基于Pade近似的廣域電力系統(tǒng)關(guān)鍵模態(tài)時滯軌跡分析

聶永輝， 張鵬宇， 馬彥超， 張藝川， 方彬彬， 呂大朋

(1． 東北電力大學(xué)教務(wù)處， 吉林省吉林市 132012； 2． 東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院， 吉林省吉林市 132012)

0 引言

隨著電網(wǎng)的擴(kuò)大和送電功率的增加，區(qū)間振蕩問題已成為影響互聯(lián)系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的最重要的因素之一[1-2]。傳統(tǒng)利用轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速或有功功率等局部信息，傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)反饋控制能有效地抑制局部振蕩模態(tài)，但對區(qū)間振蕩模態(tài)的控制效果大大降低甚至失效，那是由于發(fā)電機(jī)本地局部信號對區(qū)間振蕩模態(tài)不可控或不可觀測性造成的。隨著相量測量單元(PMU)和廣域測量系統(tǒng)(WAMS)的出現(xiàn)和發(fā)展，可為PSS控制獲取區(qū)域間的發(fā)電機(jī)相對轉(zhuǎn)子角和轉(zhuǎn)子角速度等全局反饋信息，這些全局信息對區(qū)間振蕩模態(tài)具有最大的可觀測性，這為大規(guī)模電力系統(tǒng)區(qū)間低頻振蕩抑制創(chuàng)造了條件[3-5]。但廣域信號具有高達(dá)幾十毫秒到數(shù)百毫秒的傳輸時滯，廣域信號傳輸時滯的引入在產(chǎn)生新模態(tài)的同時，其滯后相位特性將改變原有模態(tài)的阻尼比，使其可能進(jìn)入右半平面，嚴(yán)重惡化控制器的阻尼性能[6-8]。文獻(xiàn)[9]證明時滯控制系統(tǒng)分布在右半平面的特征值為有限個，因此探索時滯對電力系統(tǒng)關(guān)鍵模態(tài)和時滯相關(guān)模態(tài)的時滯影響規(guī)律，分析影響系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵因素，對電力系統(tǒng)阻尼控制器設(shè)計具有重要的理論意義。

探究時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的方法主要包括三類[10]：時域仿真法、基于Lyapunov理論的方法和頻域法的分析方法。其中第3種方法是將理論上已發(fā)展比較完善的線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析理論推廣到線性時滯系統(tǒng)。由于它可以深入揭示線性時滯系統(tǒng)的一些內(nèi)在規(guī)律，在一定意義上指導(dǎo)時滯系統(tǒng)控制器設(shè)計，因此科技工作者對此做了一些研究工作，由此形成了諸多實用方法，包括Pade近似法[11-13]、掃頻法[14-15]、基于純虛特征根的多項式變換或轉(zhuǎn)化法[16-17]。文獻(xiàn)[10]給出了一種利用預(yù)測—校正思路的時滯電力系統(tǒng)全特征譜追蹤算法；文獻(xiàn)[13]采用Pade逼近法近似廣域控制引進(jìn)的時滯環(huán)節(jié)，進(jìn)而分析了時延對其性能的影響規(guī)律，并最后應(yīng)用線性最優(yōu)方法確定了區(qū)間阻尼控制器控制參數(shù)；文獻(xiàn)[16]利用Rekasius變換替換指數(shù)項，從而將時滯系統(tǒng)的特征方程由一個超越方程變換為普通多項式，之后利用Routh判據(jù)確定時滯系統(tǒng)穩(wěn)定裕度；文獻(xiàn)[17]利用共軛虛根所滿足的特征方程消去該方程所含的指數(shù)項，無需中間的變量變換，從而將超越方程轉(zhuǎn)化為多項式方程并求解系統(tǒng)的純虛特征根，然后求解單時滯電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定裕度。

這些方法在時滯大小對大規(guī)模電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩模態(tài)的影響規(guī)律方面還缺乏有效的研究。本文在建立考慮時滯環(huán)節(jié)的大規(guī)模電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩廣域控制模型的基礎(chǔ)上，研究時滯大小對電力系統(tǒng)關(guān)鍵模態(tài)的影響規(guī)律，從而對大規(guī)模電力系統(tǒng)廣域阻尼控制設(shè)計提供科學(xué)依據(jù)。

1 考慮時滯影響的多機(jī)系統(tǒng)線性化控制模型

(1)

式中：ωs為同步電機(jī)角速度；ΔPm為發(fā)電機(jī)機(jī)械功率變化量，線性化后ΔPm=0；ΔPe為電磁功率變化量；D為阻尼系數(shù)；Td0′為d軸開路暫態(tài)時間常數(shù)；TJ為發(fā)電機(jī)慣性時間常數(shù)；Ka和Ta分別為勵磁系統(tǒng)綜合放大環(huán)節(jié)的增益和時間常數(shù)；ΔEq′為暫態(tài)電抗后的q軸電勢變化量；Efd為同步機(jī)空載時的定子電壓；Xd和Xd′分別為d軸同步、暫態(tài)電抗；Xq為q軸同步電抗；Vd和Vq分別為d軸、q軸電壓；Id和Iq分別為d軸、q軸電流；Vt為發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓。

圖1 計及時滯環(huán)節(jié)的閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖Fig.1 Block diagram of closed-loop control system considering time delay

所有變量為適當(dāng)維數(shù)的對角矩陣或向量且滿足乘法運(yùn)算規(guī)則，式(1)可整理為:

(2)

當(dāng)利用發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速差作為廣域反饋測量信號時，G(s)輸出方程為：

Y1=Δω= [Δω1Δω2… Δωn]T=

[0E00]X1

(3)

式中：E為適維單位矩陣。

設(shè)控制器K(s)為廣域反饋PSS，利用第i臺機(jī)組的速度差信號Δωi對某臺機(jī)組構(gòu)成廣域反饋回路時，控制器輸入為速度差信號經(jīng)時滯環(huán)節(jié)后的輸出為Δωitd，控制器輸出為ΔVs，當(dāng)取廣域反饋PSS狀態(tài)變量為X2=[ΔV1,ΔV2,ΔV3,ΔVs]T時，可得廣域反饋控制器的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

(4)

式中：KS為PSS放大倍數(shù)；T1至T6為時間常數(shù)。

電力系統(tǒng)采用廣域測量信號構(gòu)成反饋控制時,必然會產(chǎn)生一定數(shù)量大小的時滯。研究表明，當(dāng)控制系統(tǒng)含有時滯時，控制效果將會急劇惡化甚至引起系統(tǒng)失穩(wěn)。如圖1中，U2與Y1間存在時延環(huán)節(jié)，在拉普拉斯域中，時延環(huán)節(jié)可用e-τs表示，而包含時滯環(huán)節(jié)e-τs的控制系統(tǒng)是一個無窮維系統(tǒng)，這給閉環(huán)系統(tǒng)特征值求解和控制器設(shè)計帶來極大不便，本文采用Pade近似方法，將時滯項近似表達(dá)為有限維多項式[11-12]：

(5)

(6)

式中：l和k為Pade近似階數(shù)，階數(shù)越大，P(s)越接近于e-sτ，通常情況下，取l=k。

Pade近似過程相當(dāng)于對純時延環(huán)節(jié)進(jìn)行濾波處理，傳輸時延數(shù)值越小，二者一致相位區(qū)間越大，即濾波頻帶越寬，時滯近似程度越高。對于實際電力系統(tǒng)，其頻率特性呈低通性質(zhì)，幅頻穿越頻率一般小于10 Hz，實測廣域信號的傳輸時滯在0.1 s以內(nèi)，對于0.1 s的時滯，為使在頻帶0～5 Hz范圍內(nèi)近似逼近，Pade近似階數(shù)必須大于或等于2；而要保證在頻帶0～10 Hz范圍內(nèi)近似逼近，Pade近似階數(shù)必須大于或等于3，因此在電力系統(tǒng)中可以采用3階Pade近似逼近時滯[18]。

當(dāng)選擇第i臺機(jī)組的速度差信號Δωi為廣域反饋信號時，設(shè)X3=[x1，x2，…，xk]T為Pade近似表達(dá)狀態(tài)變量，可得基于Pade近似的時滯環(huán)節(jié)狀態(tài)空間表達(dá)式：

(7)

輸出方程為：

(8)

前面分別推導(dǎo)了時滯環(huán)節(jié)、廣域控制器和開環(huán)電力系統(tǒng)的線性化模型。由圖1可見，對系統(tǒng)線性后參考輸入為零，所以U1(t)=Y2(t)，聯(lián)立式(2)至式(8)，可推導(dǎo)得到閉環(huán)電力系統(tǒng)線性化模型為：

(9)

針對矩陣A研究時滯變化時對電力系統(tǒng)廣域反饋背景下的區(qū)間振蕩模態(tài)、局部振蕩模態(tài)和時滯相關(guān)模態(tài)影響規(guī)律。電力系統(tǒng)低頻振蕩為發(fā)電機(jī)組間功率動態(tài)振蕩，通過電氣聯(lián)系傳遞振蕩能量，故稱為機(jī)電振蕩，包含區(qū)間振蕩模態(tài)和局部振蕩模態(tài)。區(qū)間振蕩模態(tài)是指互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域之間發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對搖擺，振蕩頻率在0.2～0.5 Hz之間；局部振蕩模態(tài)指互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域內(nèi)部發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對搖擺，振蕩頻率在1～2.5 Hz之間，機(jī)電振蕩模態(tài)和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速有關(guān)；時滯相關(guān)模態(tài)是由于廣域控制回路帶來的控制模態(tài)，參與向量模值最大的分量與Pade近似狀態(tài)變量有關(guān)，時滯對該控制模態(tài)影響顯著。

2 時滯環(huán)節(jié)對電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩的影響分析及其實現(xiàn)

研究表明，利用PMU可以獲取轉(zhuǎn)子角和轉(zhuǎn)子角速度等遠(yuǎn)方全局反饋信息，利用這些全局信息可形成廣域反饋控制回路，這樣可以提高系統(tǒng)阻尼，較好地抑制區(qū)間振蕩模態(tài)，克服本地阻尼反饋對于區(qū)間振蕩模態(tài)控制效果不甚理想的缺點。

本文采用留數(shù)矩陣法選擇PSS安裝位置及反饋信號。對式(2)代表的開環(huán)電力系統(tǒng)進(jìn)行特征值計算，用λi表示第i個系統(tǒng)特征值，vi和ui分別為相應(yīng)特征值對應(yīng)的右、左特征向量，則傳遞函數(shù)矩陣可用留數(shù)矩陣表示：

(10)

(11)

式中：B和C分別為系統(tǒng)輸入和輸出矩陣；上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置；Ri為特征值λi的留數(shù)矩陣。

Ri的第k行第l列元素為:

(12)

(13)

當(dāng)廣域PSS控制器的輸入信號被延時τ時，包含時滯環(huán)節(jié)的廣域PSS控制器變?yōu)椋?/p>

(14)

因此，計及廣域信號時延的廣域PSS控制器構(gòu)成的反饋控制對第i個模態(tài)的影響可以表示為：

(15)

設(shè)第i個機(jī)電模態(tài)為λi=σ+jω，則時滯環(huán)節(jié)帶來的滯后相位φ和增益γ為：

(16)

由式(16)可以看出，時滯環(huán)節(jié)的相位是隨時滯周期變化的，為機(jī)電模態(tài)λi帶來周期變化的附加轉(zhuǎn)矩，而其帶來的附加增益隨時滯呈指數(shù)規(guī)律變化，時滯環(huán)節(jié)的相位和幅值增益特性使機(jī)電模態(tài)的時滯變化軌跡呈旋轉(zhuǎn)變化，后面仿真將驗證這個結(jié)論。

下面事先指定PSS參數(shù)T2,T4,T5,T6，應(yīng)用進(jìn)化算法對PSS的其他參數(shù)Ks,T1,T3進(jìn)行優(yōu)化，以使具有最小阻尼比的機(jī)電振蕩模態(tài)最大化。在此基礎(chǔ)上，在控制回路引進(jìn)時滯，從而研究時滯大小對電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩模態(tài)的影響規(guī)律。

時滯大小對電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩模態(tài)的影響規(guī)律的研究流程如下：①建立開環(huán)電力系統(tǒng)線性化模型，基于留數(shù)矩陣法選擇廣域反饋控制回路，建立廣域閉環(huán)電力系統(tǒng)線性化模型；②利用智能進(jìn)化算法對PSS的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以使具有最小阻尼比的機(jī)電振蕩模態(tài)最大化；③引進(jìn)廣域信號通信時延，建立廣域閉環(huán)電力系統(tǒng)線性化模型，利用稀疏特征值方法[19]，計算閉環(huán)電力系統(tǒng)的部分特征值，進(jìn)而研究不同時滯對區(qū)間振蕩模態(tài)、局部振蕩模態(tài)和時滯相關(guān)模態(tài)的影響規(guī)律。

3 算例仿真

本文利用兩區(qū)域四機(jī)系統(tǒng)和New England系統(tǒng)對所提方法進(jìn)行仿真驗證。系統(tǒng)參數(shù)分別見文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[20]。

3.1 兩區(qū)域四機(jī)系統(tǒng)時滯影響規(guī)律分析

本文首先對兩區(qū)域四機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行算例分析。采用留數(shù)矩陣法選擇PSS安裝位置為4號機(jī)組，反饋信號取自2號機(jī)組轉(zhuǎn)速信號，建立無時滯電力系統(tǒng)廣域反饋控制模型。本文PSS采用4階模型，對PSS參數(shù)T2,T4,T5,T6指定為0.07，0.07，5，0.02，利用智能算法對Ks,T1,T3優(yōu)化以使具有最小阻尼比的機(jī)電振蕩模態(tài)最大化，區(qū)間模態(tài)和局部模態(tài)優(yōu)化結(jié)果為-0.106±j3.347，-0.411±j7.00，-0.392±j6.709，系統(tǒng)穩(wěn)定并且具有一定的阻尼比；在此基礎(chǔ)上，采用上述參數(shù)構(gòu)成計及時滯環(huán)節(jié)的廣域反饋模型，研究時滯對電力系統(tǒng)區(qū)間振蕩模態(tài)、局部振蕩模態(tài)和時滯相關(guān)模態(tài)的影響規(guī)律。

當(dāng)時滯環(huán)節(jié)采用3階Pade近似模型，傳輸時滯在0～2 s之間變化時，研究時滯大小對區(qū)間振蕩模態(tài)、局部振蕩模態(tài)和時滯相關(guān)模態(tài)的影響規(guī)律，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，即使對于0.02 s這樣小的時滯，區(qū)間振蕩模態(tài)具有0.000 17的正實部，從而使該模態(tài)動態(tài)響應(yīng)特性變差，這說明時滯環(huán)節(jié)在該時滯情況下所提供的阻尼是負(fù)阻尼。隨著時滯的變化，區(qū)間振蕩模態(tài)的時滯變化軌跡按順時針旋轉(zhuǎn)變化，這是由于時滯環(huán)節(jié)具有周期相位特性和指數(shù)幅值增益特性，在勵磁控制系統(tǒng)引入計及時滯環(huán)節(jié)的廣域控制回路后，為區(qū)間振蕩模態(tài)提供了周期變化的附加阻尼轉(zhuǎn)矩，使該模態(tài)時滯變化軌跡旋轉(zhuǎn)變化并部分越過虛軸，從而使該模態(tài)的阻尼比變負(fù)；對于兩個局部振蕩模態(tài)，時滯環(huán)節(jié)所帶來的阻尼轉(zhuǎn)矩使變化軌跡也呈順時針變化，但時滯對局部振蕩模態(tài)影響相對較小，依然具有負(fù)實部并且具有較大的阻尼比，從而沒有影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，由于局部振蕩模態(tài)比區(qū)間振蕩模態(tài)的振蕩頻率高，這導(dǎo)致局部振蕩模態(tài)旋轉(zhuǎn)速度快；對于時滯相關(guān)模態(tài)，隨著傳輸時滯的增加，實部從-0.725逐漸增大到0.060，其虛部由1.376下降到0.8，從而使時滯相關(guān)模態(tài)變化軌跡整體上向?qū)嵼S正方向變化?？梢钥闯?，時滯相關(guān)模態(tài)實部變化范圍比上述機(jī)電振蕩模態(tài)的實部范圍大很多，這表明時滯對時滯相關(guān)模態(tài)有顯著的參與度，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖2 3階Pade近似的兩區(qū)域四機(jī)系統(tǒng)時滯影響Fig.2 Time delay effect of third-order Pade approximation for two-area four-machine system

為驗證Pade近似時滯模型階數(shù)對各個模態(tài)計算結(jié)果的影響，其他仿真條件不變，采用10階Pade近似時滯模型和牛頓精確特征值計算方法進(jìn)一步驗證上述的時滯影響規(guī)律。由圖3可以看出，當(dāng)采用10階Pade近似時滯模型時，所有機(jī)電振蕩模態(tài)的時滯變化軌跡依然有和上述3階Pade近似時滯模型一樣的變化趨勢，但Pade近似時滯模型階數(shù)對機(jī)電振蕩模態(tài)旋轉(zhuǎn)變化的速度有一定的影響。當(dāng)時滯比較小時(小于1.0 s)，階數(shù)對機(jī)電振蕩模態(tài)基本沒有影響；當(dāng)時滯比較大時，采用高階近似模型對機(jī)電振蕩模態(tài)有一定的影響，加快時滯變化軌跡的旋轉(zhuǎn)速度。這是因為Pade近似方法所產(chǎn)生的滯后相位小于實際時滯環(huán)節(jié)產(chǎn)生的滯后相位，而高階近似模型逼近了實際時滯環(huán)節(jié)，從而加快了機(jī)電振蕩模態(tài)周期變化速度，更加準(zhǔn)確地刻畫了時滯環(huán)節(jié)對機(jī)電振蕩模態(tài)的影響規(guī)律。但時滯Pade近似階數(shù)對于時滯相關(guān)模態(tài)變化趨勢基本沒有影響。

圖3 10階Pade近似的兩區(qū)域四機(jī)系統(tǒng)時滯影響Fig.3 Time delay effect of tenth-order Pade approximation for two-area four-machine system

當(dāng)采用Pade方法計算得到時滯0～2 s之間的系統(tǒng)區(qū)間振蕩模態(tài)近似值后，進(jìn)而以此作為牛頓法的初值計算得到相應(yīng)的精確值。通過對比發(fā)現(xiàn)，在保留小數(shù)點后4位有效數(shù)字的情況下，所有模態(tài)的時滯變化軌跡和采用10階Pade近似時滯模型計算的軌跡完全吻合，這進(jìn)一步證明了Pade近似時滯模型階數(shù)對上述各個模態(tài)時滯影響規(guī)律。

3.2 New England系統(tǒng)時滯影響規(guī)律分析

由于篇幅限制，New England系統(tǒng)時滯影響規(guī)律分析詳見附錄A。

4 結(jié)語

1)對于考慮時滯環(huán)節(jié)的廣域反饋電力系統(tǒng)，時滯環(huán)節(jié)帶來的附加周期相位特性和幅值特性使區(qū)間模態(tài)的時滯變化軌跡呈旋轉(zhuǎn)變化趨勢并可能越過虛軸進(jìn)入右半平面，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2)時滯環(huán)節(jié)只對廣域反饋安裝機(jī)組參與的局部模態(tài)有一定的影響，使其時滯變化軌跡只在左半平面小范圍旋轉(zhuǎn)變化，不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但對其他局部模態(tài)基本沒有影響。

3)對于時滯相關(guān)模態(tài)，其變化軌跡整體上向?qū)嵼S正方向變化，時滯相關(guān)模態(tài)實部有比較明顯的變化范圍，從而影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4)當(dāng)時滯比較大時，高階Pade近似模型更加準(zhǔn)確地刻畫了時滯環(huán)節(jié)對機(jī)電振蕩模態(tài)的影響規(guī)律。

但廣域電力系統(tǒng)關(guān)鍵特征值時滯軌跡變化趨勢和控制器設(shè)計還存在較為復(fù)雜的關(guān)系，需要進(jìn)一步加以研究。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

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