利用EXCEL工具求水中魚的虛像的準(zhǔn)確位置

唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中學(xué),江蘇 南京 210003; 2. 南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院,江蘇 南京 211171)

1 引言

水中魚的虛像的具體位置問題,一直以來是初中物理教師授課難點(diǎn)之一.作為教師,僅僅了解虛像比實(shí)物淺是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,而更詳細(xì)的描述在各版本教科書中均未給出,造成很多教師對(duì)這一問題的認(rèn)知不夠清晰,甚至部分教師會(huì)有錯(cuò)誤的理解.針對(duì)這一問題,已有許多文獻(xiàn)進(jìn)行了探究.文獻(xiàn)[1]用幾何方法證明了像在物體的右上方(以下所述均按人在物體右側(cè)觀察為基準(zhǔn));文獻(xiàn)[2]用平面幾何加微分計(jì)算的方法得出同樣的結(jié)論;文獻(xiàn)[3]利用實(shí)驗(yàn)證明了像的位置,并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)觀察者若向右移動(dòng),虛像上升的同時(shí)也向右移動(dòng);文獻(xiàn)[4]用office軟件制圖得到了和文獻(xiàn)[3]相同的定性結(jié)論.

筆者認(rèn)為文獻(xiàn)[1，2]應(yīng)用的平面幾何和微分證明方法誠然巧妙精煉,但所需數(shù)學(xué)技巧較高,推理過程不易為廣大中學(xué)物理教師所理解;而文獻(xiàn)[3，4]在通過光路實(shí)驗(yàn)或office軟件描繪像點(diǎn)時(shí),則又因兩條成像光線角度差選得過大,使得像點(diǎn)位置不準(zhǔn)確.

本文首先采用解析幾何方法計(jì)算出魚的虛像點(diǎn)位置坐標(biāo)的初步表達(dá)式,接著利用EXCEL強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力,精確計(jì)算出多組兩條折射角相差極小的折射光線的反向延長線交點(diǎn)即虛像的精確位置;最后通過幾何畫板作圖使水中魚的虛像位置完整且直觀地呈現(xiàn)在眼前.本方法雖然計(jì)算量較大,但思路簡單且易于理解和掌握,研究過程具有一定的啟發(fā)和借鑒意義.同時(shí),本文也有助于廣大師生加深對(duì)于水中魚的虛像問題的全面認(rèn)知.

2 用解析幾何方法求解水中魚的虛像坐標(biāo)的初步表達(dá)式

具體探究過程如下.

圖1 光的折射示意圖

如圖1所示,設(shè)光源(即魚)為點(diǎn)S,其深度為h;F為光從水中進(jìn)入空氣的折射點(diǎn);入射角為θ,折射角為α,則可得F點(diǎn)坐標(biāo)為(htanθ,0),折射光線l的函數(shù)為

y=cotα(x-htanθ).

(1)

又已知水(20℃時(shí))的折射率n=1.333,由折射定律知

進(jìn)而得到

代入(1)式可得

由上式,設(shè)由光源S發(fā)出的兩條入射光線所對(duì)應(yīng)的折射光線方程分別為

(2)

和

可將y1和y2的交點(diǎn)暫時(shí)當(dāng)作魚的虛像點(diǎn)S′.

接著,求解S′的坐標(biāo)x和y的表達(dá)式.

首先令

(3)

再將x代入(2)式,可得

(4)

3 利用EXCEL工具精確計(jì)算魚的虛像點(diǎn)坐標(biāo)

若要求像的精確位置,θ1與θ2之間的差異應(yīng)盡量小.

依照成像的含義,θ1與θ2的差值大小可作如下估算:人眼承接光時(shí),光線的最大范圍僅限瞳孔面積.已知成人瞳孔直徑的變化范圍為L≈2～5mm,平均直徑為L=4mm.現(xiàn)假設(shè)人眼瞳孔直徑為該平均值,并設(shè)人眼和水下物體虛像的距離r=3m,則人眼瞳孔能接收來自該虛像光線的最大夾角度數(shù)為

鑒于人眼近距離看物體時(shí),瞳孔直徑對(duì)于物點(diǎn)的張角遠(yuǎn)大于0.076°,因此，盡管這是水中光線的夾角，式(3)和(4)中的θ1、θ2的差值Δθ取0.05°是合適的.Δθ取0.05°一方面是瞳孔的要求,另一方面也是為了精確計(jì)算出虛像點(diǎn)的位置.

現(xiàn)取魚的深度h=1m,Δθ=0.05°,根據(jù)(3)和(4)式,利用Excel工作表即可計(jì)算出魚的虛像點(diǎn)的精確坐標(biāo)x和y,具體結(jié)果略.由于全反射角為48.61°,因此θ1取值至48°.

4 魚的虛像點(diǎn)位置隨入射角θ的變化軌跡

利用幾何畫板制圖,可直觀地顯示出當(dāng)θ改變時(shí)魚的虛像位置的變化趨勢,見圖2.圖中坐標(biāo)點(diǎn)右側(cè)數(shù)字為θ數(shù)值.

圖2 魚的虛像點(diǎn)位置隨入射角θ的變化軌跡

由計(jì)算結(jié)果和圖像可知:

(1) 隨著θ角變大,虛像位置上升并向右移動(dòng),該結(jié)果與之前文獻(xiàn)研究結(jié)果一致.

(2) 在(1)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步觀察到像向上、向右移動(dòng)時(shí),其變化幅度越來越大.

(3) 很多初中教師認(rèn)為從正上方觀察魚時(shí),由于光幾乎豎直向上,折射很少,因此魚的虛像應(yīng)該非常接近魚的實(shí)際深度.現(xiàn)在,通過數(shù)據(jù)可知,即便人眼從正上方觀察水中物體,虛像的位置仍明顯高于實(shí)物.當(dāng)物體在水下深度為1m時(shí),虛像最深約為0.75m,即虛像深度至少比物體淺25%.因此,很多教師的通常“認(rèn)知”是錯(cuò)誤的.

(5) 由(4)及圖2可知,當(dāng)人們?cè)谶h(yuǎn)處觀察池中魚時(shí),由于這時(shí)整個(gè)池子都顯得非常淺,似乎成了被壓扁在水面的一個(gè)平面,因此看到的是在該平面(即水面)上被壓扁的且橫向膨脹畸變的“魚片”!另外,當(dāng)我們?cè)谟斡境剡呌^察游泳池的底部時(shí),近處的泳池底部看起來還比較深,但遠(yuǎn)處的泳池底部則會(huì)顯得非常淺了.

5 結(jié)束語

在探究過程中,筆者感受到了利用計(jì)算機(jī)輔助研究的巨大便利.以本文為例,通過計(jì)算機(jī)技術(shù),像的精確位置、變化趨勢等情況都能清晰地呈現(xiàn)出來,這是其他方法所無法企及的.中學(xué)物理教師在研究某些問題時(shí),常常冀圖通過數(shù)學(xué)方法求得完美的解析結(jié)果,但這需要具備扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.這樣的研究角度使得研究難度驟然增大.若能變換思路,利用計(jì)算機(jī)技術(shù)求解,可能會(huì)簡單明了許多.

參考文獻(xiàn)：

1 馬永常.水中魚的像究竟在何處[J]. 天津教育,1998(7-8):75.

2 陳正國.人們看到水中魚的一些特點(diǎn)[J]. 物理通報(bào),2012(3):94-95.

3 魏喜武.看到水中魚的位置實(shí)驗(yàn)的探究[J]. 實(shí)驗(yàn)教學(xué)與儀器,2015(12):30-31.

4 王愛紅,吳彬彬.用office軟件處理魚在水中像的位置[J]. 中學(xué)物理,2015(7):89.