基于實(shí)數(shù)信號(hào)的多相FFT實(shí)現(xiàn)

丁兆貴，張生鳳，李宏圓

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

傳統(tǒng)快速傅里葉變換(FFT)借助多相結(jié)構(gòu)[1]實(shí)現(xiàn)多相FFT，相比傳統(tǒng)的FFT實(shí)現(xiàn)，多相結(jié)構(gòu)降低了數(shù)據(jù)傳輸速率。一方面，實(shí)際應(yīng)用中模數(shù)轉(zhuǎn)換(ADC)信號(hào)為實(shí)數(shù)信號(hào)，F(xiàn)FT頻譜呈現(xiàn)共軛對(duì)稱特性，僅一半頻域信息有效，這說(shuō)明頻域變換有一部分運(yùn)算是冗余的；另一方面，傳統(tǒng)多相FFT各通道互相耦合，需要同時(shí)輸出，難以采用分治法將功能模塊劃分為不同的子模塊。

基于傳統(tǒng)多相FFT的特性，本文提出改進(jìn)的多相FFT實(shí)現(xiàn)思路，改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)僅提取一半頻域信息，且改進(jìn)后的奇偶信道可分別獨(dú)立處理，即奇偶信道分治。本文主要分為4個(gè)部分：(1)對(duì)傳統(tǒng)的理論模型進(jìn)行介紹；(2)論述本文思路以及創(chuàng)新點(diǎn)；(3)針對(duì)不同算法進(jìn)行仿真分析；(4)全文總結(jié)。

1 傳統(tǒng)多相FFT結(jié)構(gòu)

頻域處理在偵察接收機(jī)中具有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景：信噪比提升、頻率特性分析、寬帶信道化等等。對(duì)于實(shí)時(shí)的ADC信號(hào)，借助多相結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)變速率傳輸，降低對(duì)硬件運(yùn)算速度的要求。

1.1 多相分解

設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其定義為：

(1)

定義第m個(gè)多相分量為：

(2)

則H(z)可表示為：

(3)

對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)[2]可表示為圖1。

圖1 多相濾波結(jié)構(gòu)

1.2 多相FFT

假設(shè)x(n)長(zhǎng)度為N(MxP)，對(duì)應(yīng)傅里葉變換：

(4)

令k=s+tP，借助多相結(jié)構(gòu)表達(dá)，得出多相傅里葉變換：

(5)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：

(6)

多相FFT結(jié)構(gòu)可表示為圖2。

圖2 多相FFT結(jié)構(gòu)

2 改進(jìn)的多相FFT

ADC采樣信號(hào)為實(shí)信號(hào)，頻域僅一半信息有效，從該點(diǎn)特性出發(fā)通過(guò)改進(jìn)多相FFT結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一種新的多相FFT實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

2.1 改進(jìn)思路

傅里葉變換體現(xiàn)了信號(hào)與各頻率基信號(hào)的相關(guān)性，僅考慮頻域一半信息的傅里葉變換：

k=0,1,…,N/2-1

(7)

式中：xeven為偶數(shù)序列；xodd為奇數(shù)序列。

通過(guò)該變換可得出結(jié)論：對(duì)于2N點(diǎn)數(shù)的單邊譜，可通過(guò)2個(gè)N點(diǎn)FFT變換得到。

2.2 改進(jìn)的多相結(jié)構(gòu)

對(duì)于長(zhǎng)度為N的序列x(n)，DFT變換的頻點(diǎn)可任意設(shè)定，假設(shè)N點(diǎn)序列DFT變換后頻點(diǎn)個(gè)數(shù)為2N，給出單邊譜(N點(diǎn))結(jié)構(gòu)的多相FFT表達(dá)式：

(8)

當(dāng)t為奇數(shù)：

(9)

式中：DFT′[.]表示單邊譜變換，即：

(10)

同樣地，當(dāng)t為偶數(shù)：

(11)

其中內(nèi)層DFT′[.]在t為奇、偶2種情況下，可通過(guò)2倍抽取簡(jiǎn)化為同一個(gè)子模塊進(jìn)行計(jì)算，改進(jìn)后的多相結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的多相FFT

采用多相結(jié)構(gòu)使得數(shù)據(jù)率降低，數(shù)據(jù)進(jìn)入奇、偶通道后，奇通道、偶通道可分時(shí)復(fù)用后處理通用模塊。相比傳統(tǒng)多相架構(gòu)，本文提出的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了功能分治：多相結(jié)構(gòu)劃分奇偶子模塊實(shí)現(xiàn)，且各子模塊相互獨(dú)立，奇、偶信道分別獨(dú)立輸出，而傳統(tǒng)多相FFT中奇偶信道互相耦合，需要同時(shí)經(jīng)過(guò)FFT后處理。圖4給出了圖3中提到的后處理(奇通道、偶通道均采用該模塊)通用模塊。

圖4 后處理通用模塊

3 仿真試驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)主要分為2個(gè)部分，首先仿真驗(yàn)證傳統(tǒng)多相FFT的有效性；其次仿真驗(yàn)證本文多相FFT結(jié)構(gòu)的有效性。

仿真1：傳統(tǒng)FFT

采樣率為1 000 MHz,信號(hào)頻率218 MHz，256個(gè)采樣點(diǎn)，信道總數(shù)取16。

將多相FFT各信道拼接，圖5給出了拼接的頻譜與直接FFT頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以看出多相FFT與直接FFT在結(jié)果上完全一致。

圖5 多相FFT與傳統(tǒng)FFT對(duì)比

多相FFT仿真結(jié)果如圖6所示，可以看出信號(hào)分別落在第4、13兩個(gè)信道，且信道1～8與信道9～16在幅值上互為鏡像。從圖5、圖6的結(jié)果可以看出多相FFT既有傳統(tǒng)FFT的功能，又可以劃分子信道。

圖6 多相FFT各信道輸出

仿真2：改進(jìn)多相FFT實(shí)現(xiàn)

采樣率為1 000 MHz,信號(hào)頻率373 MHz，256個(gè)采樣點(diǎn)，信道總數(shù)取16。

圖7給出了改進(jìn)多相FFT實(shí)現(xiàn)結(jié)果，從圖7可以看出該結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)FFT完全等價(jià)。圖6給出了奇偶信道經(jīng)過(guò)后處理的輸出結(jié)果，其中奇偶信道的結(jié)果分別計(jì)算得出，二者相互獨(dú)立，并且奇信道、偶信道共用同一個(gè)后處理模塊。根據(jù)結(jié)果可以觀察到改進(jìn)的多相FFT頻譜由奇偶信道的頻譜拼接而成，對(duì)于輸入信號(hào)為實(shí)數(shù)信號(hào)的場(chǎng)景，該結(jié)構(gòu)僅計(jì)算[0,fs/2]的頻域信息，并僅考慮奈奎斯特域?qū)?yīng)的頻域信息。

圖7 改進(jìn)多相FFT結(jié)果圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)FFT基礎(chǔ)上，首先分析多相FFT實(shí)現(xiàn)思路，并進(jìn)一步提出了改進(jìn)的多相FFT結(jié)構(gòu)。

該結(jié)構(gòu)主要有2個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)：(1)借助基本多相結(jié)構(gòu)，僅分析奈奎斯特域?qū)?yīng)的頻域信息；(2)信號(hào)的奇偶信道可實(shí)現(xiàn)分治。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了本文思路的合理性以及算法的有效性。

[1] HARRIS F J,DICK C.Digital receivers and transmitters using polyphase filter banks for wireless communications[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2003,51(4):115-121.

[2] 宗孔德.多抽樣率信號(hào)處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，1996.