話說分?jǐn)?shù)和分式

毛建國

進(jìn)入中學(xué)后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、分式是數(shù)學(xué)表示和運(yùn)算的基本形式之一.不過，分?jǐn)?shù)并非一開始就為人類所掌握，像其他數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，是在社會(huì)發(fā)展中逐漸成熟起來的.對(duì)于數(shù)與式，人類是先認(rèn)識(shí)數(shù)的.

依據(jù)尤瓦爾·赫拉利的研究，早期人類每天只需勞作很有限的幾個(gè)小時(shí)，幸福感滿滿的.這中間免不了會(huì)有一些無聊的人，沒事的時(shí)候擺弄吃剩的果子，望著每天數(shù)目不等的梅花鹿從窩棚前跑過，以野外的捕獲量競相討好異性.于是1、2、3、4、5……自然數(shù)慢慢在生活中產(chǎn)生了.但隨著人口增長以及冰河時(shí)期自然環(huán)境的變化，人類為了攝取足夠的熱量，開始捕獲大型動(dòng)物.不過，抓一只老虎可不像逮一只小羊那么簡單.為此，人類不得不進(jìn)行分工、合作，進(jìn)一步也就出現(xiàn)了分配問題.這可不像分配自然可數(shù)的果子那么簡單，為了共同的利益，咋辦？分而食之唄.長話短說，分?jǐn)?shù)就這樣萌生了.

古巴比倫人曾使用過分母是60的分?jǐn)?shù).公元前1650年左右，古埃及《萊因德紙草書》卷首，記錄了一組分?jǐn)?shù)分解表，把3到101之間的奇數(shù)分解為單位分?jǐn)?shù)（分子為1的分?jǐn)?shù)）之和，接著列出了87個(gè)問題，其中有應(yīng)用分?jǐn)?shù)的面包分配問題，甚至有14個(gè)問題涉及分?jǐn)?shù)的乘法.在中國，晚周銅器銘文中出現(xiàn)過關(guān)于分?jǐn)?shù)的敘述《.九章算術(shù)》的第一章《方田》已經(jīng)講了分?jǐn)?shù)四則算法！

如何合理表示分?jǐn)?shù)是人類加深對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)知的又一個(gè)關(guān)鍵.古時(shí)可沒有現(xiàn)在的符號(hào)系統(tǒng)，這肯定讓先賢們絞盡了腦汁.古人是怎樣記錄的呢？下面兩幅圖是古埃及紙草書記載的分?jǐn)?shù)樣子.圖1分別表示，圖2分別表示古埃及人對(duì)一般分?jǐn)?shù)的處理是先分解為單位分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行運(yùn)算，除了外，多是整數(shù)的倒數(shù).

圖1

圖2

古代中國似乎沒有長期忍受單位分?jǐn)?shù)的折磨，你可以說我們祖先會(huì)偷懶，但你不得不為這種大智慧發(fā)出驚嘆.現(xiàn)在想想，確實(shí)沒有必要糾結(jié)3被5分是哪幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，直接記下“五分三”就是了.中國很早就廣泛使用分?jǐn)?shù)了，但很長時(shí)期一直是用文字表述的，顯然不利于分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和進(jìn)一步研究.也可以想象，《九章算術(shù)》里的分?jǐn)?shù)成果有多么了不起.南宋時(shí)期，秦九韶在《數(shù)書九章》中，獨(dú)創(chuàng)了分?jǐn)?shù)的一種表示方法.如下圖，表示3056斤，明確標(biāo)明了“子”和“母”的位置.與現(xiàn)代分?jǐn)?shù)相比，就差那條華麗的分?jǐn)?shù)線了.

分?jǐn)?shù)線最早見于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米（783-850）的著作《還原與對(duì)消計(jì)算概要》.他比秦九韶還要年長400多歲，他是從除法角度引進(jìn)分?jǐn)?shù)線的，用表示3除以5.這條美麗的線段不是分隔母子的溝壑，而是聯(lián)結(jié)母子的彩帶.差不多與秦九韶同時(shí)代的意大利人斐波那契，早年師從北非的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，回國后寫了本《算經(jīng)》，把分?jǐn)?shù)線帶到了歐洲，對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了較大影響.

數(shù)與式在一定的意義上，具有相同的本質(zhì)屬性，但式超越了數(shù)的具象束縛，是數(shù)的“2.0升級(jí)版”，是對(duì)數(shù)的一般性揭示.分式形式雖然出現(xiàn)得很晚，但人類對(duì)分式的思考也有很長的歷史.《九章算術(shù)》中已有通分、約分以及四則算法.顯然古人已超越了具體數(shù)字的束縛，抽象出更一般的屬性和規(guī)律，盡管沒有從形式上界定分?jǐn)?shù)與分式，盡管只能依賴繁瑣的文字表述.也可以這么說，在分式出現(xiàn)之前，人類對(duì)分式的認(rèn)識(shí)已經(jīng)有七八成熟了.

偉大的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在《分析方法入門》一書中，首次系統(tǒng)地使用符號(hào)表示未知量進(jìn)行運(yùn)算，提出符號(hào)運(yùn)算與數(shù)的區(qū)別，規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界.韋達(dá)是第一個(gè)試圖創(chuàng)立一般符號(hào)代數(shù)的數(shù)學(xué)家，他開創(chuàng)的符號(hào)代數(shù)，經(jīng)另一位偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡爾改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式.從此，數(shù)學(xué)徹底擺脫了具象的束縛，進(jìn)入抽象的代數(shù)階段.數(shù)學(xué)像籠中放飛的小鳥，進(jìn)入高速發(fā)展的黃金時(shí)代.人類對(duì)分?jǐn)?shù)理論的研究和完善，正式隨著代數(shù)式的發(fā)展進(jìn)入分式階段，水到渠成、日臻完善.

今天，我們?cè)谡n堂上這么輕易學(xué)會(huì)的分式，凝聚了人類的血汗.讓我們把數(shù)學(xué)學(xué)好，繼承前人的成果，開創(chuàng)人類的新未來吧！