基于FDM的自適應(yīng)分層算法的研究

王占禮， 任元， 陳延偉， 周天詣， 高山山

（長春工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，長春130012）

0 引言

快速成型技術(shù)利用計算機(jī)技術(shù)，逐層堆疊打印出立體模型的方法，具有不需要模具即可生產(chǎn)出各種產(chǎn)品模型的特點(diǎn)，它用于生產(chǎn)少量、單件的產(chǎn)品，并且可以降低成本、節(jié)省時間。在制造業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用，具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。

熔融沉積成型工藝的分層方法有2種[4-6]，其一為等厚度分層，等厚度分層由于其本身的過程簡單，所以在LM系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。但是，等厚度分層有一個弊端，即會產(chǎn)生較大的臺階效應(yīng)[7-8]，臺階效應(yīng)會降低成型件的成型質(zhì)量。針對于這一弊端，近幾年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了第二種分層方法——自適應(yīng)分層方法[9-10]，這種方法可以自動識別制件的邊界曲率，從而調(diào)節(jié)成型件每層的打印厚度，優(yōu)點(diǎn)是可以提高制件的成型質(zhì)量，并且節(jié)省打印時間。因此，自適應(yīng)分層方法是未來分層方法中的重要發(fā)展方向[11]。

1 等厚度分層分析與計算

圖1為階梯誤差的數(shù)學(xué)模型。

由圖1可得出以下公式：

式中：ε為實(shí)際模型邊界與理論模型邊界在堆積平面方向上的最大距離；δ為與模型邊界相切的直線和經(jīng)過層邊底端與該直線平行的直線的距離；R為當(dāng)前層邊與理論邊界相交處的曲率半徑；θ為層片底端與堆積平面間的夾角；φ為層片頂端與堆積平面間的夾角；t為分層厚度。

當(dāng)θ=0°時，式（2）、式（3）可寫成

圖1 階梯誤差的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)φ=90°時，由式（1）、式（2）得

由式（1）、式（3）得

即此時CAD模型表面與分層制造實(shí)體邊界沿實(shí)體表面法向方向的最大距離就是分層厚度[12]。

當(dāng)θ=0°和θ=90°時，階梯面積趨于無限大，這種情況不可能存在，所以角度選取時要去除此兩點(diǎn)。

成型件在成型時會由于材料自身的特性會產(chǎn)生收縮變形，通常階梯不是完全垂直的，而是實(shí)際輪廓線和成型方向存在一個偏置夾角，己有研究表明[13-14]，偏置夾角的取值范圍為5°～15°。但是即使引入偏置夾角，粗糙度與成型角度的關(guān)系仍不受影響，所以在此不考慮角度偏置夾角。

圖2 層厚分別為0.2 mm和0.3 mm時的表面粗糙度和體積誤差

圖2為層厚分別為0.2 mm和0.3 mm時的表面粗糙度和體積誤差的示意圖。由圖2得出以下結(jié)論：1）隨著θ角的增大，ε逐步增大，即在制作快速成型制件時，制件邊與豎直方向夾角愈大，體積損失愈大。并且隨著θ的增大，δ逐漸增大，即在制作快速成型制件時，制件邊與豎直方向夾角愈大，制件表面越粗糙。2）分層厚度越大，相同成型角度的ε值越大，即制件體積損失越大，并且隨著成型角度的增加，其ε值相差越大；并且隨著成型角度的增加，其δ值相差越大。

2 自適應(yīng)分層厚度計算

2.1 對圖形表面進(jìn)行參數(shù)化分析

對于曲線C，沿著曲線的切線逐漸變化的方向?yàn)榍氏蛄?，曲線向量在曲線上的分量為曲率。曲率的半徑為曲率絕對值的倒數(shù)，即在這一點(diǎn)形成與曲線C相切的圓的半徑。曲率可以延伸到整個表面,如圖3所示，與表面上某一點(diǎn)相切的部分為一個平面。沿切平面的每個方向，切線矢量的變化率都是相對的。因此在這一點(diǎn)上，曲面的曲率并沒有唯一的定義。

圖3 表面的法向曲率示意圖

對圖形進(jìn)行參數(shù)化分析可以得到

曲率的定義為：

將表達(dá)式的分子和分母同時除以du2，可得到曲率的另外一種表達(dá)式：

2.2 垂直方向法向曲率的計算

我們可以在切線平面上找到一個垂直于水平的方向?？紤]任何表面S上有都有2條曲線C和C′，做出這2條曲線的切線α和α′，那么可得出如下方程：

讓θ角在P點(diǎn)所在曲線的切線角之間，α和α′的數(shù)量積為θ的余弦。將表達(dá)式進(jìn)行簡化，可以得到以下方程：

根據(jù)這個方程，如果已知方向v′，就可以得出與v′垂直的方向：

用vortho取代v，可得出與表面的曲率法向方向垂直的方向。

一旦這個曲率被確定，就可以通過曲率絕對值的倒數(shù)得出局部曲線的半徑。然而，一個重要的問題仍然沒有得到解決，如圖4所示，點(diǎn)P和Q兩者具有相同的曲率半徑，但是，在P點(diǎn)處的半徑方向向內(nèi)，而Q點(diǎn)處的半徑方向向外。這種模糊性可以通過考慮與曲率相關(guān)的符號來解決。

平面曲線的曲率可以是正的或負(fù)的，得出平面曲線的曲率向量

式中：t和n分別是切線和曲線的法線；k是曲率向量；k是曲率。可以很容易地發(fā)現(xiàn)，如果方向的dt/ds的方向與n的方向相反，那么曲率為負(fù)值，否則為正。對于具有轉(zhuǎn)折點(diǎn)的平面曲線（帶連續(xù)導(dǎo)數(shù)），向量在拐點(diǎn)兩側(cè)有不同的曲率，可以很容易的通過符號k的不同來區(qū)分曲線的凸和凹，這樣就可以得到2種情況下的曲率。

圖4 曲率的含義

如前文所述，對象應(yīng)該是建立在負(fù)公差或正公差基礎(chǔ)上的。設(shè)P為表面上的一點(diǎn)，將P點(diǎn)所在表面的部分近似為一個圓。近似于圓的曲線可能存在正偏差或負(fù)偏差，曲率存在正值或負(fù)值，因此有4個可能的組合。為了清楚起見，將負(fù)偏差和正偏差分成2個不同的部分，分別如圖5、圖6所示，虛線區(qū)域表示所建物體的內(nèi)部。

由圖5（a）、圖5（b）可以得出負(fù)偏差時d的公式：

圖5 負(fù)偏差時的數(shù)學(xué)模型

圖5（c）、圖5（d）為負(fù)偏差時，θ趨近于0，即cosθ趨近于1。因?yàn)棣摹躌，它意味著這個條件只發(fā)生在θ接近于零時，即點(diǎn)P非常接近赤道的圓?？蓪⑹剑?7）、式（18）簡化為如下方程：

正偏差的數(shù)學(xué)模型如圖6所示。由圖6（a）、圖6（b）可得到關(guān)于d的方程：

圖6（c）、圖6（d）為正偏差時，θ趨近于0，即cosθ趨近于1。可將式（21）、式（22）簡化得到如下方程：

圖6 正偏差時的數(shù)學(xué)模型

3 分層實(shí)例與分析

圖7為零件的CAD模型，由1個圓柱、半個球組成。零件CAD模型是在AutoCAD中進(jìn)行制作的。圖7（a）為CAD模型的輪廓圖，圖7（b）為等層厚分層的效果圖，圖7（c）為自適應(yīng)分層的效果圖。

圖7 零件的CAD模型

圖8 二次開發(fā)的CURE仿真分層

為了更好地比較等分層厚度和自適應(yīng)分層的分層效果，將等層厚分層的層厚設(shè)置為0.5 mm，將自適應(yīng)分層的最小層厚設(shè)置為0.2 mm，最大層厚設(shè)置為2 mm，用CURA軟件進(jìn)行仿真分析，從仿真效果圖可以清晰地看到，相對于等層厚分層，零件的成型質(zhì)量有了明顯的提高，詳細(xì)分析結(jié)果見表1。

從表1可以得出：在采用相同的幾何誤差要求條件下，等層厚分層的打印時間為325 min，自適應(yīng)分層打印時間為294 min，相對于等層厚分層，自適應(yīng)分層方法的打印時間減少了10.3%，分層表面質(zhì)量可以提高15%[15]。

表1 等厚度分層與直接自適應(yīng)分層結(jié)果比較

4 結(jié)論

本文為了兼顧FDM快速成型工藝的精度和效率，對實(shí)體表面進(jìn)行了參數(shù)化分析，基于STL模型的負(fù)偏差、正偏差兩種情況下的自適應(yīng)分層方法進(jìn)行計算，依據(jù)三維CAD模型的邊界曲率的變化率，確定其分層的厚度。結(jié)果表明，RP工藝所產(chǎn)生的原理性誤差與實(shí)體表面的方向、曲率半徑以及分層厚度有關(guān)，改進(jìn)的自適應(yīng)分層算法易于編程，提高了制件的成型質(zhì)量，且節(jié)省了打印時間。

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