℃，冷凍水流量為4.35 m3/h。壓縮機(jī)頻率為70 Hz，電子膨脹閥開度為85%，選取觀測器增益L1=8，L2=100。
在膨脹閥開度變化情況下，加入 DOB模型與原模型蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖5。在500 s時(shí)，膨脹閥開度從85%階躍下降為55%，其他條件不變；在1 000 s時(shí)，膨脹閥開度從55%變?yōu)?5%，其他條件不變。
在壓縮機(jī)頻率變化情況下，加入 DOB模型與原模型蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖6。在500 s時(shí)，壓縮機(jī)頻率從70 Hz階躍上升為90 Hz，其他條件不變；在1 100 s時(shí)，壓縮機(jī)頻率從90 Hz變?yōu)?0 Hz，其他條件不變。
圖5 膨脹閥開度變化蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 5 Comparison of evaporation temperature when opening of expansion valve changes
由圖5和圖6可知：與原模型相比，在壓縮機(jī)頻率和膨脹閥開度信號(hào)階躍變化的情況下，加入 DOB模型都具有更短的調(diào)節(jié)時(shí)間和更快的收斂速度，其蒸發(fā)溫度比原模型先到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。因此，加入 DOB可使系統(tǒng)具有更優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能。圖7和圖8所示分別為當(dāng)膨脹閥開度變化和壓縮機(jī)頻率變化時(shí) DOB模型估計(jì)出的復(fù)合擾動(dòng)值。從圖7和圖8可以看出：當(dāng)膨脹閥開度于500 s和1 000 s階躍變化時(shí)，觀測器均迅速反應(yīng)，擾動(dòng)估計(jì)值隨開度信號(hào)變化，并在300 s內(nèi)穩(wěn)定；當(dāng)壓縮機(jī)頻率于500 s和1 100 s階躍變化時(shí)，觀測器均迅速反應(yīng)，估計(jì)值均在400 s內(nèi)穩(wěn)定。因此，加入DOB對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)有較快的響應(yīng)和計(jì)算速度。
圖6 壓縮機(jī)頻率變化蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 6 Comparison of evaporation temperature when frequency of compressor changes
圖7 膨脹閥開度變化時(shí)DOB模型擾動(dòng)估計(jì)Fig. 7 Estimation of disturbance as opening of expansion valve changes
圖8 壓縮機(jī)頻率變化時(shí)DOB模型擾動(dòng)估計(jì)Fig. 8 Estimation of disturbance when frequency of compressor changes
3.2 NTSMC法優(yōu)越性驗(yàn)證
蒸發(fā)溫度初始參考值為8.5 ℃。在200 s時(shí)，將蒸發(fā)溫度參考值設(shè)為6 ℃，其他條件不變；在600 s時(shí)，將蒸發(fā)溫度參考值設(shè)為8.5 ℃，其他條件同樣不變。選取α=2，β=1，γ=3，p=5，q=3，K=5，K1=2，擾動(dòng)觀測器的參數(shù)選取同上，蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖9。
圖9 SMC與NTSMC下蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 9 Comparison of evaporation temperature under SMC and NTSMC
從圖9可以看出：NTSMC在給定值階躍變化后很快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而 SMC的調(diào)節(jié)時(shí)間較長，且存在比較明顯的抖振現(xiàn)象，在給定值附近波動(dòng)。因此，NTSMC法在調(diào)節(jié)速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面都具有比較明顯的優(yōu)勢，而且不存在傳統(tǒng)滑模存在的抖振問題。SMC與NTSMC下控制量曲線對(duì)比見圖10。
從圖10可以看出，NTSMC控制量無抖動(dòng)，并且沒有明顯的波動(dòng)；SMC法在400 s左右出現(xiàn)了明顯的波動(dòng)，蒸發(fā)溫度也發(fā)生了較大的波動(dòng)，可能的原因是選擇了固定的控制器增益值，不能很好地適應(yīng)系統(tǒng)變化情況。因此，NTSMC法可以得到更穩(wěn)定的控制量輸出。
圖10 SMC與NTSMC下控制量對(duì)比Fig. 10 Comparison of controlled variable under SMC and NTSMC
3.3 NTSMC抗擾性檢驗(yàn)
在初始條件下，壓縮機(jī)頻率為70 Hz，膨脹閥開度為85%，在100 s時(shí)，給蒸發(fā)器系統(tǒng)控制輸入端一加性階躍擾動(dòng)d=0.1，控制器其他參數(shù)選取同上，蒸發(fā)溫度對(duì)比如圖11所示。
圖11 SMC與NTSMC抗擾性檢驗(yàn)Fig. 11 Disturbance rejection tests of SMC and NTSMC
由圖11可見，NTSMC法蒸發(fā)溫度受階躍擾動(dòng)后下降，隨即迅速上升，并在700 s時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值；而SMC法蒸發(fā)溫度雖受擾動(dòng)下降幅度略小于前者，但調(diào)節(jié)速度明顯慢于前者，在1 000 s時(shí)才到達(dá)穩(wěn)態(tài)。因此，總體來看，NTSMC法具有更好的抗擾性和更快的調(diào)節(jié)速度。
4 結(jié)論
1)在模型建立方面，經(jīng)過合理假設(shè)和對(duì)換熱系數(shù)以及制冷劑物性參數(shù)的簡化，通過機(jī)理建模結(jié)合實(shí)驗(yàn)辨識(shí)求得制冷機(jī)組五階模型，并由仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了模型良好的精確性。
2)在控制方法方面，通過結(jié)合擾動(dòng)觀測器和二階terminal滑模法對(duì)所提出的模型進(jìn)行控制。設(shè)計(jì)了二階擾動(dòng)觀測器，并證明了擾動(dòng)估計(jì)誤差的有界性，計(jì)算了誤差的最終邊界；針對(duì)傳統(tǒng)的滑?？刂埔桩a(chǎn)生抖振的現(xiàn)象和較慢的收斂速度，在二階滑模系統(tǒng)的基礎(chǔ)上采用terminal非線性滑模面，并分析了TSM控制中可能出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象，針對(duì)此現(xiàn)象提出了NTSM法；將控制量設(shè)計(jì)為實(shí)際控制量的導(dǎo)數(shù)，這樣在計(jì)算實(shí)際控制量時(shí)由于積分的作用，消除了傳統(tǒng)滑模中的抖振問題。通過與基于擾動(dòng)觀測器的傳統(tǒng)滑模法的對(duì)比仿真，驗(yàn)證了NTSM法具有更好的抗擾性和更快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。
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劉君健，吳愛國，董娜
(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津，300072)
目前商用空調(diào)多采用壓縮式制冷機(jī)組，制冷機(jī)組的設(shè)計(jì)和選型都是根據(jù)最大冷熱負(fù)荷的計(jì)算結(jié)果完成的，然而，大部分時(shí)間機(jī)組工作在部分負(fù)荷狀態(tài)下，運(yùn)行效率不高[1]。因此，為了實(shí)現(xiàn)空調(diào)節(jié)能，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)組精準(zhǔn)的溫度控制尤為重要。國內(nèi)外許多學(xué)者采用分布參數(shù)法等方法對(duì)壓縮制冷機(jī)組的建模進(jìn)行了研究[2?5]。然而，分布參數(shù)模型雖精確度高但計(jì)算復(fù)雜，當(dāng)?shù)螖?shù)過多時(shí)解容易發(fā)散。因此，近年來出現(xiàn)了很多利用分相區(qū)集中參數(shù)法建模的方法。在建模過程中存在最主要的問題是模型過于簡單或復(fù)雜，例如張涵等[6]辨識(shí)出的 2階傳遞函數(shù)矩陣是線性的，實(shí)際上不符合制冷機(jī)組非線性的特性，僅在工作點(diǎn)附近滿足一定精度要求；程保華[7]提出的12階非線性模型，模型精確度較高，但是其狀態(tài)變量中包含制冷劑物性參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和一些時(shí)間常數(shù)較小的狀態(tài)變量，計(jì)算復(fù)雜，更難用于控制。在壓縮制冷機(jī)組的控制方法方面，一般采用PID控制方法[8]。PID控制適用于線性模型，而制冷機(jī)組模型本質(zhì)上非線性，且常規(guī)的PID控制方法會(huì)使得過熱度和蒸發(fā)溫度產(chǎn)生震蕩，其抗擾性能減弱，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)攝動(dòng)沒有較強(qiáng)抑制作用，并不能適應(yīng)制冷系統(tǒng)自動(dòng)控制的需求。針對(duì)此問題，許多學(xué)者對(duì)控制方法進(jìn)行了改進(jìn)，如內(nèi)模解耦控制[6]、模糊控制[9]、自適應(yīng)控制[10]等；然而，大部分方法對(duì)模型的精確性要求很高，而制冷機(jī)組工作范圍廣，受外界環(huán)境干擾影響大，因此，減少控制對(duì)數(shù)學(xué)模型的依賴性、提高系統(tǒng)魯棒性十分必要。經(jīng)典的非線性魯棒設(shè)計(jì)工具是滑?？刂品?sliding mode control, SMC)，該方法具有對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)較好的抑制能力，并且可以保證系統(tǒng)對(duì)匹配擾動(dòng)的魯棒性。然而，傳統(tǒng)的滑?？刂凭哂卸墩瘳F(xiàn)象，并且在面對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)時(shí)的響應(yīng)速度有待提高。此外，傳統(tǒng)的線性滑模面只具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，收斂速度較慢，VENKCATARAMAN等[11]提出了terminal滑模法(terminal sliding mode，TSM)，該方法具有有限時(shí)間收斂性與快速的響應(yīng)速度等優(yōu)點(diǎn)，但在某些情況下會(huì)出現(xiàn)控制的奇異現(xiàn)象，為此，MINH等[12?13]對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，但存在收斂速度在接近滑模面時(shí)變得較慢的問題。所以，有必要對(duì) TSM 進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。近年來，擾動(dòng)觀測器(disturbance observer,DOB)被提出，由于其具有良好的抗擾性以及魯棒性，在跟蹤控制[14]、機(jī)器人系統(tǒng)[15]、硬盤驅(qū)動(dòng)控制[16]、飛行器控制[17]等方面得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，許多學(xué)者將擾動(dòng)觀測器與滑模控制方法結(jié)合起來[18?19]，使得系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力和動(dòng)態(tài)性能。目前，該方法在制冷系統(tǒng)上應(yīng)用較少，為此，本文作者設(shè)計(jì)了二階非線性擾動(dòng)觀測器，對(duì)傳統(tǒng)滑模法進(jìn)行改進(jìn)，將擾動(dòng)估計(jì)值融入非奇異 terminal滑模控制(non-singular terminal sliding mode control, NTSMC)，以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗擾性，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。最后，以本文提出的模型為仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)象，與傳統(tǒng)滑模法進(jìn)行了仿真對(duì)比。
1 模型建立
1.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)
壓縮式中央空調(diào)測試平臺(tái)系統(tǒng)主要由壓縮式制冷部分和中央空調(diào)末端組成。
制冷部分主設(shè)備包含壓縮機(jī)、冷凝器、節(jié)流裝置、蒸發(fā)器。其中節(jié)流裝置設(shè)置有電子膨脹閥、熱力膨脹閥和電動(dòng)針形調(diào)節(jié)閥3種不同的節(jié)流方式，用戶可根據(jù)需求選擇節(jié)流裝置。
系統(tǒng)裝置如圖1所示。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。
圖1 制冷系統(tǒng)裝置Fig. 1 Devices of refrigeration system
表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of refrigeration system
1.2 換熱器建模
在制冷系統(tǒng)運(yùn)行過程中，電子膨脹閥和壓縮機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)遠(yuǎn)比蒸發(fā)器和冷凝器的快，因此，在建模過程中采用穩(wěn)態(tài)建模，而對(duì)于動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢的換熱器則采用動(dòng)態(tài)建模。制冷系統(tǒng)的整體模型就由壓縮機(jī)膨脹閥穩(wěn)態(tài)模型和換熱器動(dòng)態(tài)模型組成。
本平臺(tái)中采用管式換熱器的當(dāng)量直徑，將管道看作一維管道。因流體在管道中的流動(dòng)非常復(fù)雜，一般的分區(qū)集中參數(shù)法均視以下條件為前提：
1)制冷劑在管內(nèi)為軸向的一維流動(dòng)，只考慮換熱器的徑向傳熱，忽略軸向傳熱；
2)假定每個(gè)相區(qū)內(nèi)換熱器管壁溫度均勻；
3)忽略換熱器管內(nèi)不凝氣體、油膜等對(duì)傳熱的影響；
4)換熱器在兩相區(qū)內(nèi)，采用均相模型，即具有相同的飽和壓力和飽和溫度，且兩相的流動(dòng)速度相等；
5)在兩相區(qū)采用平均空泡系數(shù)模型，認(rèn)為平均空泡系數(shù)基本不變；
6)制冷劑除了在蒸發(fā)器和冷凝器的管內(nèi)有換熱外，與管外介質(zhì)無熱交換。
在質(zhì)量守恒、能量守恒和管壁能量平衡定律的基礎(chǔ)上對(duì)換熱器進(jìn)行建模。利用分區(qū)集中參數(shù)法，即將蒸發(fā)器內(nèi)部分為兩相區(qū)和過熱區(qū)，分別對(duì)2個(gè)區(qū)域進(jìn)行集中參數(shù)建模。但由于高階機(jī)理模型各變量關(guān)系較為復(fù)雜，且含有制冷劑物性參數(shù)及其偏微分，非常不便于控制器設(shè)計(jì)。為了獲得簡化非線性模型，在建模過程中進(jìn)行如下簡化處理：
1)蒸發(fā)器與冷凝器均只考慮兩相區(qū)；
2)換熱器能量守恒方程只考慮換熱器溫度的變化，而質(zhì)量守恒方程只考慮兩相區(qū)長度的變化；
3)空隙率、換熱系數(shù)與制冷劑物性參數(shù)均采用常數(shù)。
蒸發(fā)器兩相區(qū)原理圖如圖2所示。圖2中：le為蒸發(fā)器兩相區(qū)長度；Le為蒸發(fā)器管道總長度；D為蒸發(fā)器當(dāng)量直徑。
圖2 蒸發(fā)器相區(qū)原理圖Fig. 2 Principle diagram of evaporator zone
簡化后的兩相區(qū)內(nèi)的制冷劑質(zhì)量Me和能量Ue分別為：式中：γe為空隙率；Ae為蒸發(fā)器管道橫截面積；ρl和ρg分別為制冷劑飽和液體和蒸汽密度；hl和hg分別為制冷劑飽和液體和蒸汽焓值。
聯(lián)立式(1)和(2)，得
這里忽略hl和hg隨壓力和溫度的變化，將式(3)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并進(jìn)行適當(dāng)變換，得
再由質(zhì)量及能量守恒定律可得
式中：為膨脹閥制冷劑質(zhì)量流量；為壓縮機(jī)制冷劑質(zhì)量流量；α1為蒸發(fā)器中制冷劑與冷凍水換熱系數(shù)；W為蒸發(fā)器管道橫截面周長；Te為蒸發(fā)溫度；Tw為冷凍水溫度。
聯(lián)立式(5)和(6)，有
根據(jù)式(4)和(7)，有
將等式兩邊系數(shù)近似為常數(shù)，并將等式左邊系數(shù)化為1，得
然后，將式(1)兩端對(duì)le求導(dǎo)，并將其代入式(5)得到
將等式左邊系數(shù)視為常數(shù)，則有
式(9)和(11)就是蒸發(fā)器的狀態(tài)方程。
此外，在過熱區(qū)局部應(yīng)用能量守恒方程，可估計(jì)出過熱度：
式中：α2為過熱區(qū)換熱系數(shù)；Cp,g為制冷劑的定壓比熱容。
同理可得冷凝器的狀態(tài)方程：
式中：Tc為冷凝溫度；Twa為冷凝器的管壁溫度，為另一個(gè)狀態(tài)變量，可以提高模型精度。根據(jù)管壁能量守恒定律，管壁溫度變化率可以用管壁吸收制冷劑熱功率和向空氣散發(fā)熱功率之和來描述：
式中：c6和c7分別為制冷劑側(cè)和空氣側(cè)的換熱系數(shù)；
Ta為環(huán)境溫度。式(13)~(15)為冷凝器的狀態(tài)方程。
1.3 壓縮機(jī)和電子膨脹閥建模
壓縮機(jī)和電子膨脹閥的參數(shù)變化迅速，慣性相對(duì)較小，所以可用穩(wěn)態(tài)模型進(jìn)行建模。這里采用穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)法建立其數(shù)學(xué)模型。
壓縮機(jī)質(zhì)量流量由以下經(jīng)驗(yàn)公式表示：
式中：f為壓縮機(jī)頻率；η為壓縮機(jī)效率；Vcom為壓縮機(jī)理論輸氣量。
壓縮機(jī)效率可由下式計(jì)算得到：
式中：Pe和Pc分別為蒸發(fā)壓力和冷凝壓力；κ為多變指數(shù)，對(duì)于R410a，取κ=1.23[20]。
電子膨脹閥的質(zhì)量流量可由下式確定：
式中：Cv為流量系數(shù)；k為膨脹閥開度。
1.4 模型驗(yàn)證
針對(duì)換熱器模型中未知系數(shù)，進(jìn)行最小二乘法辨識(shí)，得到的結(jié)果如表2所示。
為了驗(yàn)證換熱器模型的準(zhǔn)確性，在壓縮制冷機(jī)組平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在壓縮制冷系統(tǒng)中，蒸發(fā)器過熱度、蒸發(fā)溫度、冷凝溫度主要由壓縮機(jī)質(zhì)量流量膨脹閥質(zhì)量流量控制，對(duì)應(yīng)的實(shí)際控制量分別為壓縮機(jī)頻率f和電子膨脹閥開度k。通過在壓縮機(jī)頻率改變與電子膨脹閥開度變化時(shí)測量過熱度、蒸發(fā)溫度和冷凝溫度，與模型仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。
表2 換熱器模型參數(shù)Table 2 Parameters of heat exchanger model
初始條件如下：水箱水溫為10.8 ℃，室溫為30 ℃，冷凍水流量為4.35 m3/h。壓縮機(jī)頻率為70 Hz，電子膨脹閥開度85%。
在700 s時(shí)壓縮機(jī)頻率從70 Hz增加到90 Hz，膨脹閥開度保持不變。結(jié)果見圖3。
圖3 壓縮機(jī)頻率變化時(shí)模型驗(yàn)證Fig. 3 Model validation when frequency of compressor changes
在700 s時(shí)，膨脹閥開度從85%減小到55%，壓縮機(jī)頻率保持不變。結(jié)果見圖4。
通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比可以看出：模型具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)具有一定的動(dòng)態(tài)誤差。這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)裝置中采用的風(fēng)冷冷凝器置于室外，受環(huán)境條件影響較大；另外，對(duì)于模型中各物性參數(shù)及換熱系數(shù)的簡化，也會(huì)帶來一定的精度損失，但總體而言，各溫度指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差在1 ℃之內(nèi)，模型的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度可以比較準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的變化。
圖4 膨脹閥開度變化時(shí)模型驗(yàn)證Fig. 4 Model validation when opening of expansion valve changes
2 控制方法
2.1 擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)
制冷機(jī)組受環(huán)境溫度、風(fēng)速和濕度等影響較大，因此對(duì)于系統(tǒng)模型，存在模型失配與不確定性擾動(dòng)。本文針對(duì)蒸發(fā)器子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)。
由于蒸發(fā)器子系統(tǒng)中擾動(dòng)主要存在于蒸發(fā)溫度，因此根據(jù)前面提出的制冷系統(tǒng)模型，帶有擾動(dòng)觀測器的蒸發(fā)器模型如下式所示：
式中：d為復(fù)合擾動(dòng)；主要包括未建模動(dòng)態(tài)及參數(shù)不確定性、系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定工作點(diǎn)帶來的參數(shù)攝動(dòng)等。
設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器，需進(jìn)行以下假設(shè)。
假設(shè) 1 蒸發(fā)器子系統(tǒng)的復(fù)合擾動(dòng)及其各階導(dǎo)數(shù)是有界的，并且其范數(shù)滿足：其中：δ＞0。
現(xiàn)設(shè)計(jì)二階擾動(dòng)觀測器估計(jì)復(fù)合擾動(dòng)d。
式中：和分別為d和的估計(jì)值；p1和p2為輔助變量；L1和L2為正的常系數(shù)。
定理1 二階擾動(dòng)觀測器的估計(jì)誤差有界。
證明 定義估計(jì)誤差為
得
同理可得
定義觀測器的誤差為易得觀測器誤差的狀態(tài)方程為
式中：
通過選擇合適的參數(shù)L1和L2使得Ae的特征值位于左半開平面，從而上述誤差方程漸進(jìn)穩(wěn)定。
選擇Lyapunov函數(shù)
其中：Pe滿足AeTPe+PeAe=-Qe，Qe為正定陣。
對(duì)該Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得
式中：0＜αe＜1。
所以，有
另外，滿足不等式
可得最終邊界為
證畢。
2.2 非奇異terminal滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
傳統(tǒng)滑模控制方法主要問題是控制器輸出容易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，不能保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。因此，針對(duì)上述問題，設(shè)計(jì)改進(jìn)的terminal滑?？刂破饕愿玫乜朔鹘y(tǒng)滑模控制器的缺點(diǎn)，這里定義擾動(dòng)觀測器估計(jì)誤差的上確界為
定義蒸發(fā)溫度誤差為
式中：Ter為蒸發(fā)溫度參考值。
定義滑模變量σ=e，控制目標(biāo)是使蒸發(fā)溫度較快達(dá)到給定值，即使得σ=0。同時(shí)，為了更好地利用擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)信息，還設(shè)計(jì)控制器以使得滑模變量的導(dǎo)數(shù)為0，即使得滑模變量及其二階導(dǎo)數(shù)如下：
系統(tǒng)的相對(duì)階為 1，為便于控制器的設(shè)計(jì)，選取輔助變量
把二階滑模的控制問題轉(zhuǎn)換為不確定二階系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題：
式中：f和b(b≠0)是關(guān)于y的有界光滑的非線性不確定函數(shù)。
在式(32)中，控制量而實(shí)際的控制量為壓縮機(jī)頻率f，f由求得，所以，此二階滑模系統(tǒng)的控制量是由v通過積分而得的，這樣就克服了傳統(tǒng)滑模控制作用的不連續(xù)性，可以消除抖振。
現(xiàn)針對(duì)系統(tǒng)(32)設(shè)計(jì)改進(jìn)的terminal滑?？刂破鳌鹘y(tǒng)的terminal滑模面如下：
式中：β＞0；p和q為正奇數(shù)，滿足1＜p/q＜2。
存在TSM的充分條件為
式中：η＞0。
當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面s=0時(shí)，有
即
通過選擇合適的控制v使得系統(tǒng)滿足條件(34)，則系統(tǒng)可在有限時(shí)間tr內(nèi)[21]到達(dá)滑模面s=0。在系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，可以證明y1和y2在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0[21]。
傳統(tǒng)的滑?？刂屏窟x為
式中：K＞0。注意到控制項(xiàng)中包含當(dāng)y1= 0,y2≠0時(shí)，形成奇異現(xiàn)象。在理想滑模面上，有將其代入得因?yàn)?＜p/q＜2，所以，2q/p-1＞0；當(dāng)y1=0時(shí)，并不會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。但是，由于計(jì)算誤差和不確定性的影響，保證理想滑模面幾乎不可能，因此，只要出現(xiàn)y1=0,y2≠0時(shí)就會(huì)發(fā)生奇異現(xiàn)象。因此，采用非奇異terminal滑模法是必要的。
本文提出的非奇異terminal滑模面如下：
式中：式(37)中添加了線性項(xiàng)，當(dāng)接近給定值時(shí)可以加快收斂速度。另外，設(shè)計(jì)項(xiàng)是為了保證在計(jì)算過程中每一項(xiàng)都為實(shí)數(shù)。
定理2 對(duì)于式(37)，若控制為
系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。
證明
1)若y2≠0，則由于其中p?q為偶數(shù)，所以，總有ρ＞0。此時(shí)滿足條件(34)，系統(tǒng)自然可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。
2)若y2=0，則有
易證系統(tǒng)同樣可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn)[21?22]，同時(shí)從控制量中容易看出不包含可能導(dǎo)致奇異的項(xiàng)。
證畢。
現(xiàn)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，由上述推導(dǎo)，將各變量代入式(38)可得：
得到控制量后，對(duì)其進(jìn)行積分可得到實(shí)際控制量
2.3 傳統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
為了更好地體現(xiàn)本方法的優(yōu)越性，另設(shè)計(jì)傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對(duì)比。
選擇滑模面如下：
對(duì)式(40)求導(dǎo)，得
設(shè)計(jì)控制量
式中：K1為正常數(shù)。
將式(42)代入式(41)，得閉環(huán)系統(tǒng)：
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定條件易知，只需滑模變量將會(huì)漸進(jìn)收斂到滑模面σ1=0。
3 仿真結(jié)果
現(xiàn)以控制制冷機(jī)組的蒸發(fā)溫度為目標(biāo)，對(duì)基于擾動(dòng)觀測器的NTSMC法進(jìn)行仿真研究。本文設(shè)計(jì)了3組仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)控制方法中采用的擾動(dòng)觀測器及NTSMC的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證。
3.1 擾動(dòng)觀測器優(yōu)越性驗(yàn)證
根據(jù)式(16)和(18)，壓縮機(jī)頻率和電子膨脹閥開度的改變會(huì)引發(fā)壓縮機(jī)質(zhì)量流量和膨脹閥質(zhì)量流量的變化，相當(dāng)于給系統(tǒng)輸入端施加了一個(gè)復(fù)合擾動(dòng)。在初始條件下，水箱水溫為10.8 ℃，室溫為30 ℃，冷凍水流量為4.35 m3/h。壓縮機(jī)頻率為70 Hz，電子膨脹閥開度為85%，選取觀測器增益L1=8，L2=100。
在膨脹閥開度變化情況下，加入 DOB模型與原模型蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖5。在500 s時(shí)，膨脹閥開度從85%階躍下降為55%，其他條件不變；在1 000 s時(shí)，膨脹閥開度從55%變?yōu)?5%，其他條件不變。
在壓縮機(jī)頻率變化情況下，加入 DOB模型與原模型蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖6。在500 s時(shí)，壓縮機(jī)頻率從70 Hz階躍上升為90 Hz，其他條件不變；在1 100 s時(shí)，壓縮機(jī)頻率從90 Hz變?yōu)?0 Hz，其他條件不變。
圖5 膨脹閥開度變化蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 5 Comparison of evaporation temperature when opening of expansion valve changes
由圖5和圖6可知：與原模型相比，在壓縮機(jī)頻率和膨脹閥開度信號(hào)階躍變化的情況下，加入 DOB模型都具有更短的調(diào)節(jié)時(shí)間和更快的收斂速度，其蒸發(fā)溫度比原模型先到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。因此，加入 DOB可使系統(tǒng)具有更優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能。圖7和圖8所示分別為當(dāng)膨脹閥開度變化和壓縮機(jī)頻率變化時(shí) DOB模型估計(jì)出的復(fù)合擾動(dòng)值。從圖7和圖8可以看出：當(dāng)膨脹閥開度于500 s和1 000 s階躍變化時(shí)，觀測器均迅速反應(yīng)，擾動(dòng)估計(jì)值隨開度信號(hào)變化，并在300 s內(nèi)穩(wěn)定；當(dāng)壓縮機(jī)頻率于500 s和1 100 s階躍變化時(shí)，觀測器均迅速反應(yīng)，估計(jì)值均在400 s內(nèi)穩(wěn)定。因此，加入DOB對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)有較快的響應(yīng)和計(jì)算速度。
圖6 壓縮機(jī)頻率變化蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 6 Comparison of evaporation temperature when frequency of compressor changes
圖7 膨脹閥開度變化時(shí)DOB模型擾動(dòng)估計(jì)Fig. 7 Estimation of disturbance as opening of expansion valve changes
圖8 壓縮機(jī)頻率變化時(shí)DOB模型擾動(dòng)估計(jì)Fig. 8 Estimation of disturbance when frequency of compressor changes
3.2 NTSMC法優(yōu)越性驗(yàn)證
蒸發(fā)溫度初始參考值為8.5 ℃。在200 s時(shí)，將蒸發(fā)溫度參考值設(shè)為6 ℃，其他條件不變；在600 s時(shí)，將蒸發(fā)溫度參考值設(shè)為8.5 ℃，其他條件同樣不變。選取α=2，β=1，γ=3，p=5，q=3，K=5，K1=2，擾動(dòng)觀測器的參數(shù)選取同上，蒸發(fā)溫度對(duì)比見圖9。
圖9 SMC與NTSMC下蒸發(fā)溫度對(duì)比Fig. 9 Comparison of evaporation temperature under SMC and NTSMC
從圖9可以看出：NTSMC在給定值階躍變化后很快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而 SMC的調(diào)節(jié)時(shí)間較長，且存在比較明顯的抖振現(xiàn)象，在給定值附近波動(dòng)。因此，NTSMC法在調(diào)節(jié)速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面都具有比較明顯的優(yōu)勢，而且不存在傳統(tǒng)滑模存在的抖振問題。SMC與NTSMC下控制量曲線對(duì)比見圖10。
從圖10可以看出，NTSMC控制量無抖動(dòng)，并且沒有明顯的波動(dòng)；SMC法在400 s左右出現(xiàn)了明顯的波動(dòng)，蒸發(fā)溫度也發(fā)生了較大的波動(dòng)，可能的原因是選擇了固定的控制器增益值，不能很好地適應(yīng)系統(tǒng)變化情況。因此，NTSMC法可以得到更穩(wěn)定的控制量輸出。
圖10 SMC與NTSMC下控制量對(duì)比Fig. 10 Comparison of controlled variable under SMC and NTSMC
3.3 NTSMC抗擾性檢驗(yàn)
在初始條件下，壓縮機(jī)頻率為70 Hz，膨脹閥開度為85%，在100 s時(shí)，給蒸發(fā)器系統(tǒng)控制輸入端一加性階躍擾動(dòng)d=0.1，控制器其他參數(shù)選取同上，蒸發(fā)溫度對(duì)比如圖11所示。
圖11 SMC與NTSMC抗擾性檢驗(yàn)Fig. 11 Disturbance rejection tests of SMC and NTSMC
由圖11可見，NTSMC法蒸發(fā)溫度受階躍擾動(dòng)后下降，隨即迅速上升，并在700 s時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值；而SMC法蒸發(fā)溫度雖受擾動(dòng)下降幅度略小于前者，但調(diào)節(jié)速度明顯慢于前者，在1 000 s時(shí)才到達(dá)穩(wěn)態(tài)。因此，總體來看，NTSMC法具有更好的抗擾性和更快的調(diào)節(jié)速度。
4 結(jié)論
1)在模型建立方面，經(jīng)過合理假設(shè)和對(duì)換熱系數(shù)以及制冷劑物性參數(shù)的簡化，通過機(jī)理建模結(jié)合實(shí)驗(yàn)辨識(shí)求得制冷機(jī)組五階模型，并由仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了模型良好的精確性。
2)在控制方法方面，通過結(jié)合擾動(dòng)觀測器和二階terminal滑模法對(duì)所提出的模型進(jìn)行控制。設(shè)計(jì)了二階擾動(dòng)觀測器，并證明了擾動(dòng)估計(jì)誤差的有界性，計(jì)算了誤差的最終邊界；針對(duì)傳統(tǒng)的滑?？刂埔桩a(chǎn)生抖振的現(xiàn)象和較慢的收斂速度，在二階滑模系統(tǒng)的基礎(chǔ)上采用terminal非線性滑模面，并分析了TSM控制中可能出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象，針對(duì)此現(xiàn)象提出了NTSM法；將控制量設(shè)計(jì)為實(shí)際控制量的導(dǎo)數(shù)，這樣在計(jì)算實(shí)際控制量時(shí)由于積分的作用，消除了傳統(tǒng)滑模中的抖振問題。通過與基于擾動(dòng)觀測器的傳統(tǒng)滑模法的對(duì)比仿真，驗(yàn)證了NTSM法具有更好的抗擾性和更快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。
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