顯模型跟隨飛行控制律設(shè)計(jì)與仿真

摘要： 以運(yùn)輸型直升機(jī)為研究對(duì)象， 根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范ADS-33E的要求， 設(shè)計(jì)直升機(jī)俯仰、 滾轉(zhuǎn)、 航向和高度通道的理想模型； 利用狀態(tài)反饋方法， 針對(duì)不同高度和速度下的飛機(jī)模型， 設(shè)計(jì)顯模型跟隨控制律； 擬合包線內(nèi)的控制器參數(shù)， 實(shí)現(xiàn)顯模型跟隨調(diào)參控制律。 最后， 系統(tǒng)仿真試驗(yàn)結(jié)果表明， 采用這種控制方案可以取得良好的控制效果， 驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞： 顯模型； 控制律； 狀態(tài)反饋； 飛行品質(zhì)規(guī)范； 直升機(jī)

中圖分類號(hào)： TJ765； V249文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 1673-5048（2018）02-0021-08

0引言

直升機(jī)與固定翼飛機(jī)相比有更復(fù)雜的氣動(dòng)特征與更特殊的飛行狀態(tài)， 其穩(wěn)定性較差且四個(gè)控制通道間存在軸間耦合[1]。 隨著直升機(jī)執(zhí)行的任務(wù)越來(lái)越復(fù)雜， 僅依靠人工操縱已十分困難 ， 所以通過(guò)加入飛行控制系統(tǒng)的方法來(lái)改善其特性就顯得非常必要。

在關(guān)于直升機(jī)飛行控制系統(tǒng)的研究中， 顯模型跟隨控制是一種比較成熟的控制方法， 同時(shí)針對(duì)多輸入-多輸出系統(tǒng)能夠起到較好的控制效果。 顯模型跟隨控制的具體實(shí)現(xiàn)方法是， 首先建立一個(gè)和原有模型具有相似結(jié)構(gòu)的理想模型， 然后根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范的要求來(lái)設(shè)計(jì)理想模型的參數(shù)， 再通過(guò)前饋和反饋控制， 使飛機(jī)的響應(yīng)接近理想模型的輸出。 這種方法通過(guò)設(shè)計(jì)理想模型來(lái)反映飛行品質(zhì)的要求， 把二者緊密地聯(lián)系起來(lái)； 同時(shí)理想模型的解耦設(shè)計(jì)， 可以抑制直升機(jī)各控制通道之間的耦合效應(yīng)。

在設(shè)計(jì)的理想模型基礎(chǔ)上， 采用狀態(tài)反饋的方法， 通過(guò)改變?cè)邢到y(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)， 使得直升機(jī)的響應(yīng)特性與理想模型類似； 同時(shí)設(shè)計(jì)前饋通道， 從而實(shí)現(xiàn)飛機(jī)的響應(yīng)能夠跟隨理想模型的輸出。 由于直升機(jī)操縱機(jī)構(gòu)維數(shù)小于飛機(jī)狀態(tài)量維數(shù)， 所以不能實(shí)現(xiàn)所有狀態(tài)量和理想模型之間的跟隨； 在這種情況下， 可以針對(duì)部分狀態(tài)量設(shè)計(jì)顯模型， 實(shí)現(xiàn)這部分狀態(tài)量和理想模型的跟隨， 同時(shí)將其他狀態(tài)量和理想模型之間的誤差控制在盡量小的范圍內(nèi)。 顯模型跟隨飛行控制律的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)， 有效地改善了直升機(jī)的操縱性能， 具有重要的理論和工程價(jià)值。

1飛行品質(zhì)規(guī)范ADS-33E的要求

針對(duì)直升機(jī)操縱性能的好壞， 美國(guó)軍用直升機(jī)飛行品質(zhì)規(guī)范ADS-33E規(guī)定了具體的評(píng)價(jià)方法[2-3]。

1.1對(duì)姿態(tài)響應(yīng)的要求

飛行品質(zhì)規(guī)范ADS-33E針對(duì)飛機(jī)的四個(gè)控制通道以及不同的飛行速度、 不同幅度的姿態(tài)響應(yīng)、 不同的任務(wù)科目基元（MTE）和環(huán)境感知度（UCE）分別作出具體的要求。 本文以運(yùn)輸型直升機(jī)為研究對(duì)象， 選擇除空戰(zhàn)外的MTE且環(huán)境感知度良好（UCE=1）， 主要介紹帶寬及延遲時(shí)間、 阻尼比、 快捷性和軸間耦合4個(gè)指標(biāo)。

收稿日期： 2017-08-31

作者簡(jiǎn)介： 劉宇亮（1989-）， 男， 河北保定人， 碩士研究生， 研究方向是控制理論與控制工程。

引用格式： 劉宇亮. 顯模型跟隨飛行控制律設(shè)計(jì)與仿真[ J]. 航空兵器， 2018（ 2）： 21-28.

Liu Yuliang. Design and Simulation of Explicit Model Following Flight Control Law[ J]. Aero Weaponry， 2018（ 2）： 21-28. （ in Chinese）

帶寬及延遲時(shí)間規(guī)定了頻域的指標(biāo)要求， 保證飛機(jī)在進(jìn)行快速操縱時(shí)具有良好的跟隨性和靈敏度， 相關(guān)度量值在控制系統(tǒng)波特圖中定義， 如圖1所示。

圖1帶寬及相位延遲的定義

Fig.1Definitions of bandwidth and phase delay

圖中定義了兩種帶寬值， 相位滯后135°時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率定義為相位帶寬ωBWphase； 在穿越頻率ω180所對(duì)應(yīng)的幅值上留出6 dB的增益， 該處的頻率定義為增益帶寬ωBWgain。 如果響應(yīng)類型為姿態(tài)指令姿態(tài)保持響應(yīng)類型（ACAH）時(shí)， 帶寬為相位帶寬即ωBW=ωBWphase； 其他響應(yīng)類型時(shí)， 取兩者中的較小者為帶寬ωBW。 延遲時(shí)間τp用以表示系統(tǒng)的相位滯后：

τp=Δφ2ω18057.3×（2ω180）（1）

其中： 2ω180表示2倍的穿越頻率ω180； Δφ2ω180表示該頻率處的相位與-180°差值的絕對(duì)值。

為了劃分飛行品質(zhì)的等級(jí)， 在二維平面內(nèi)劃定了不同的區(qū)域， 如圖2所示。

圖2飛行品質(zhì)的要求

Fig.2Handling qualities requirements

以俯仰通道為例， 帶寬及延遲時(shí)間的等級(jí)劃分如圖2（a）所示， 阻尼比的等級(jí)劃分如圖2（b）所示。 針對(duì)飛機(jī)姿態(tài)變化的快慢， 飛行品質(zhì)規(guī)范根據(jù)快捷性指標(biāo)作出評(píng)價(jià)， 即姿態(tài)角速度峰值與姿態(tài)改變量的比值。 以俯仰通道為例， 懸停與低速飛行狀態(tài)下的等級(jí)劃分如圖2（c）所示， 前飛狀態(tài)不作要求； 其中Δθpk和Δθmin分別表示俯仰角階躍響應(yīng)的峰值和最小值， qpk表示俯仰角速度的最大值。 飛行速度V≤23 m/s時(shí)為低速和懸停狀態(tài)， V>23 m/s時(shí)為前飛狀態(tài)。

1.2對(duì)總距操縱響應(yīng)的要求

針對(duì)總距操縱， 飛行品質(zhì)規(guī)范只在時(shí)域范圍內(nèi)作出了要求， 即飛行員對(duì)總距桿施加階躍操縱后， 飛機(jī)的法向速度w應(yīng)在1.5 s內(nèi)達(dá)到0.81 m/s （等級(jí)l）， 0.28 m/s （等級(jí)2）， 0.20 m/s （等級(jí)3）， 并且在5 s之內(nèi)大致為一階系統(tǒng)響應(yīng)的形狀。

1.3對(duì)軸間耦合的要求

針對(duì)總距操縱引起的偏航角耦合現(xiàn)象， 飛行品質(zhì)規(guī)范劃定了不同等級(jí)之間的界限， 如圖2（d）所示。 其中， r1為對(duì)總距施加階躍輸入（航向操縱零輸入）后3 s之內(nèi)偏航角速度的第一個(gè)峰值， 如果3 s之內(nèi)沒(méi)有峰值， 則

r1=r（1）

r3=r（3）-r1r1≥0

r1-r（3）r1<0 （2）

其中： r（1）和r（3）分別第1 s末和第3 s末測(cè)得的偏航角速度， w（3）是第3 s末測(cè)得的法向速度。

航空兵器2018年第2期劉宇亮： 顯模型跟隨飛行控制律設(shè)計(jì)與仿真2直升機(jī)小擾動(dòng)線性化模型

直升機(jī)小擾動(dòng)線性化運(yùn)動(dòng)方程為

x·=Ax+Bu

y=Cx（3）

式中： A∈R9×9為狀態(tài)矩陣， B∈R9×4為控制矩陣， A， B中的參數(shù)隨飛行高度和速度的變化而變化， C∈R9×9為輸出矩陣（取為單位陣I9×9）； x=uvwθφψqprT為狀態(tài)向量， 其中， u， v， w分別表示前向、 橫向和法向速度； θ， φ， ψ分別表示俯仰角、 滾轉(zhuǎn)角和偏航角； q， p， r分別表示俯仰角速度、 滾轉(zhuǎn)角速度和偏航角速度； u=δeδaδrδcT為輸入向量， 各分量依次表示縱向周期變距、 橫向周期變距、 尾槳槳距和總距。

由于直升機(jī)模型中的參數(shù)隨飛行高度和速度的變化而變化， 故選取不同高度H和速度V下的14個(gè)飛行狀態(tài)點(diǎn)作為研究對(duì)象， 具體描述見(jiàn)表1。

表1設(shè)計(jì)的飛行狀態(tài)點(diǎn)

Table 1List of designed flight state pointH/mV/（m/s）1003 0000 狀態(tài)點(diǎn)1狀態(tài)點(diǎn)821狀態(tài)點(diǎn)2狀態(tài)點(diǎn)931狀態(tài)點(diǎn)3狀態(tài)點(diǎn)1041狀態(tài)點(diǎn)4狀態(tài)點(diǎn)1151狀態(tài)點(diǎn)5狀態(tài)點(diǎn)1262狀態(tài)點(diǎn)6狀態(tài)點(diǎn)1372狀態(tài)點(diǎn)7狀態(tài)點(diǎn)14

3顯模型跟隨控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

3.1顯模型跟隨控制原理

模型跟隨控制分為隱模型跟隨控制和顯模型跟隨控制， 后者與前者的主要區(qū)別是理想模型要作為一個(gè)組成部分體現(xiàn)在控制系統(tǒng)中， 并通過(guò)前饋矩陣和反饋矩陣修正理想模型和直升機(jī)狀態(tài)量之間的誤差， 從而達(dá)到飛機(jī)狀態(tài)量能夠跟隨理想模型狀態(tài)量的目的[4-7]， 其原理如圖3所示。

圖3顯模型跟隨控制系統(tǒng)原理圖

Fig.3Schematic diagram of explicit model following

control system

3.2顯模型跟隨控制律的設(shè)計(jì)

通過(guò)以上分析可知， 直升機(jī)的小擾動(dòng)線性化動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

x·p=Apxp+Bpup

yp=Cxp（4）

式中： Ap∈R9×9為狀態(tài)矩陣， Bp∈R9×4為輸入矩陣， C∈I9×9為輸出矩陣（單位陣）； xp∈R9×1為狀態(tài)向量， yp∈R9×1為輸出向量， up∈R4×1為輸入向量。

理想模型取為相同的形式， 表示為

x·m=Amxm+Bmum

ym=Cxm（5）

式中： Am∈R9×9， Bm∈R9×4和C∈I9×9分別表示理想模型的狀態(tài)矩陣、 輸入矩陣和輸出矩陣； xm∈R9×1和um∈R4×1分別為理想模型的狀態(tài)向量和輸入向量。 定義跟隨誤差向量e=xm-xp，可得

e·=x·m-x·p= Amxm+Bmum-Apxp-Bpup=

Ape+（Am-Ap）xm+Bmum-Bpup（6）

由于直升機(jī)與理想模型狀態(tài)量之間存在誤差， 因此， 直升機(jī)的控制量up可以分為兩部分： 一部分與狀態(tài)量的誤差相關(guān)， 當(dāng)誤差趨向于零時(shí)， 這部分的控制量也趨向于零； 另一部分與直升機(jī)的特性相關(guān)。

令up=u1+u2， 其中u1=Ke， 代入式（6）可得

e·=Ape+（Am-Ap）xm+Bmum-Bp（u1+u2）=

（Ap-BpK）e+（Am-Ap）xm+Bmum-Bpu2（7）

由上式可知， 若Ap-BpK穩(wěn)定且（Am-Ap）xm+Bmum-Bpu2=0， 即可使跟隨誤差趨近于0， 實(shí)現(xiàn)飛機(jī)對(duì)理想模型的跟隨。

將（Am-Ap）xm+Bmum-Bpu2=0轉(zhuǎn)換并通過(guò)矩陣Bp的廣義逆計(jì)算可得

Bpu2=（Am-Ap）xm+Bmum（8）

u2=B+p（Am-Ap）xm+B+pBmum （9）

其中B+p為Bp的廣義逆， 將式（9）代入式（8）可得

Bp[B+p（Am-Ap）xm+B+pBmum]=

（Am-Ap）xm+Bmum（BpB+p-I）（Am-Ap）xm=

（I-BpB+p）Bmum（10）

由于um是獨(dú)立于xm的， 故式（10） 兩邊必須都為0等式才能成立， 得到

（BpB+p-I）（Am-Ap）=0

（I-BpB+p）Bm=0 （11）

綜上可知， 式（11）和Ap-BpK穩(wěn)定是實(shí)現(xiàn)模型跟隨的條件， 控制律為

up=u1+u2=Ke+B+p（Am-Ap）xm+B+pBmum（12）

將e=xm-xp代入上式可得

up=[B+p（Am-Ap）+K]xm-Kxp+B+pBmum（13）

令Kxm=B+p（Am-Ap）+K， Kxp=K， Kum=B+pBm可得

up=Kxmxm-Kxpxp+Kumum（14）

式中： Kxm和Kum是前饋矩陣； Kxp是反饋矩陣。

由于BpB+p≠I， 不滿足式（11）條件， 所以不能實(shí)現(xiàn)飛機(jī)所有狀態(tài)量和理想模型之間的精確跟隨。

但是， 使用上述方法針對(duì)部分直升機(jī)狀態(tài)量設(shè)計(jì)模型和控制器， 可以在這部分的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)直升機(jī)狀態(tài)量和理想模型狀態(tài)量之間的誤差接近為零， 其他狀態(tài)誤差保持在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。

3.3狀態(tài)反饋矩陣的設(shè)計(jì)

根據(jù)動(dòng)力學(xué)計(jì)算可知， 直升機(jī)小擾動(dòng)模型的狀態(tài)矩陣Ap和輸入矩陣Bp為

Ap=a11…a16a17a18a19

a21…a26a27a28a29

a31…a36a37a38a39

0…0100

0…0010

0…0001

a71…a76a77a78a79

a81…a86a87a88a89

a91…a96a97a98a99；

Bp=b11…b14

b21…b24

b31…b34

0…0

0…0

0…0

b71…b74

b81…b84

b91…b94。

上文中提到可以針對(duì)部分直升機(jī)狀態(tài)量設(shè)計(jì)模型和控制器， 并在這部分的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)直升機(jī)對(duì)理想模型的跟隨。 考慮直升機(jī)輸入向量up∈R4×1的維數(shù)為4， 狀態(tài)向量中q， p， r， w分別體現(xiàn)出直升機(jī)在俯仰、 滾轉(zhuǎn)、 航向和高度4個(gè)通道的飛行狀態(tài)， 并且受輸入量的直接控制， 故針對(duì)上述4個(gè)狀態(tài)量設(shè)計(jì)模型跟隨控制律。

通過(guò)矩陣Ap和矩陣Bp的形式可知， 直升機(jī)的角度θ， φ， ψ僅是角速度的積分值， 如果q， p， r能夠跟隨理想模型， 則角度θ， φ， ψ也可實(shí)現(xiàn)對(duì)理想模型的跟隨。

為使模型簡(jiǎn)化， 各通道輸入量到狀態(tài)量的傳遞函數(shù)采用一階模型， 以俯仰通道為例：

q（s）δe（s）=Kqλqs+λq（15）

將各通道的傳遞函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換， 組成直升機(jī)模型Ap和Bp相應(yīng)行的參數(shù)， 即可得出理想模型的狀態(tài)矩陣Am和輸入矩陣Bm：

Am = a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19

a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29

0 0 -λw 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 -λq 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -λp 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -λr； Bm=b11b12b13b14

b21b22b23b24

000Kwλw

0000

0000

0000

Kqλq000

0Kpλp00

00Krλr0。

選擇矩陣Ap， Bp和Am的第3， 7， 8， 9行組成新的矩陣Apd， Bpd和Amd， 加入狀態(tài)反饋回路K后， 如果飛機(jī)與理想模型的狀態(tài)矩陣相同， 即

Amd=Apd-BpdK（16）

Bpd為方陣且可逆， 求出反饋矩陣K：

K=B-1pd（Apd-Amd）（17）

由此可得， Ap-BpK的第3， 7， 8， 9行與Am對(duì)應(yīng)行的數(shù)值相等； 由于Bp的第4， 5， 6行為0， 所以Ap-BpK的第4， 5， 6行與Am對(duì)應(yīng)行的數(shù)值也相等。 盡管Ap-BpK的第1， 2行與Am對(duì)應(yīng)行的數(shù)值存在差異， 即飛機(jī)的前向速度u和橫向速度v不能跟隨模型中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)， 但是由于飛機(jī)的俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角φ可以跟隨顯模型， 且這兩個(gè)量對(duì)前向速度u和橫向速度v影響較大， 所以飛機(jī)和顯模型輸出之間u， v的誤差能夠保持在較小的范圍內(nèi)。

3.4顯模型的設(shè)計(jì)

在顯模型結(jié)構(gòu)確定的基礎(chǔ)上， 根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范的有關(guān)要求， 針對(duì)不同的飛行狀態(tài)以及4個(gè)控制通道分別設(shè)計(jì)顯模型的參數(shù)。

3.4.1直升機(jī)的響應(yīng)類型

根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范的要求以及飛行員的操縱習(xí)慣， 確定俯仰、 滾轉(zhuǎn)通道的響應(yīng)類型為姿態(tài)指令姿態(tài)保持（ACAH）， 航向、 高度通道的響應(yīng)類型分別為速率指令方向保持 （RCDH）、 垂向速率指令高度保持 （RCHH）。 這樣， 駕駛員通過(guò)前后壓桿控制俯仰姿態(tài)角， 左右壓桿控制滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角， 腳蹬控制偏航角速率， 總距桿控制法向速率。

俯仰通道與滾轉(zhuǎn)通道具有相同的響應(yīng)類型， 以俯仰通道為例。 由式（15）可知， 縱向周期變距δe到俯仰角速率q的傳遞函數(shù)為一階環(huán)節(jié)， 且俯仰角θ為q的積分， 所以需要在俯仰通道加入一個(gè)反饋回路才能使響應(yīng)類型為ACAH， 如圖4所示。

圖4ACAH響應(yīng)結(jié)構(gòu)圖（俯仰）

Fig.4Schematic diagram of ACAH responding（pitch）

由此可得， 俯仰通道中縱向周期變距δe到俯仰角θ傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為

Fθ（s）=θ（s）δe（s）=Kqλqs2+λqs+Kqλq=

ω2nθs2+2ζθωnθs+ω2nθ（18）

式中： λq=2ζθωnθ， Kq=ωnθ2ζθ。

由航向通道響應(yīng)類型的含義可知， 駕駛員施加輸入量后， 直升機(jī)產(chǎn)生正比于輸入量的角速度； 輸入撤銷時(shí)， 直升機(jī)保持住接近于當(dāng)前的方向。 這樣航向通道中不需要加入反饋回路， 航向通道的傳遞函數(shù)為

ψ（s）δr（s）=Krλr（s+λr）s（19）

高度通道的響應(yīng)類型為垂向速率指令高度保持（RCHH）， 該通道的傳遞函數(shù)為一階環(huán)節(jié)：

w（s）δc（s）=Kwλws+λw（20）

3.4.2阻尼比的要求

以俯仰通道為例， 其傳遞函數(shù)為二階環(huán)節(jié)。 由飛行品質(zhì)規(guī)范可知， 阻尼比ζθ>0.35即達(dá)到1級(jí)品質(zhì)。 此外， ζθ還會(huì)影響到系統(tǒng)的快捷性， 因此需要全面考慮。 由于過(guò)阻尼系統(tǒng)（ζθ>1）的響應(yīng)速度較慢， 對(duì)快捷性品質(zhì)指標(biāo)不利， 所以設(shè)計(jì)系統(tǒng)為欠阻尼或臨界阻尼， 即0.35<ζθ≤1。

3.4.3帶寬的要求

依據(jù)飛行品質(zhì)指標(biāo)的要求確定帶寬參數(shù)時(shí)， 要考慮直升機(jī)的跟隨情況， 這是因?yàn)橹鄙龣C(jī)的響應(yīng)速度較慢， 本身帶寬比較窄， 如果顯模型帶寬過(guò)大， 將使直升機(jī)的響應(yīng)速度難以跟上顯模型的輸出。 以俯仰通道為例， 參考1級(jí)飛行品質(zhì)（如圖2（a））的要求， 并考慮飛機(jī)的舵機(jī)、 助力器等執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響， 所以確定1.2 rad/s<ωBWθ<5 rad/s。

俯仰通道的響應(yīng)類型為ACAH時(shí)， 帶寬ωBWθ為相位帶寬， 即傳遞函數(shù)Fθ（s）相位滯后135°時(shí)的頻率， 由式（18）可得

φ（ωBWθ）=-arctan2ζθωBWθωnθ1-ω2BWθω2nθ=-135°（21）

整理后可得

ωBWθ=ωnθζθ+ζ2θ+1（22）

將1.2 rad/s<ωBWθ<5 rad/s帶入到式（22）， 可得

1.2<ωnθζθ+ζ2θ+1<5（23）

3.4.4快捷性的要求

根據(jù)快捷性指標(biāo)要求確定模型參數(shù)的取值范圍。 以俯仰通道為例， 由于3.4.2節(jié)中有關(guān)阻尼比的取值是0.35<ζθ≤1， 所以需要分欠阻尼、 臨界阻尼兩種情況討論二階系統(tǒng)的響應(yīng)。 這里假設(shè)直升機(jī)做大機(jī)動(dòng)飛行時(shí)， 傳遞函數(shù)Fθ（s）的最大輸入量為幅值Kθ=20的階躍輸入， 即δe（t）=Kθ·1（t）。

當(dāng)ζθ<1， 即Fθ（s）為欠阻尼系統(tǒng)時(shí)， 俯仰角θ（t）和俯仰角速度q（t）的時(shí)域響應(yīng)為

θ（t）=Kθ1-e-ωnθζθ t1-ζ2θsin1-ζ2θωnθt+

arctan1-ζ2θζθ（24）

q（t）=θ′（t）=Kθωnθ1-ζ2θe-ωnθ ζθtsin1-ζ2θωnθt（25）

由二階欠阻尼系統(tǒng)的特性可知， θ（t）存在超調(diào)量， 且第一個(gè)極值為最大值， 第二個(gè)極值為最小值， 故通過(guò)求解極值點(diǎn)的方法得出θ（t）的最大值、 最小值。 角速度q（t）最大值的計(jì)算方法同上。

θpk=θ（t）t=π1-ζ2θωnθ=Kθ（1+e-ζθ1-ζ2θπ）（26）

θmin=θ（t）t=2π1-ζ2θωnθ=Kθ（1-e-ζθ1-ζ2θπ） （27）

qpk=q（t）t=11-ζ2θωnθarctan1-ζ2θζθ=

Kθωnθe-ζθ1-ζ2θarctan1-ζ2θζθ（28）

為方便設(shè)計(jì)， 將圖2（c）中劃分俯仰通道快捷性1級(jí)品質(zhì)指標(biāo)的曲線即實(shí)線， 近似為一條直線y=-0.018x+0.79即虛線， 如圖5中所示。

如果點(diǎn)（θmin， qpk/θpk）位于該直線的上方， 快捷性即可達(dá)到1級(jí)品質(zhì)， 代入式（26）～（28）以及Kθ=20可得

ωnθe-ζθ1-ζ2θarctan1-ζ2θζθ1+e-ζθ1-ζ2θπ>-0.361-e-ζθ1-ζ2θπ+0.79 （29）

圖5快捷性近似線（俯仰）

Fig.5Approximate line of rapidity（pitch）

當(dāng)ζθ=1， 即Fθ（s）為臨界阻尼系統(tǒng)時(shí)， 俯仰角θ（t）和俯仰角速度q（t）的時(shí)域響應(yīng)為

θ（t）=Kθ[1-e-ωnθt（1+ωnθt）]（30）

q（t）=θ′（t）=Kθω2nθte-ωnθt（31）

由于θ（t）沒(méi)有超調(diào)量， 根據(jù)快捷性指標(biāo)的定義可知， θ（t）的最大值和最小值相等， 為響應(yīng)的終值： θpk=θmin=limt→∞θ（t）=Kθ， q（t）的最大值： qpk=Kθωnθe-1。

進(jìn)而， 可以得出俯仰角速度峰值與俯仰角峰值之比：

qpkθpk=ωnθe-1（32）

最大輸入量的幅值Kθ=20， 根據(jù)俯仰通道快捷性的要求（圖2（c））可知， 當(dāng)θmin=Kθ=20時(shí)， 如果qpk/θpk>0.4即可達(dá)到1級(jí)品質(zhì)； 考慮留出一定的余量， 取qpk/θpk>0.5， 根據(jù)式（32）可得ωnθ>1.36 rad/s。

3.4.5俯仰通道參數(shù)的確定

根據(jù)阻尼比、 帶寬和快捷性品質(zhì)的要求， 可以確定出俯仰通道的阻尼比ζθ和無(wú)阻尼自然頻率ωnθ的取值范圍。

（1） 阻尼比的要求： 0.35<ζθ≤1

（2） 帶寬的要求： 1.2<ωnθζθ+ζ2θ+1 <5

（3） 快捷性的要求：

ωnθe-ζθ1-ζ2θarctan1-ζ2θζθ1+e-ζθ1-ζ2θπ>-0.361-e-ζθ1-ζ2θπ+0.790.35<ζθ<1

ωnθ>1.36ζθ=1

在懸停/低速飛行狀態(tài)下， 品質(zhì)規(guī)范對(duì)俯仰通道的阻尼比、 帶寬和快捷性3個(gè)指標(biāo)作出了要求； 在前飛狀態(tài)下， 對(duì)快捷性指標(biāo)沒(méi)有要求。 在ζθ和ωnθ組成的二維平面內(nèi)， 畫出兩種飛行狀態(tài)下， 滿足對(duì)應(yīng)1級(jí)指標(biāo)要求的點(diǎn)， 如圖6所示。

圖6參數(shù)ζθ和ωnθ的取值范圍

Fig.6Range of parameters ζθ and ωnθ

懸停/低速時(shí)， 為了使俯仰角的響應(yīng)較為迅速且沒(méi)有超調(diào)量， 參數(shù)取為ζθ=1和ωnθ=2， 對(duì)應(yīng)可以得出Kq=1和λq=4； 前飛狀態(tài)時(shí)， 俯仰角的響應(yīng)速度可以適當(dāng)降低， 參數(shù)取為ζθ=1和ωnθ=1， 對(duì)應(yīng)可以得出Kq=0.5和λq=2。

3.4.6高度通道參數(shù)的確定

根據(jù)1.2節(jié)中法向速度的階躍響應(yīng)在5 s之內(nèi)具有大致為一階形狀的要求， 確定高度通道的調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤5 s。 根據(jù)式（20）可知其傳遞函數(shù)為一階系統(tǒng)， 調(diào)節(jié)時(shí)間ts=3/λw≤5 s， 故確定λw=0.6。 針對(duì)法向速度w應(yīng)在1.5 s內(nèi)達(dá)到0.81 m/s可以滿足1級(jí)品質(zhì)指標(biāo)的要求， 根據(jù)式（20）求出階躍響應(yīng)：

w（t）=Kw1-e-λwt（33）

代入t=1.5， λw=0.6到w（t）>0.81， 可得Kw>1.36， 這里取Kw=1.4。

4仿真驗(yàn)證及品質(zhì)指標(biāo)的評(píng)價(jià)

根據(jù)3.4節(jié)中確定的顯模型參數(shù)， 可以得出理想模型的狀態(tài)矩陣Am和輸入矩陣Bm； 分別針對(duì)表1中14個(gè)飛行狀態(tài)點(diǎn)處的直升機(jī)小擾動(dòng)模型狀態(tài)矩陣Ap和輸入矩陣Bp， 根據(jù)式（14）和式（17）求出矩陣Kxm， Kum和Kxp的值。

搭建Simulink仿真模型， 驗(yàn)證14個(gè)飛行狀態(tài)下， 直升機(jī)狀態(tài)量xp跟隨理想模型狀態(tài)量xm的情況， 并進(jìn)行品質(zhì)指標(biāo)的評(píng)價(jià)。

4.1跟隨性能的驗(yàn)證

以俯仰通道和高度通道為例， 針對(duì)表1中的前飛狀態(tài)， 分別加入幅值為10的階躍輸入， 驗(yàn)證直升機(jī)跟隨顯模型輸出的效果， 如圖7所示。

圖7跟隨性能的驗(yàn)證

Fig.7Verification of following performance

由圖可以看出， 直升機(jī)俯仰角θ和法向速度w的響應(yīng)可以良好地跟隨顯模型的輸出， 達(dá)到了模型跟隨控制的效果。

4.2品質(zhì)指標(biāo)的評(píng)價(jià)

針對(duì)表1中的14個(gè)飛行狀態(tài)， 分別驗(yàn)證俯仰通道的帶寬和阻尼比指標(biāo)， 以及總距-偏航耦合指標(biāo)； 針對(duì)表1中的低速和懸停飛行狀態(tài)， 驗(yàn)證俯仰通道的快捷性指標(biāo)， 如圖8所示。

圖8飛行品質(zhì)的評(píng)價(jià)

Fig.8Evaluation of handling qualities

由圖8可以看出， 本文討論的各項(xiàng)品質(zhì)指標(biāo)都達(dá)到1級(jí)品質(zhì)的要求， 設(shè)計(jì)的顯模型跟隨系統(tǒng)達(dá)到了預(yù)期的效果。

5全包線控制律實(shí)現(xiàn)

為了實(shí)現(xiàn)全包線范圍內(nèi)的顯模型跟隨控制律， 以控制器Kxm， Kum和Kxp在14個(gè)飛行狀態(tài)點(diǎn)處的參數(shù)為樣本， 按照嚴(yán)格徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法， 使用newrbe（）函數(shù)分別得出上述矩陣中各參數(shù)的擬合曲面， 從而實(shí)現(xiàn)全包線范圍內(nèi)的調(diào)參控制律[8]。

以控制器Kxp中的參數(shù)Kxp（1，1）為例， 其擬合曲面連續(xù)平滑， 較好地反映出參數(shù)Kxp（1，1）在飛行包線范圍內(nèi)的變化趨勢(shì)， 如圖9所示。 從圖中可以看出， 速度變化對(duì)Kxp（1，1）的影響較大， 高度變化對(duì)Kxp（1，1）的影響較小， 這反映出速度變化對(duì)直升機(jī)特性影響較大的客觀事實(shí)。

圖9參數(shù)Kxp（1，1）的擬合曲面

Fig.9Fitsurface of parameter Kxp（1，1）

6結(jié)論

本文使用狀態(tài)反饋的方法， 設(shè)計(jì)顯模型跟隨控制律， 并且根據(jù)飛行品質(zhì)規(guī)范ADS-33E中的有關(guān)規(guī)定， 設(shè)計(jì)了顯模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)， 最后， 利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合控制器的參數(shù)。 結(jié)果表明， 在全部飛行狀態(tài)下， 飛機(jī)的響應(yīng)可較為準(zhǔn)確地跟隨顯模型的輸出， 飛機(jī)的各項(xiàng)品質(zhì)指標(biāo)都可以達(dá)到1級(jí)品質(zhì)， 證明該方法可以達(dá)到較好的控制效果。

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Design and Simulation of Explicit Model Following Flight Control Law

Liu Yuliang

（China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China）

Abstract： According to the handling qualities requirements of ADS33E， this paper takes a transport helicopter as the research subject， in which the ideal model on the conditions of the pitch， roll， heading and height channels are devised. With the method of state feedback， the explicit model following control law for the helicopter models at different height and speed is given. For the controllers parameters in flight envelop has been fitted， the explicit model following control law with adjustable parameters is achieved. At last， the simulation results show that the proposed control method can obtain the satisfied effect， and this method is feasible and effective.

Key words： explicit model； control law； state feedback； handling qualities requirements； helicopter1Polarization； interference rejection； phased array radar