基于五桿機(jī)構(gòu)的3D打印頭傳動(dòng)設(shè)計(jì)與軌跡控制

秦念對(duì)，林 松，戴小兵

（同濟(jì)大學(xué) 中德學(xué)院，上海 201804）

0 引言

3D打印是指通過(guò)數(shù)字化增加材料的方式逐層實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)件的制造[1]。其中熔融沉積型（FDM）3D打印機(jī)使用最為廣泛，其工作原理是將熱塑性絲狀材料逐層涂覆在零件的截面上冷卻成型。目前除少數(shù)FDM型3D打印機(jī)使用串聯(lián)機(jī)構(gòu)或Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)外[2]，多數(shù)采用正交三坐標(biāo)結(jié)構(gòu)。三坐標(biāo)結(jié)構(gòu)控制簡(jiǎn)單，但由于打印頭需要橫梁、光軸導(dǎo)軌的支撐和引導(dǎo)，內(nèi)部打印空間受到較大限制，且同步齒型帶的磨損老化以及導(dǎo)引機(jī)構(gòu)的慣性會(huì)影響打印精度；在一些需要懸臂工作的場(chǎng)合：如型腔內(nèi)部加工、單邊離岸打印、變角度打印等工況下，三坐標(biāo)結(jié)構(gòu)由于受到外部框架的限制而難以勝任。針對(duì)這一問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種二自由度五桿機(jī)構(gòu)作為3D打印頭的平面?zhèn)鲃?dòng)機(jī)構(gòu)。

二自由度五桿機(jī)構(gòu)具有并聯(lián)機(jī)構(gòu)慣性小、剛度大、靈活性好、結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)作為一種可控機(jī)構(gòu)可以精確實(shí)現(xiàn)復(fù)雜軌跡。目前五桿機(jī)構(gòu)軌跡控制的方法主要有齒輪連桿法[3]、點(diǎn)陣調(diào)校法[4]、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法[5～7]。齒輪連桿法本質(zhì)上鎖定兩主動(dòng)桿的傳動(dòng)比，點(diǎn)陣調(diào)教法是將運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)點(diǎn)陣坐標(biāo)與兩主動(dòng)轉(zhuǎn)角相對(duì)應(yīng)，兩者均無(wú)法保證任意軌跡的生成；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法是通過(guò)末端執(zhí)行點(diǎn)位置反解所需的主動(dòng)轉(zhuǎn)角，雖能保證相鄰兩插補(bǔ)點(diǎn)的位置精度，但很難保證插補(bǔ)點(diǎn)之間的速度恒定，難以滿足3D打印頭均勻送料的要求。本文提出一種基于瞬心速度轉(zhuǎn)置法的速度環(huán)控制方法，通過(guò)MATLAB仿真，驗(yàn)證了該方法能有效控制位置誤差和速度波動(dòng)。該研究有助于改善3D打印機(jī)的空間利用率與工藝特性，所用控制方法在工業(yè)機(jī)器人、高速分揀、激光切割等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。

1 3D打印機(jī)設(shè)計(jì)建模及運(yùn)動(dòng)分析

1.1 五桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖尺寸與末端可達(dá)區(qū)域關(guān)系

3D打印的三維空間運(yùn)動(dòng)可分解為平面二維運(yùn)動(dòng)和垂直該平面的一維運(yùn)動(dòng)。本文采用平面五桿機(jī)構(gòu)作為平面二維運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。如圖1所示，取兩連桿的交點(diǎn)C作為打印頭的安裝點(diǎn)。為研究C點(diǎn)的理論運(yùn)動(dòng)范圍，假想五桿機(jī)構(gòu)從鉸鏈C斷開(kāi)為左支鏈LABC和右支鏈LEDC，C點(diǎn)在左支鏈的運(yùn)動(dòng)范圍是以A為圓心，兩桿之和RA=L2+L3、兩桿之差的絕對(duì)值rA=|L3-L2|分別為半徑的同心圓環(huán)SA。同理，C也在右支鏈RE=L4+L5和rE=|L5-L4|組成的同心圓環(huán)SE內(nèi)。左右兩圓環(huán)的交集為C點(diǎn)的理論可達(dá)區(qū)Sc，如圖2所示。

圖1 五桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 五桿機(jī)構(gòu)支鏈運(yùn)動(dòng)空間圖解

為研究Sc與機(jī)構(gòu)尺寸的關(guān)系，本文選用Morphologischer Kasten[8]方法，列出左右支鏈尺寸和機(jī)架變化時(shí)理論可達(dá)區(qū)的形態(tài)矩陣，如表1所示。

橫向比較表1可知，當(dāng)機(jī)架減小時(shí)，除rA＞RE情況外，理論可達(dá)區(qū)呈增大趨勢(shì)；縱向比較可知，當(dāng)各桿長(zhǎng)趨于相等時(shí)，理論可達(dá)區(qū)呈增大趨勢(shì)。當(dāng)L_1=0時(shí)，最大理論可達(dá)區(qū)為桿長(zhǎng)之和的較小值與桿長(zhǎng)之差的較大值圍成的圓環(huán)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

最大可達(dá)區(qū)面積Scmax=[min(2L2,2L4)]2×π，由L2，L4中較短桿決定，當(dāng)L2=L4時(shí)材料最省。綜上，令L1=0，L2=L3=L4=L5，可得最大理論可達(dá)區(qū)。

1.2 五桿機(jī)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)

雖然同心五桿機(jī)構(gòu)的理論可達(dá)區(qū)為一個(gè)完整的圓，但考慮到構(gòu)件整周轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與機(jī)架的干涉，僅選擇理論可達(dá)區(qū)SC的一半進(jìn)行工作空間設(shè)計(jì)，記為理論可達(dá)半?yún)^(qū)SH。由于安裝條件的限制，機(jī)架上兩驅(qū)動(dòng)電機(jī)的軸距往往不嚴(yán)格為零，本文將機(jī)架長(zhǎng)度設(shè)為可調(diào)，以研究五桿機(jī)構(gòu)的一般性規(guī)律。以一臺(tái)典型三坐標(biāo)3D打印機(jī)的矩形打印空間320mm×200mm為參照，根據(jù)表1右下角構(gòu)型計(jì)算矩形外接半圓的半徑為256.12mm，則桿長(zhǎng)的最小值為128.06mm?？紤]到邊界冗余量，取活動(dòng)桿長(zhǎng)L2=L3=L4=L5=150mm；將機(jī)架L1設(shè)為在[0,150mm]范圍內(nèi)可調(diào)，如圖3所示，虛線表示機(jī)架調(diào)節(jié)至同心時(shí)的構(gòu)型。

圖3 變機(jī)架五桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

表1 五桿機(jī)構(gòu)理論可達(dá)區(qū)與支鏈變化形態(tài)矩陣

1.3 打印機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

3D打印機(jī)的三維設(shè)計(jì)如圖4所示，工作臺(tái)1安裝在立式臺(tái)架2上。打印頭12安裝在五桿機(jī)構(gòu)11的連桿末端，五桿機(jī)構(gòu)的兩連架桿由豎直方向錯(cuò)開(kāi)布置的兩臺(tái)伺服電機(jī)9、14分別驅(qū)動(dòng)。為使機(jī)架長(zhǎng)度可調(diào)，使用正反雙向螺桿8連接兩電機(jī)所在的支撐板10、13，兩電機(jī)軸距最小可調(diào)整為零。整個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)5、6、7可在螺旋推進(jìn)裝置的驅(qū)動(dòng)下沿直線導(dǎo)軌3、4做豎直方向移動(dòng)。

圖4 打印機(jī)三維結(jié)構(gòu)示意圖

1.4 基于五桿機(jī)構(gòu)的3D打印機(jī)運(yùn)動(dòng)分析

1.4.1 奇異性規(guī)避策略與唯一解定義

為便于五桿機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)與控制，需要避免理論可達(dá)半?yún)^(qū)存在的奇異位置。如圖5所示，五桿機(jī)構(gòu)的正解（已知θ2、θ5求C點(diǎn)坐標(biāo)）有兩解，對(duì)應(yīng)構(gòu)型為{A,B,C,D,E}和{A,B,C',D,E}；五桿機(jī)構(gòu)的反解（已知C點(diǎn)坐標(biāo)求θ2、θ5）有四解，對(duì)應(yīng)構(gòu)型分別為：{A,B,C,D,E}；{A,B,C,D',E}；{A,B',C,D',E}；{A,B',C,D,E}。多解之間的過(guò)渡會(huì)通過(guò)相鄰桿共線的構(gòu)型，運(yùn)動(dòng)空間和特性會(huì)發(fā)生不確定性，導(dǎo)致五桿機(jī)構(gòu)的奇異性。為保證3D打印機(jī)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性和控制的可靠性，分析所有構(gòu)型可知，僅需定義“凸五邊形”構(gòu)型為唯一實(shí)解，即可同時(shí)保證正解和反解都有唯一解{A,B,C,D,E}，便于后續(xù)控制算法的擬定。

1.4.2 最佳打印區(qū)定義

當(dāng)機(jī)架AE不為零時(shí)，需考慮避開(kāi)兩連桿共線時(shí)的位置以避免電機(jī)的運(yùn)動(dòng)干涉。如圖6所示，機(jī)架以上部分為理論可達(dá)半?yún)^(qū)SH；在BCD三點(diǎn)保持共線時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩主動(dòng)桿，C點(diǎn)產(chǎn)生的軌跡所包圍的區(qū)域定義為打印奇異區(qū)SS；打印奇異區(qū)以外的理論可達(dá)區(qū)定義為實(shí)際可達(dá)區(qū)SR；而為適應(yīng)打印空間的規(guī)則性，定義圖示連桿共線時(shí)BD上方內(nèi)接四邊形為最佳打印區(qū)SP。用線性規(guī)劃的方

圖5 五桿機(jī)構(gòu)兩個(gè)正解與四個(gè)反解

式不難得到SP的最大面積。

圖6 打印空間定義

特別的，當(dāng)機(jī)架AE=0時(shí)，打印奇異區(qū)將消失，且理論可達(dá)上、下半?yún)^(qū)將聯(lián)通為實(shí)際可達(dá)區(qū)。打印奇異區(qū)的高度與AE長(zhǎng)度的關(guān)系如表2所示。

2 基于瞬心速度轉(zhuǎn)置法的五桿機(jī)構(gòu)軌跡控制

五桿機(jī)構(gòu)軌跡控制任務(wù)是根據(jù)打印頭的位置和速度要求，控制兩主動(dòng)桿的角速度及其轉(zhuǎn)向完成預(yù)定軌跡。常見(jiàn)的軌跡控制方法有位置環(huán)控制和速度環(huán)控制。位置環(huán)控制原理上基于五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，求解過(guò)程較為復(fù)雜，且無(wú)法保證插補(bǔ)點(diǎn)之間的恒定速度。本文提出一種基于瞬心速度轉(zhuǎn)置的速度環(huán)控制方法[9]。

假設(shè)C點(diǎn)以3D打印的恒定速度VC向目標(biāo)點(diǎn)P做勻速直線運(yùn)動(dòng)，表3以P點(diǎn)在上下左右(a,b,c,d)四個(gè)方位為例研究轉(zhuǎn)置速度。由于B、C兩點(diǎn)同在L3上，可求出L3的速度瞬心P31，同理求出L4的速度瞬心P41。將VC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得轉(zhuǎn)置速度VC，過(guò)VC'矢量終點(diǎn)分別作L3、L4的平行線交L2、L5得轉(zhuǎn)置速度Vb'，Vd'，再將兩轉(zhuǎn)置速度Vb'，Vd'分別繞B、D逆時(shí)針回轉(zhuǎn)90°得到B、D的真實(shí)速度Vb，Vd。

表2 打印奇異區(qū)高度與機(jī)架變化表

表3 瞬心速度轉(zhuǎn)置變化對(duì)比

已知打印頭運(yùn)行速度Vc的大小，可用運(yùn)動(dòng)分析的方式求出Vb，Vd的線速度大小，進(jìn)而求出兩主動(dòng)桿所需的角速度大小。為直觀判斷主動(dòng)桿的轉(zhuǎn)向。分析表3可知：當(dāng)轉(zhuǎn)置速度的矢量終點(diǎn)落在連架桿上，即|AVx'|

圖7 五桿機(jī)構(gòu)瞬心速度轉(zhuǎn)置法控制流程圖

3 MATLAB軌跡控制仿真與誤差分析

3.1 圖案打印測(cè)試與位置偏差分析

為驗(yàn)證上文提出的基于瞬心速度轉(zhuǎn)置的速度環(huán)軌跡控制方法的正確性，編寫(xiě)MATLAB控制代碼[10]。設(shè)置工進(jìn)和快進(jìn)兩種運(yùn)動(dòng)模式，快進(jìn)時(shí)打印頭快速到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，不留下運(yùn)動(dòng)軌跡；工進(jìn)時(shí)速度較慢，保留打印頭C點(diǎn)產(chǎn)生的軌跡。通過(guò)實(shí)時(shí)刷新五桿機(jī)構(gòu)各鉸鏈位置的折線圖來(lái)模擬五桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)畫(huà)效果。

圖8 MATLAB圖案打印仿真與位置誤差分析

該程序?qū)崿F(xiàn)的功能為：使用瞬心轉(zhuǎn)置算法控制兩主動(dòng)轉(zhuǎn)角完成一幅由直線、圓弧、字母和文字等測(cè)試元素構(gòu)成的“同濟(jì)小屋”圖案，如圖8(a)所示；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)C點(diǎn)實(shí)際位置與理論位置的偏差，繪出已生成曲線和理論曲線之間的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值，如圖8(b)所示，當(dāng)前軌跡段運(yùn)行時(shí)位置偏差的標(biāo)準(zhǔn)差，如圖8(c)所示和整個(gè)軌跡段運(yùn)行時(shí)位置偏差的標(biāo)準(zhǔn)差，如圖8(d)所示。實(shí)線表示工進(jìn)，灰度線表示快進(jìn)。

分析圖8可知：快進(jìn)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差通常比工進(jìn)時(shí)更大，這意味著打印速度提高時(shí)，控制精度降低；當(dāng)打印頭接近打印區(qū)邊界時(shí)誤差較大，打印時(shí)應(yīng)盡量選擇中間區(qū)域；當(dāng)速度方向發(fā)生突變時(shí)誤差較大，在零件建模時(shí)可考慮轉(zhuǎn)折點(diǎn)的平滑過(guò)渡。

在忽略邊界點(diǎn)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)誤差的情況下，每段軌跡的局部偏差的標(biāo)準(zhǔn)差控制在0.01左右，全局軌跡段偏差的標(biāo)準(zhǔn)差在0.05左右，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差峰值主要由軌跡段之間的切換引起。仿真結(jié)果證明，瞬心速度轉(zhuǎn)置法可控制五桿機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行點(diǎn)在整個(gè)打印可達(dá)區(qū)完成任意預(yù)定軌跡，且位置誤差得到有效控制。

3.2 速度環(huán)控制與位置環(huán)控制對(duì)比

為研究本文提出的瞬心速度轉(zhuǎn)置法相對(duì)于傳統(tǒng)控制法控制效果的優(yōu)劣，使用基于運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的位置環(huán)控制與基于瞬心轉(zhuǎn)置法的速度環(huán)控制兩種方法分別繪制圖8(a)所示的“同濟(jì)小屋”圖案。調(diào)用MATLAB函數(shù)將兩種方法產(chǎn)生的位置數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel，通過(guò)打印頭每個(gè)時(shí)刻的位置變化求其平均速度。

3.2.1 位置偏差對(duì)比

表4 位置偏差對(duì)比

由表4可知，速度環(huán)控制時(shí)，工進(jìn)路段的位置偏差標(biāo)準(zhǔn)差平均值為0.02，最大值為0.4；位置偏差波動(dòng)較小?？爝M(jìn)路段的標(biāo)準(zhǔn)差平均為0.22，最高值為4.47。偏差峰值集中在轉(zhuǎn)折區(qū)和打印邊緣區(qū)，且最大誤差對(duì)打印速度較為敏感。

位置環(huán)控制時(shí)，工進(jìn)路段的位置偏差標(biāo)準(zhǔn)差平均值約為0.012，最大值為0.893，約為速度環(huán)控制的兩倍。且最大偏差并非發(fā)生在轉(zhuǎn)折區(qū)或打印邊緣區(qū)等特殊位置。綜合比較看來(lái)，速度環(huán)控制在位置精度上略遜于位置環(huán)控制，但可以有效控制位置誤差的突變。兩方法都可以保證較高的位置精度，綜合控制效果相差不大。

3.2.2 速度偏差對(duì)比

由表5可知：速度環(huán)控制時(shí)，速度相對(duì)偏差較小，主體部分穩(wěn)定在1%左右，平均值為0.20%，最大值為9.32%，峰值發(fā)生在轉(zhuǎn)折區(qū)或邊緣區(qū)。

表5 速度偏差對(duì)比表

位置環(huán)控制時(shí)，速度的相對(duì)偏差大于速度環(huán)控制，主體穩(wěn)定在10%范圍內(nèi)，平均值為1.20%，最大波動(dòng)可達(dá)70%，這對(duì)打印頭均勻噴涂的平穩(wěn)性要求較為不利。在速度波動(dòng)對(duì)比中，本文提出的速度環(huán)控制方法具有顯著優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文研究了五桿機(jī)構(gòu)作為3D打印頭平面?zhèn)鲃?dòng)機(jī)構(gòu)的可行性，建立了五桿機(jī)構(gòu)尺寸與其平面運(yùn)動(dòng)特性的關(guān)系模型，并設(shè)計(jì)了最佳打印區(qū)。針對(duì)3D打印對(duì)位置和速度精度的要求提出一種基于瞬心速度轉(zhuǎn)置法的五桿機(jī)構(gòu)軌跡控制方法，并編寫(xiě)了MATLAB控制程序。仿真結(jié)果表明：該方法能有效控制五桿機(jī)構(gòu)在任意軌跡上勻速運(yùn)動(dòng)，位置精度和速度波動(dòng)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)于傳統(tǒng)位置環(huán)控制方法。

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