Hilbert 空間中的廣義框架對

侯美琴， 姚喜妍, 牛雅琴

(1.山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 山西 臨汾 041000；2.運城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 山西 運城 044000)

框架理論是由Duffin R J 和Schaeffer A C[1]在1952 年研究非調(diào)和Fourier 分析時首次提出的，是小波分析的一個重要的工具。隨著小波分析的興起和發(fā)展，框架的研究也越來越引起許多學(xué)者的關(guān)注[2-6]。Kaiser G[7]在1995 年提出了Hilbert 空間的廣義框架理論，對廣義框架的一系列性質(zhì)進行了研究，并得出了一些重要結(jié)果。廣義框架對于研究窗口Fourier 變換和連續(xù)小波變換起著重要的作用，近年來，這方面的文獻非常多，其中具有代表性的文獻有[9-14]。郭訓(xùn)香[5]研究了預(yù)框架算子在Hilbert 空間框架的構(gòu)造，框架變換和對偶框架方面的一些應(yīng)用。本文推廣了文獻[5]中的一些結(jié)果，首先引入廣義框架對的概念和性質(zhì)，通過有界線性算子(如:分析算子、酉算子、投影算子等)與廣義框架相結(jié)合，給出了廣義框架對在算子擾動下為廣義框架對的若干結(jié)果及證明。

1 預(yù)備知識

為了方便起見，先給出本文中要用到的記號，H表示無限維可分 Hilbert空間；(M，Σ,μ)或(M,μ)表示一個σ-有限正可測空間；L2(μ)表示平方可積復(fù)值函數(shù)全體所組成的空間；GFH表示全體廣義框架所組成的集合；GBH表示全體Bessel集所組成的集合；B(H)表示全體有界線性算子全體所組成的集合；R(T)表示有界線性算子T的值域，即{Tf:f∈H}；N(T)表示有界線性算子T的核，即{f∈H:Tf=0}；T+表示算子T的偽逆算子；T*表示算子T的伴隨算子；N表示自然數(shù)集；C表示復(fù)數(shù)域；R表示實數(shù)域；α∈R,Tα表示T的任意次冪；h={hm∈H:m∈M}，k={km∈H:m∈M}都為H中的一族元素。

定義1.1[7]設(shè)h={hm∈H:m∈M}為H中的一族元素，若滿足：

(2) 存在0

?f∈H;

則稱h={hm∈H:m∈M}為H的廣義框架。

我們稱上述不等式為廣義框架條件，把滿足上式不等式的最大數(shù)A和最小數(shù)B分別稱為最佳廣義框架下界和上界。特別地，若A=B，則稱h為H的緊廣義框架。

定理1.3[7]設(shè)h∈GFH，Sh表示其廣義框架算子，則Sh是有界，可逆，自伴的線性正算子。

引理1.4[8]設(shè)H為Hilbert空間，則

(1) 任意T∈B(H)是可逆算子，都存在唯一的分解T=WP，其中W是酉算子，P是正算子，這種分解稱為極分解;

定理1.5[8]設(shè)H,K是Hilbert空間，算子T∈B(H,K)，若dimN(T)<+∞與dimN(T*)<+∞,R(T)在K中是閉的，則稱T為Fredholm算子。

2 廣義框架對

這樣由定義 2.1知(h,k)為H的廣義框架對。

必要性若(h,k)為H的廣義框架對，則由定義2.1得，?f∈H，

定理2.3 設(shè)h∈GFH,T∈B(H)是滿算子，則{Thm}m∈M∈FH。

證明設(shè)h的框架界為A，B，由廣義框架的定義知，?f∈H，有

由T∈B(H)是滿算子，知T*∈B(H)，且?f∈H，有

(1)

又由T是滿射，則存在常數(shù)D>0，使得對?f∈H，有‖T*f‖≥D‖f‖。從而，

(2)

所以，綜合(1)，(2)式得{Thm}m∈M。證畢。

3 廣義框架對的穩(wěn)定性

定理3.1 設(shè)(h,k)為H的廣義框架對，T∈B(H)是酉算子且T是緊的正算子，則?α∈R,(Tαh,Tαk)為H中的廣義框架對。

所以,(Tαh,Tαk)為H中的廣義框架對。

特別的，當(dāng)α=1時，有下面的推論：

推論3.2 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T∈B(H)是酉算子，則(Th,Tk)為廣義框架對。

定理3.3 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T∈B(H)是滿算子，則(Th,(T+)*k)為H中的廣義框架對。

推論3.4 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T是H上的Fredholm算子且滿的，則(Th,(T+)*k)為H中的廣義框架對。

證明由題意知h∈GFH,又T是H上的Fredholm 算子且滿的，即T∈B(H)是滿算子，則由定理3.3即可證得。

推論3.5 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T∈B(H)是滿算子，則((T+)*h,Tk)為H中的廣義框架對。

推論3.6 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T∈B(H)是可逆算子，則(Th,(T-1)*k)為H中的廣義框架對。另外，((T-1)*h,Tk)也是廣義框架對。

證明顯然由題知T,(T-1)*∈B(H)都是滿算子， 所以， 由定理2.3 得{Thm}m∈M，{(T-1)*km}m∈M∈H。又根據(jù)定理 3.3可得結(jié)論，即((T-1)*h,Tk)也是廣義框架對。

推論3.7 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，T∈B(H)是可逆算子，則存在正算子P,使得(Ph,(P-1)*k)為H中廣義框架對。

證明由引理 1.4知存在唯一的分解T=WP，其中W是酉算子，P是正算子。又由可逆算子和酉算子的性質(zhì)知，P=W-1T，顯然P是可逆的。則由定理 2.3 知，{Phm}m∈M與{(P-1)*km}m∈M∈GFH,再根據(jù)推論 3.6知((Ph,P-1)*k)為H中廣義框架對。

定理3.8 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，P是H上的正交投影算子，則(Ph,Pk)是R(P)上的廣義框架對。

證明因為P是H上的投影算子，故P*=P,且?f∈R(P)，有

又h∈GFH,則由廣義框架的定義知

所以，{Phm}m∈M∈GFR(H)。同理可得{Pkm}m∈M∈GFR(H)。又因為?f∈R(P),

T1f={〈f,hm〉}m∈M=T1Pf={〈f,Phm〉}m∈M,

所以，{Phm}m∈M的分析算子也為T1。同樣，{Pkm} 的分析算子也為T2，又(h,k)為H中的廣義框架對，故此(Ph,Pk)是R(P)上的廣義框架對。

推論3.9 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對，P是H上的正交投影算子，則(P⊥h,P⊥k)是N(P)上的廣義框架對。

證明證明過程與定理 3.8 類似，?f∈N(P),P⊥f=f,其中P⊥:H→N(P)。

推論3.10 設(shè)h∈FH，若P是H上的正交投影，則

(1)S-1h是h的對偶廣義框架;

(2)Ph的對偶廣義框架是PS-1h。

證明S表示其廣義框架算子，則由定理1.3知S是可逆、自伴的有界線性算子。?f∈H,有

由對偶廣義框架的定義得S-1h是h的對偶廣義框架。

{Phm}m∈M∈FR(H)，由(1)知{S-1Phm}m∈M是{Phm}m∈M的對偶廣義框架。再根據(jù)定理3.8 的證明過程知{Phm}m∈M的對偶廣義框架是{PS-1hm}m∈M。

推論3.11 設(shè)(h,k)為H中的廣義框架對,S表示h的廣義框架算子，則

(1) ?α∈R，Sαh∈GFH；

(2) (Sαh,S-(α+1)k)為H中的對偶廣義框架對。

證明(1)由定理1.3 知S是可逆、自伴，所以由文獻[8,14]知Sα,S-α也是可逆、自伴。又根據(jù)定理2.3知{Sαhm}m∈M∈GFH,{S-αkm}m∈M∈GFH。

(2)?f∈H,T1f={〈f,hm〉}m∈M,T2f={〈f,km〉}m∈M，而

T1Sαf={〈Sαf,hm〉}m∈M={〈f,Sαhm〉}m∈M,

T1S-(α+1)f={〈S-(α+1)f,hm〉}m∈M={〈f,S-(α+1)hm〉}m∈M，

所以{Sαhm}m∈M和{S-αkm}m∈M的分析算子分別為T1Sα,T1S-(α+1),且

故此，由定理 2.2知(Sαh,S-(α+1)k)為H中的廣義框架對。

4 結(jié) 論

本文主要應(yīng)用算子論和框架理論基礎(chǔ)內(nèi)容，引入了Hilbert 空間中廣義框架對概念，且討論了Hilbert 空間中廣義框架對的穩(wěn)定性，并對已有文獻中的相關(guān)結(jié)論進行了推廣和改進，使所得的結(jié)論極大地豐富了Hilbert 空間中框架理論的內(nèi)容，對框架理論的發(fā)展具有重要的意義。文章主要結(jié)論有：

(2) 在有界算子T滿足一定的條件下，Hilbert空間中仍存在廣義框架對。

迄今為止，Hilbert 空間中的框架理論已經(jīng)發(fā)展較完善。且知道，Hilbert 空間中各種廣義框架被提出，如K-框架、g-框架、fusion框架、控制連續(xù)框架等等。它們在實際應(yīng)用中更為靈活，且促使框架理論又向前邁進一步。這樣，很自然想到：能否將上述結(jié)論繼續(xù)推廣到Hilbert 空間中g(shù)-框架、fusion框架？或者能否將其推廣到其他空間上(如：Banach空間、HilbertC*-模等)。由于Banach空間和HilbertC*-模比Hilbert 空間更為抽象，這樣導(dǎo)致Banach 空間和HilbertC*-模上的框架性質(zhì)研究變得比較復(fù)雜。 因此，給我們留下充足的空間去研究和探討。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] DUFFIN R J,SCHAEFFERA C.A class of Nonharmonic Courier Series[J].Trans Amer MathSoc,1952,72(3):341-366.

[2] YOUNG R M.An Introduction to Non Harmonic Fourier Series[M].New York:Academic Press，1980:184-190.

[3] CHRIESTENSEN O.Frames and the Projection Method[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,1993,1(1):50-53.

[4] CAO H X.Bessel Sequences in a Hilbert Space[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2000,17(12):92-98.

[5] 郭訓(xùn)香.Hilbert 空間上的預(yù)框架算子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,35(5):795-802.

[6] 郭志華,曹懷信,張潔.Fredholm 框架及其擾動[J].山西師范大學(xué)學(xué)報,2010,38(1):15-18.

[7] KAISER G.A Friendly Guide to Wavelets[M].Boston：Birkhaiser,1995.

[8] CONWAYJ B.A course in functional analysis[M].New York: Springer-Verlag,1985:349-357.

[9] 姚喜妍.Hilbert 空間中廣義框架的正交性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2007,37(16):209-213.

[10] YAO X Y.A Characterization of signed generalized frames in a Hilbert spaces[J].Journal of Mathematics,2006,26(6):597-601.

[11] 李亮,李鵬同.Hilbert 空間上的K-框架與K-對偶[J].南京大學(xué)學(xué)報(數(shù)學(xué)半年刊),2015,32(1):74-88.

[12] 鄒玉梅.廣義框架在框架算子作用下的一些性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2009,39(19):208-212.

[13] 丁明玲，肖祥春，朱玉燦.Hilbert 空間中的K-框架[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2014,57(6):1089-1100.

[14] GUO X X.Canonical dual K- Bessel sequences and duai K-Bessel generators for unitary systems of Hilbert spaces[J].Journal of Math Ana App,2016,444(1):598-609.