介入手術(shù)機(jī)器人滑輪繩索系統(tǒng)傳動特性的研究*

殷 杰，齊 飛，鞠 峰，陳 柏

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

隨著達(dá)芬奇手術(shù)機(jī)器人的出現(xiàn)和推廣應(yīng)用[1]，機(jī)器人輔助介入手術(shù)系統(tǒng)得到廣泛的關(guān)注，國內(nèi)外很多學(xué)者對這個領(lǐng)域展開一系列研究。相比于傳統(tǒng)介入手術(shù)治療，機(jī)器人技術(shù)能夠提高醫(yī)療器械靈巧性和控制精度，同時能大大提高手術(shù)成功率和降低醫(yī)生的疲勞程度[2]。當(dāng)微創(chuàng)介入導(dǎo)管機(jī)器人進(jìn)入人體時，保證機(jī)器人運(yùn)動精度是非常關(guān)鍵的，很小的力損失都會對人體造成傷害，甚至威脅病人的生命。因此，手術(shù)機(jī)器人精確力控制一直是研究的熱點(diǎn)和難題[3]。為了實(shí)現(xiàn)精確力控制，需要研究手術(shù)機(jī)器人系統(tǒng)的力傳輸特性。

介入導(dǎo)管手術(shù)機(jī)器人主要采用繩索驅(qū)動機(jī)構(gòu)[4]，能在狹小的血管中運(yùn)動，減小體積和重量，有較高的靈活性。然而，由于滯后、側(cè)隙、死區(qū)等非線性問題，繩驅(qū)動方式存在一些缺陷，這些非線性行為導(dǎo)致張力損失和系統(tǒng)性能差[5]。根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)傳動模型進(jìn)行劃分，繩驅(qū)動結(jié)構(gòu)大致可以兩種：一種是通過滑輪進(jìn)行換向，其傳動路線固定；第二種可以通過套索進(jìn)行傳動，其傳動路線可以是任意方向。這兩種傳動方式在醫(yī)療機(jī)器人中都有所應(yīng)用，如下肢外骨骼康復(fù)機(jī)器人，達(dá)芬奇手術(shù)機(jī)器人，Sensei送管機(jī)器人系統(tǒng)，腹腔鏡手術(shù)機(jī)器人等[6]。但是由于在傳動過程中存在非線性摩擦，導(dǎo)致在使用力控制模型控制導(dǎo)管機(jī)器人時，難以準(zhǔn)確控制其驅(qū)動力的大小。

一種解決方式是在傳動系統(tǒng)末端添加傳感器測量實(shí)際輸出力，但是由于機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜且微小，不易直接在末端添加傳感器。同時傳感器對環(huán)境的要求很高，在插管實(shí)驗(yàn)時人體環(huán)境會對其較大干擾，導(dǎo)致精度下降。

另一種方式是通過建立傳動模型對輸出力進(jìn)行實(shí)時預(yù)測和計(jì)算，這種方式是現(xiàn)在主流的研究方向。吳青松等[7]推導(dǎo)了任意負(fù)載條件下的雙套索力矩傳動模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證雙套索系統(tǒng)在正弦輸入各階段力矩傳動關(guān)系，并建立摩擦補(bǔ)償模型；GAO Xiao-ping[8-9]對Capstan方程進(jìn)行改進(jìn)，引入power法則摩擦力和彎曲剛度對高性能的紗線傳動模型進(jìn)行分析，為精確控制張力提供理論依據(jù)；XUE Ren-feng[10]將該方法應(yīng)用于腹腔鏡手術(shù)機(jī)器人末端執(zhí)行器，并提出了力和位置補(bǔ)償策略；PENG Yun[11]基于任意拉格朗日歐拉耦合法，提出了有效的摩擦索滑輪系統(tǒng)多體建模方法。

針對介入導(dǎo)管機(jī)器人的滑輪繩索傳動結(jié)構(gòu)，本文在Capstan方程基礎(chǔ)上，建立系統(tǒng)傳動模型，并分析傳動過程中非線性摩擦力，通過仿真和實(shí)驗(yàn)分析傳動模型的準(zhǔn)確性，在不加入傳感器的情況下，準(zhǔn)確預(yù)測繩索末端輸出力。

1 滑輪繩索系統(tǒng)

在機(jī)器人驅(qū)動單元中由于繩索需要換向和預(yù)緊，在傳動系統(tǒng)中常使用滑輪進(jìn)行傳動和換向，同時在繩驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng)中存在非線性摩擦和導(dǎo)管本體反作用力，在手術(shù)過程中很難預(yù)測力和位置[12-14]。本文建立了驅(qū)動單元的力傳遞模型，以便更好地實(shí)現(xiàn)導(dǎo)管力控制，保證導(dǎo)管介入的安全性和可靠性。

介入導(dǎo)管機(jī)器人單節(jié)繩索通過兩組滑輪進(jìn)行轉(zhuǎn)向，最終將力傳遞到導(dǎo)管前端。導(dǎo)管采用單線驅(qū)動方式，其本身可以看成彈性體，施加外力變形，撤去外力恢復(fù)原狀，因此可以用彈簧等效為導(dǎo)管本體，機(jī)器人驅(qū)動模塊滑輪繩索系統(tǒng)圖如圖1所示。

圖1 機(jī)器人驅(qū)動模塊滑輪繩索系統(tǒng)圖虛線—該狀態(tài)下力的方向；P1，P2—兩個滑輪;R0—驅(qū)動軸半徑;R1，θ1——滑輪P1半徑和夾角;R2，θ2—滑輪P2半徑和夾角。

整個系統(tǒng)類似于一個開環(huán)系統(tǒng)，具有兩種獨(dú)立的狀態(tài)。實(shí)線表示電機(jī)正轉(zhuǎn)時，繩索處于繃緊狀態(tài)，此時驅(qū)動繩索受到電機(jī)輸出力Tin和彈簧阻力Tout的作用，且Tin﹥Tout，繩索收縮，拉緊彈簧，黑色箭頭表示該狀態(tài)下力的方向；當(dāng)電機(jī)反轉(zhuǎn)時，繩索處于放松狀態(tài)，且Tin

2 滑輪繩索建模

2.1 經(jīng)典Capstan方程

經(jīng)典的Capstan方程用于建立皮帶輪的傳動模型，主要研究摩擦力對其傳動效率的影響，是相對簡單的傳動模型。由于摩擦力和張力的作用，繩索張力在滑輪兩端的力是不相等的。

(1)

式中:Ti-1，i—輸入力；Ti+1，i—輸出力；μ，—摩擦系數(shù)；α—包角。

由公式可見，當(dāng)摩擦系數(shù)和包角一定時，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i成線性關(guān)系；當(dāng)摩擦系數(shù)和輸入力一定時，包角越大，輸出力越??；當(dāng)包角和輸入力一定時，摩擦系數(shù)越大，輸出力越小。

2.2 非線性摩擦建模

經(jīng)典的Capstan方程相對簡單，假設(shè)條件較苛刻。僅僅考慮當(dāng)兩個物體接觸的時候，遵循Amontons準(zhǔn)則[15]。Amontons準(zhǔn)則只是對純剛體試用，當(dāng)兩個物體產(chǎn)生粘彈性變形時，遵循Power準(zhǔn)則，力的表達(dá)式為：

F=aNn,n≤1

(2)

式中：F—摩擦力；N—正向力；a—接觸特性常量1；n—接觸特性常量2。

當(dāng)n=1時，材料體現(xiàn)塑性變形；當(dāng)n=0.67時，材料體現(xiàn)出粘彈性變形。當(dāng)a=μ，n=1時，Power準(zhǔn)則和Amontons準(zhǔn)則一致。而本文采用的大力馬的釣魚線是一種高強(qiáng)度聚乙烯纖維線，屬于超高分子聚合物，同時具備粘性和彈性。理想彈性體是受到外力形變很小，符合胡克定律，撤去外力后能夠恢復(fù)原狀。理想粘性液體是指符合牛頓定律的流體，撤去外力之后不能恢復(fù)。在外力作用下，高分子材料的特性會介于彈性和粘性之間。

在滑輪傳動過程中，整個受力過程如圖2所示。

圖2 繩索受力分析圖T—繩子的張力；N—繩子的正壓力；V—運(yùn)動方向；M—剪切力矩；Q—剪切應(yīng)力；F—摩擦力；α—包角；Rj—第j個滑輪半徑；r—繩索半徑；R—滑輪半徑與繩索半徑之和

在無限小繩索中點(diǎn)處取原點(diǎn)O，X軸沿切線方向向右。考慮到x，y方向的受力平衡和扭矩M平衡，可以推導(dǎo)出X方向受力平衡：

(3)

Y方向受力平衡：

(4)

M轉(zhuǎn)矩平衡：

rdF=0

(5)

由于 dα→0，sindα→dα，cosdα→1 ，方程可以簡化為:

(6)

整套系統(tǒng)包括非線性摩擦，但是由于使用了柔性繩，可以忽略彎曲剛度的影響。

把Q=M=0，r=0代入式(3，4)可得：

T=aNn-Tdα+dN=0

(7)

最終可得：

(8)

在Ti-1，i滑輪輸入繩子的輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i的關(guān)系為：

(9)

根據(jù)式(9)分析可得：在a，n，θ一定的情況下，輸入力越大，輸出力越大；當(dāng)輸入力不變時，包角θ越大，輸出力越小。

3 滑輪繩索系統(tǒng)仿真及實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真分析

本研究令輸出力Ti，i+1=1，改變a和n取值，即改變接觸特性，模擬繩索材料兩種變形狀態(tài)，繪制出輸出輸入比例(1/Ti-1，i)隨包角變化的曲線。筆者利用經(jīng)典模型，當(dāng)n=1時，改變a的值，繪制出曲線(實(shí)線和點(diǎn)虛線)。根據(jù)非線性摩擦模型，保證a值為0.15和0.30，分別取n為0.99(塑性變形)和0.67(粘彈性變形)進(jìn)行仿真。

本研究同時對兩種模型進(jìn)行對比仿真，一種是經(jīng)典的Capstan方程模型，另一種是包含非線性摩擦力的滑輪繩索模型，兩種模型仿真對比圖如圖3所示。

圖3 兩種模型仿真對比圖

在經(jīng)典Capstan方程中，當(dāng)n=1時，摩擦系數(shù)μ=a，得到曲線一、二，兩條曲線在包角變大時，其輸出輸入的比值越小，由于輸出力一定，a越大輸入力越大，力損失也就越大，控制精度相對較差；而考慮其非線性摩擦?xí)r，在a不變時，對比塑性變形和粘彈性變形(n=1，n=0.67)，可知塑性變形時，包角和輸出輸入比成負(fù)相關(guān)，而粘彈性變形時，輸入力和輸出力的差值較小，力損失小，有利于提高控制精度。

對比曲線1(實(shí)線)和曲線4(虛線)，其a和n的值是一致的，兩種模型不同，但繪制的曲線相同，由此可見非線性摩擦模型和經(jīng)典Capstan方程具有一致性，經(jīng)典Capstan方程是非線性摩擦模型一種特殊情況。

利用非線性模型對輸入力和輸出力進(jìn)行仿真，使μ=0.3，n=0.67，θ=π，令輸出力：

(10)

式中：f—頻率，f=0.03 Hz；t—時間。

將輸入力代入式(9)，計(jì)算Ti-1，i輸入力的大小，同時模擬力損失的大小。

仿真分析圖如圖4所示。

圖4 仿真分析圖

由圖4(a)可知，在一個周期內(nèi)，輸入力隨時間先變小之后變大，輸出力也是先變小后變大，并且成正弦分布；由4(b)可知，力損失是隨時間近似成正弦分布，在輸入力最大時，輸出力最大，力損失最大；在輸入力最小時，輸出力最小，力損失也最小。

3.2 實(shí)驗(yàn)平臺搭建

本研究對上述兩種模型進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論和仿真的準(zhǔn)確性。根據(jù)簡圖1搭建實(shí)驗(yàn)平臺，如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺

本研究在輸入和輸出端添加拉力傳感器，以便測量力的大小。拉力傳感器用于測量輸入力和輸出力，利用送變器將力學(xué)量轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)電壓信號輸出0～5 V，并直接與自動控制設(shè)備接口或與計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)。Maxon電機(jī)提供初始的預(yù)緊力，以及位置模式下正弦輸出，保證正弦輸出力，實(shí)現(xiàn)繩長和力控制。電機(jī)控制器用于發(fā)送命令控制電機(jī)，具有速度、位置和電流模式，同時具有兩個模擬量輸入端口，可以讀取兩個拉力傳感器的數(shù)值，并將數(shù)據(jù)發(fā)送至上位機(jī)進(jìn)行處理。

首先在實(shí)驗(yàn)前，需要對兩個傳感器進(jìn)行標(biāo)定，保證測量值的準(zhǔn)確性。測量時，空載狀態(tài)為300 g，分別再加載0，200 g，400 g，600 g，800 g，1 000 g，1 200 g，1 400 g，1 600 g，1 800 g，2 000 g，2 200 g，2 400 g，2 600 g，2 800 g，3 000 g，3 200 g的砝碼，等信號穩(wěn)定后，讀取電壓值并保存至文本文件中，在Matlab中對其求平均值，在利用cftool工具包擬合曲線，得到兩組標(biāo)定曲線。

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

該實(shí)驗(yàn)利用Maxon電機(jī)的位置模式，輸入正弦軌跡：

(11)

式中：β—輸出角度變化，Maxon電機(jī)位置模式中以qc為單位，2 048 qc為電機(jī)轉(zhuǎn)一圈的大小。

通過調(diào)整電機(jī)位置，拉動繩索控制初始預(yù)緊力。繩索的伸長量為：

(12)

彈簧的拉力隨伸縮量變化，實(shí)驗(yàn)中阻力的等于彈簧的拉力：

(14)

式中：r1—旋轉(zhuǎn)軸半徑；k—彈性系數(shù)；x彈—彈簧伸縮量(繩索的伸縮量)。

大力馬線受力伸長量很小，可以忽略，因此繩索的伸長量x與彈簧伸縮量x彈相等。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析圖

如圖6(a)所示，在100 s內(nèi)3個周期中，輸入力和輸出力都是通過拉力傳感器實(shí)際測量的力，輸出力隨著輸入力的變化而發(fā)生變化。在一個周期內(nèi)輸入力先下降，電機(jī)反轉(zhuǎn)，彈簧收縮，此時彈簧相當(dāng)于驅(qū)動力，將彈簧力作為輸入力，靠近電機(jī)端的力視為輸出力；到達(dá)谷底的時候，輸入力逐漸增加，電機(jī)正轉(zhuǎn)，此時電機(jī)的力為輸入力(驅(qū)動力)，彈簧被動伸長，彈簧受力為輸出力，輸出力也逐漸變大。造成這種現(xiàn)象的原因是由于摩擦力的方向在電機(jī)正、反轉(zhuǎn)的時候不同，導(dǎo)致輸入和輸出力之間不斷轉(zhuǎn)換。

輸入力和輸出力的偏差即代表力的損失量，在滑輪繩索系統(tǒng)中，力損失主要是由于滑輪摩擦帶來的，因此滑輪摩擦可以近似等于力損失，如圖6(b)所示。分析摩擦力曲線可知：摩擦力大小是隨時間近似成正弦分布，在輸入力最大時，摩擦力最大，在輸入力最小時，摩擦力也最小，這與仿真的結(jié)果是相一致的。

在上述實(shí)驗(yàn)中，a，n，θ都是定值，不會影響實(shí)驗(yàn)中輸出力和輸入力的測量。為了驗(yàn)證滑輪摩擦模型是否準(zhǔn)確，本研究改變滑輪包角并進(jìn)行正弦運(yùn)動，找到運(yùn)動過程中輸出力為20 N時，輸入力的大小，計(jì)算輸入和輸出力之比，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不同包角輸入力和輸出力的比值

表1中，隨著包角角度的不斷變大，其輸出輸入的比值不斷變小，摩擦力也就不斷增加。但是整體下降幅度不大，單滑輪所受摩擦力較小，輸入力和輸出力相差不大。

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到的點(diǎn)線如圖7所示。

圖7 模型仿真及實(shí)驗(yàn)擬合曲線

擬合曲線與(a=0.15，n=0.67)考慮非線性摩擦的仿真分析結(jié)果一致。可以看出，利用經(jīng)典模型時，其輸入輸出比小，摩擦力損失較大。而考慮到非線性摩擦，其輸入輸出比小，摩擦力損失小，有利于力傳遞。同時在實(shí)驗(yàn)過程中，繩索的摩擦具有粘彈性，其不能等效為普通剛體，經(jīng)典Capstan方程并不適用于該系統(tǒng)，系統(tǒng)摩擦力較小。本文采用的繩索為高分子聚乙烯纖維，屬于聚合物，具有粘彈性，因此其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與粘彈性模型最為相似，在實(shí)際驅(qū)動過程中，可以采用此模型進(jìn)行力控制，能夠提高控制精度。

4 結(jié)束語

本文針對介入導(dǎo)管機(jī)器人繩驅(qū)動結(jié)構(gòu)，研究了繩索在傳動過程中受到的摩擦力，利用經(jīng)典Capstan方程分析繩索受力，考慮到非線性摩擦問題，根據(jù)Power準(zhǔn)則，分析了繩索粘彈性變形，建立了繩索-滑輪傳動模型。同時保證正弦輸出力前提下，利用非線性摩擦模型仿真輸入力以及系統(tǒng)力損失，并分析了力損失與輸入力和輸出力的關(guān)系。

本研究利用電機(jī)位置模式輸入正弦軌跡，保證正弦輸出力，測量了輸入力和輸出力，計(jì)算得到了力損失。通過改變包角，得到了實(shí)際輸入和輸出力的比值與包角關(guān)系曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相符合，進(jìn)一步驗(yàn)證了摩擦模型的準(zhǔn)確性，為介入手術(shù)機(jī)器人精確力控制提供了理論支撐。

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