從一道美國數(shù)學(xué)月刊問題談起

山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系

姜衛(wèi)東 (郵編：264210)

設(shè)a、b、c、S表示△ABC的三邊長和面積.則有[1]

①

這是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.

①已有很多種形式的加強，其中最著名的是費-哈不等式

②

最近，羅馬尼亞的Nicusor Minculet在《美國數(shù)學(xué)月刊》2017年第6-7期[2]給出(1)的另一種加強，即如下問題

問題11990:在△ABC中，有

③

注意到文[1,第46至47頁]在證明(1)的過程中，已經(jīng)得到

④

顯然④比③更強.

注記由④等價變形，可得

⑤

此即文[4]的主要結(jié)論.

現(xiàn)再給出④的一個有趣加強，即下面的

定理1設(shè)a、b、c、S表示△ABC的三邊長和面積.則

⑥

證明在△ABC中，根據(jù)面積公式和余弦定理，有

從而

從而定理1成立.

將⑥等價變形，可得如下的結(jié)論：

⑦

⑦顯然是⑤的一種加強.

聯(lián)想到安振平老師在《三十個有趣的不等式問題》[3]一文中的問題(29)：

設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c,面積為S,求證：

⑧

受定理1的啟發(fā)，我們給出⑧的一個加強.

定理2設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c,面積為S,則：

⑨

證明由余弦定理及三角形面積公式，可得

定理2證畢.

推論

⑩

1 O.Bottema等著，單墫譯，幾何不等式，北京大學(xué)出版社，1991

2 American Mathematical Monthly, Vol. 124, No. 6, Jun 2017

3 安振平，三十個有趣的不等式問題[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(11)上旬：58

4 王燕，外森比克不等式的一個有趣加強[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2007(4)：61