Nakagami-m衰落下中繼系統(tǒng)性能分析

李興旺， 李靜靜， 靳 進(jìn)， 李立華

(1. 河南理工大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，河南 焦作 454000； 2. 北京郵電大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)與交換技術(shù)國家重點實驗室，北京 100876; 3. 鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

近年來，中繼系統(tǒng)因其能夠擴(kuò)展覆蓋范圍、提高系統(tǒng)可靠性和服務(wù)質(zhì)量而受到學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的廣泛關(guān)注[1-2]． 然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中在理想硬件條件下的中繼系統(tǒng)． 在實際系統(tǒng)中，射頻設(shè)備受到各類硬件損傷的影響，例如非線性功率放大器[3]、同相和正交相位(In-phase and Quadrature， I/Q)非平衡[4]以及相位噪聲[5]． 上述損傷雖然可以通過適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償和校準(zhǔn)算法來減少硬件損傷對系統(tǒng)性能的影響，但是由于估計誤差和校準(zhǔn)不準(zhǔn)確的原因，仍存在一些殘留損傷，而這些殘留損傷對系統(tǒng)性能仍產(chǎn)生重要的影響[6]． 此外，上述研究均是針對某單一損傷類型的，沒有統(tǒng)一考慮各種損傷類型對系統(tǒng)性能的影響．

鑒于文獻(xiàn)[3-5]研究中存在的不足，文獻(xiàn)[7]中研究了硬件損傷對雙跳中繼系統(tǒng)性能的影響，推導(dǎo)出通用衰落信道下系統(tǒng)中斷概率和容量性能的閉式表達(dá)式． 針對雙向中繼系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8]中分析了發(fā)送端存在硬件損傷條件下中繼系統(tǒng)的性能，推導(dǎo)出雙向中繼系統(tǒng)中斷概率和誤符號率確切性能的閉式表達(dá)式． 利用有限維度和大維度隨機(jī)矩陣?yán)碚?，文獻(xiàn)[9]中研究了收發(fā)端硬件損傷條件下雙跳放大轉(zhuǎn)發(fā)(Amplify-and-Forward， AF)中繼系統(tǒng)的遍歷容量性能，推導(dǎo)出系統(tǒng)遍歷容量及上下界的閉式表達(dá)式．

上述文獻(xiàn)為研究硬件損傷對中繼系統(tǒng)性能的影響打下了堅實的基礎(chǔ)．實際上，文獻(xiàn)[7，9]中考慮了硬件損傷對雙跳中繼系統(tǒng)性能的影響，文獻(xiàn)[8]研究了硬件損傷對雙向中繼系統(tǒng)的影響． 但是硬件損傷對存在直連情況的協(xié)作中繼系統(tǒng)性能的影響上述文獻(xiàn)沒有涉及，從而也沒有考慮接收端處理算法． 鑒于此，筆者研究了存在直連情況的雙跳放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)的中斷概率性能． 在此考慮Nakagami-m衰落信道模型，原因在于Nakagami-m是一個通用模型，能夠有效地表征多種衰落信道．例如，α=1/2，表示單邊帶高斯信道；α=1，表示瑞利衰落信道；α=∞，表示無衰落的加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道等． 另外，筆者考慮兩種通信場景:源節(jié)點和目的節(jié)點不僅通過中繼系統(tǒng)進(jìn)行連接，而且兩者之間存在直連路徑;源節(jié)點和目的節(jié)點通過雙跳固定增益放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)連接，不存在直連路徑． 在第1種場景中，接收端使用選擇合并(Selection Combining， SC)算法． 推導(dǎo)出兩種場景下系統(tǒng)中斷概率性能的確切閉式表達(dá)式，所得閉式表達(dá)式適用于任意衰落參數(shù)以及損傷參數(shù)，同時在整個信噪比(Signal-to-Noise Ratio， SNR)范圍內(nèi)所得理論分析結(jié)果能夠充分逼近蒙特卡羅仿真結(jié)果．

1 系統(tǒng)模型

考慮存在直連情況下的中繼模型，包括一個源節(jié)點、一個中繼節(jié)點和一個目的節(jié)點，所有節(jié)點配置單天線． 定義源節(jié)點與中繼節(jié)點、中繼節(jié)點與目的節(jié)點以及源節(jié)點與目的節(jié)點之間的傳輸參數(shù)下標(biāo)分別為1，2和3， 則中繼節(jié)點和目的節(jié)點接收信息可以表示為

yi=hi(si+ηt，i)+ηr，i+vi，i∈{1， 2， 3} ,(1)

其中，κt，i和κr，i分別表示發(fā)送端和接收端硬件損傷參數(shù)，κt，i≥0，κr，i≥0．

(3)

其中，αi和βi分別為伽馬函數(shù)的形狀和尺度參數(shù)，βi=E{ρi}αi; Γ(αi)為伽馬函數(shù)[11]． 利用文獻(xiàn)[11]，可得伽馬分布的累計分布函數(shù)為

(4)

結(jié)合式(2)，式(1)可以重新表述為以下簡單形式[7]:

yi=hi(si+ηi)+vi,(5)

對于上述系統(tǒng)模型，考慮源節(jié)點與目的節(jié)點通過兩種場景進(jìn)行通信:源節(jié)點和目的節(jié)點不僅通過放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)連接，而且兩者之間存在直連情況;源節(jié)點和目的節(jié)點僅通過放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)連接，不考慮兩者直連情況． 以下分別給出兩種場景的具體傳輸過程．

1.1 第1種場景

在此場景下，整個通信過程分為兩個時隙．

第1時隙: 源節(jié)點同時向中繼節(jié)點和目的節(jié)點發(fā)送信息． 結(jié)合式(5)，中繼節(jié)點和目的節(jié)點接收到的信息可分別表示為

第2時隙: 中繼節(jié)點接收到源節(jié)點發(fā)送的信息，進(jìn)行放大后轉(zhuǎn)發(fā)到目的節(jié)點，則目的節(jié)點接收的信息為

y2=h2G(h1(s1+η1)+v1)+η2+v2=Gh1h2s1+Gh1h2η1+Gh2v1+h2η2+v2,(8)

其中，G為硬件損傷下的放大系數(shù)[7]，其定義為

(9)

當(dāng)κ1=0時，式(9)退化為理想硬件下的放大系數(shù)．

因此，目的節(jié)點處的接收信噪比可分別表述為

在接收端通過選擇合并算法處理目的節(jié)點接收的信息．選擇合并算法即輸出信噪比最高的那個支路上的信號． 所以，采用選擇合并算法輸出的信噪比等于各支路信噪比的最大值，即接收端信噪比可表示為

γsc=max(γ2，γ3) ,(12)

其中，γ2和γ3分別由式(11)和式(10)決定．

1.2 第2種場景

在以上場景的基礎(chǔ)上，第2種場景僅考慮源節(jié)點和目的節(jié)點間通過放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)連接，不考慮源節(jié)點與目的節(jié)點直連的情況． 第1時隙傳輸過程與上述場景不同．

第1時隙: 源節(jié)點僅向中繼節(jié)點發(fā)送信息．

第2時隙: 中繼節(jié)點將接收到的信息進(jìn)行放大后轉(zhuǎn)發(fā)到目的節(jié)點，則目的節(jié)點接收到的信息為

y2=Gh1h2s1+Gh1h2η1+Gh2v1+h2η2+v2．(13)

因此，目的節(jié)點處的接收信噪比可表述為

(14)

2 中斷概率

中斷概率是用于評價通信系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量的重要性能指標(biāo)，其定義為端到端的瞬時信噪比低于某一固定閾值γth的概率[12]，即

Pout(γth)=P(γ≤γth) ．(15)

2.1 第1種場景

在第2個時隙，目的節(jié)點選擇合并來自中繼節(jié)點和源節(jié)點的信息． 因此，當(dāng)中繼節(jié)點和源節(jié)點發(fā)送信息的信噪比均小于閾值時，將發(fā)生中斷．

定理1 在Nakagami-m衰落信道下，存在直連情況的硬件損傷雙跳放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)中斷概率可表示為

證明 結(jié)合式(3)、式(4)和式(11)，源節(jié)點與目的節(jié)點通過中繼通信鏈路的中斷概率可表示為

當(dāng)γth≥1d時，式(17)等于0; 當(dāng)γth<1d時，式(17)可以化簡為

(18)

為了便于計算，利用變量代換z=ρ2-b1γth(1-dγth)，則式(18)可進(jìn)一步化簡為

利用二項式展開定理，可得

將I1和I2代入式(19)， 然后利用文獻(xiàn)[11]的積分等式:

(20)

式(19)可進(jìn)一步表示成閉合形式:

(21)

結(jié)合式(4)和式(10)，直連路徑處的中斷概率表達(dá)式可表示為

存在直連情況的中繼系統(tǒng)對應(yīng)的中斷概率為

將式(21)和式(22)代入式(23)，即可得到第1種場景下系統(tǒng)中斷概率的表達(dá)式． 證畢．

2.2 第2種場景

定理2 在Nakagami-m衰落信道下，硬件損傷雙跳放大轉(zhuǎn)發(fā)中繼系統(tǒng)的中斷概率可表示為

(24)

證明 第2種場景是在第1種場景的基礎(chǔ)上考慮源節(jié)點與目的節(jié)點不存在直連路徑的情形． 因此，定理2的證明可參考定理1的證明過程．

3 仿真結(jié)果

圖1仿真了兩種場景下系統(tǒng)中斷概率隨信噪比變化的曲線．兩種場景參數(shù)設(shè)置如下: 損傷參數(shù)κ= 0.1(理想硬件參數(shù)是κ=0)，衰落參數(shù)α=2，閾值γth= 22-1= 3和γth= 25-1= 31[7]． 由圖1可知兩種場景下，式(16)和式(24)的理論分析表達(dá)式的結(jié)果能夠與蒙特卡羅仿真結(jié)果充分?jǐn)M合，從而驗證了筆者理論分析的正確性． 此外，圖1還表明: 當(dāng)取較低的閾值 (γth=3) 時，收發(fā)端硬件損傷對系統(tǒng)中斷概率性能的影響較?。?隨著閾值增大 (γth=31)，非理想硬件(實線)與理想硬件(虛線)之間的間隙隨之增大，這表明隨著中斷閾值的增大，收發(fā)端硬件損傷對系統(tǒng)性能的影響越來越顯著，并且系統(tǒng)的中斷性能也隨著閾值的增大而下降． 圖1表明，由于直連路徑的存在，第1種場景的性能要優(yōu)于第2種場景的．

圖1 不同閾值下中斷概率與信噪比的關(guān)系圖圖2 不同衰落信道下中斷概率與信噪比的關(guān)系圖

圖2仿真了第1種場景下基于不同衰落參數(shù)值下存在直連情況的中繼系統(tǒng)的中斷概率隨信噪比的變化曲線．具體參數(shù)設(shè)置如下: 損傷參數(shù)κ= 0.1(理想硬件參數(shù)κ=0)，閾值γth=31，衰落參數(shù)α= {1， 2， 10}． 由圖2可知，在各種衰落參數(shù)下，理論分析值和蒙特卡羅仿真值充分一致． 此外，圖2表明，存在直連情況的中繼系統(tǒng)的中斷概率性能隨著衰落參數(shù)α的值增加而增加． 圖2還表明，非理想硬件(實線)與理想硬件(虛線)之間的間隙隨著α的增大而增大，這表明收發(fā)端硬件損傷對系統(tǒng)中斷性能的影響隨著衰落參數(shù)的增大而越發(fā)顯著． 最后，由圖2可以看出，非理想和理想硬件性能之間的差別隨著信噪比增加而逐漸增大．

圖3 不同損傷程度下中斷概率與信噪比的關(guān)系圖

圖3仿真了第1種場景不同硬件損傷下存在直連情況的中繼系統(tǒng)的中斷概率隨信噪比的變化曲線．具體參數(shù)設(shè)置如下: 損傷參數(shù)κ= {0， 0.10， 0.17， 0.20}，衰落參數(shù)α=1，閾值γth=31． 由圖3可知，當(dāng)損傷參數(shù)κ=0.2 時，中斷概率幾乎為1，即系統(tǒng)一直處于中斷狀態(tài)． 隨著損傷參數(shù)的減小，存在直連情況的中繼系統(tǒng)的中斷概率性能逐漸增強(qiáng)． 當(dāng)損傷參數(shù)κ=0 時，系統(tǒng)退化成理想硬件系統(tǒng)． 圖3還表明，硬件損傷在低信噪比時的影響較小，但是在高信噪比時對系統(tǒng)中斷性能有較大的影響．

4 結(jié) 束 語

筆者研究了基于Nakagami-m衰落信道兩種場景下硬件損傷中繼系統(tǒng)的性能，推導(dǎo)出了兩種場景下系統(tǒng)中斷概率的閉式表達(dá)式． 研究表明，存在直連情況的中繼系統(tǒng)的中斷概率受中斷閾值、硬件損傷以及衰落信道的影響；系統(tǒng)性能隨著中斷閾值與損傷參數(shù)值的增加而減少，隨著衰落參數(shù)值的增加而增加． 在任意參數(shù)設(shè)置下，理論分析結(jié)論與蒙特卡羅仿真結(jié)論一致，驗證了理論分析的正確性．

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