陸地移動(dòng)衛(wèi)星信道中的LDPC碼分析與優(yōu)化

戴精科， 林開(kāi)亮

(1. 火箭軍工程大學(xué) 信息工程系，陜西 西安 710025；2. 西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 712100)

近年來(lái)，隨著移動(dòng)通信業(yè)務(wù)需求的不斷增長(zhǎng)，陸地移動(dòng)衛(wèi)星(Land Mobile Satellite，LMS)系統(tǒng)成為研究熱點(diǎn)[1-4]．在移動(dòng)環(huán)境中信號(hào)易受到信道衰落的影響，而低密度奇偶檢驗(yàn)(Low Density Parity Check，LDPC)碼作為一種性能逼近香農(nóng)極限的先進(jìn)信道編碼技術(shù)，具有極強(qiáng)的糾錯(cuò)能力，因此將其應(yīng)用于陸地移動(dòng)衛(wèi)星系統(tǒng)可提高抗衰落能力，改善通信質(zhì)量．

基于密度進(jìn)化理論[5]，人們已經(jīng)獲得了低密度奇偶檢驗(yàn)碼在多種衰落信道中的性能，例如瑞利信道[6]，賴(lài)斯信道[7]和Nakagami-m信道[8]等．但是陸地移動(dòng)衛(wèi)星信道比較復(fù)雜，前述的衰落模型不足以描述所有的信道特征，因此人們提出了多種更精確的理論模型，其中經(jīng)典的有Loo模型[2]，Lutz模型[9]和陰影-賴(lài)斯(Shadowed-Rician，SR)模型[10]等．通過(guò)調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)，這些模型與實(shí)際測(cè)量的信號(hào)特征非常吻合．文獻(xiàn)[11]將低軌衛(wèi)星信道建模為L(zhǎng)oo模型，得到了規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼的譯碼門(mén)限，但沒(méi)有研究不規(guī)則碼，也未證明碼字穩(wěn)定性條件，這主要是因?yàn)長(zhǎng)oo模型中衰落系數(shù)具有復(fù)雜的非閉合概率密度函數(shù)(Probability Density Function， PDF)，在數(shù)學(xué)上很難處理(Lutz模型也是如此)．

陰影-賴(lài)斯模型是對(duì)Loo模型的修改，其衰落系數(shù)的概率密度函數(shù)存在閉合形式，降低了理論性能分析的難度．文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)了最大比值合并系統(tǒng)在陰影-賴(lài)斯信道中的誤碼率，文獻(xiàn)[13]研究了正交空時(shí)編碼在該信道中的性能．文獻(xiàn)[14]對(duì)低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的誤碼率性能進(jìn)行了仿真，但未得到性能界(即譯碼門(mén)限)，也沒(méi)有進(jìn)行碼字度分布優(yōu)化．筆者證明了陰影-賴(lài)斯信道的對(duì)稱(chēng)性，推導(dǎo)了穩(wěn)定性條件和信道容量;利用離散密度進(jìn)化獲得了規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在該信道的譯碼門(mén)限，并結(jié)合差分進(jìn)化得到了優(yōu)化的不規(guī)則碼，其譯碼門(mén)限在最壞信道條件下距離香農(nóng)極限約0.1 dB，且在相同碼長(zhǎng)條件下的誤碼性能優(yōu)于規(guī)則碼、高斯信道中優(yōu)化的不規(guī)則碼[5]以及新一代數(shù)字衛(wèi)星廣播(Digital Video Broadcasting-Satellite-second generation，DVB-S2)標(biāo)準(zhǔn)中的不規(guī)則碼．

1 陰影-賴(lài)斯信道

設(shè)傳輸符號(hào)x∈{0，1}，經(jīng)映射w(w=1-2x)后進(jìn)行二進(jìn)制相移鍵控調(diào)制，則解調(diào)器輸出y的條件概率密度函數(shù)為[6]p(y|w，a)= 1/ (2πσ2)1/2exp[-(y-wa)2/ (2σ2)]， 其中噪聲方差σ2=S/ (2REb/N0)，R為碼率，Eb/N0為信噪比，S=E[a2]．衰落因子a滿(mǎn)足陰影-賴(lài)斯分布[10]，其條件概率密度函數(shù)為

p(a|Z=z)=(a/b0) exp-(a2+z2)/(2b0)I0(za/b0) ,

且a>0．式中，2b0為散射信號(hào)分量平均功率；Z=z，為直射信號(hào)的瞬時(shí)值；I0(x)是零階修正的貝塞爾函數(shù)．如果Z為常數(shù)，則a服從賴(lài)斯分布．但是受到陰影衰落的影響，Z是一個(gè)隨機(jī)變量且服從Nakagami-m分布，即pZ(z)= 2mm/ (Γ(m)Ωmz2m-1) exp(-mz2/Ω)且z>0，其中m為Nakagami參數(shù)，Γ(x)為伽馬函數(shù)．Ω=E[Z2]，表示直射分量的平均功率，顯然Ω=S- 2b0．結(jié)合p(a|Z=z) 和pZ(z)可推出a的密度函數(shù)為[10]

p(a)=(a/b0) [2b0m/(2b0m+Ω)]mexp(-a2/(2b0))1F1m; 1;Ωa2/[2b0(2b0m+Ω)] ,(1)

其中，1F1(.;.;.)為合流超線幾何函數(shù)．

和積譯碼器以信道輸出的對(duì)數(shù)似然比為初始消息，即u0=2ya/σ2，在全零假設(shè)[5]下可得到u0的條件概率密度函數(shù)為Pu0(u0|a)= (σ2/ (8πa2))1/2exp[-(u0- 2a2/σ2)2/ (8a2/σ2)]．將其對(duì)a取平均，有

式(2)即為陰影-賴(lài)斯信道輸出初始消息的概率密度函數(shù)．根據(jù)經(jīng)歷陰影的嚴(yán)重程度，信道可分為輕度陰影、中度陰影和重度陰影，相應(yīng)的參數(shù)取值參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]中的Table Ⅲ．

2 對(duì)稱(chēng)性、穩(wěn)定性與信道容量

2.1 對(duì)稱(chēng)性與穩(wěn)定性條件

(3)

推導(dǎo)過(guò)程如下:

將式(2)代入?yún)?shù)s的定義式，可得

代入式(1)，有

(4)

至此，穩(wěn)定性條件式(3)得證．

2.2 信道容量

已有很多文獻(xiàn)論述了瑞利和賴(lài)斯衰落信道的香農(nóng)限，但對(duì)于陰影-賴(lài)斯信道尚未見(jiàn)已出版文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)推導(dǎo)如下．由信道容量定義，有

其中，I(W;Y，A)為W和Y的條件互信息，PW是W的概率分布，wi=±1且與a相互獨(dú)立．由于陰影-賴(lài)斯信道是對(duì)稱(chēng)的，輸入符號(hào)等概使互信息最大化，所以

根據(jù)編碼定理，存在碼率R

表1不同環(huán)境下陰影-賴(lài)斯信道的香農(nóng)限dB

信道環(huán)境R=2/3R=1/2R=1/3R=1/4輕度陰影2.09040.8383-0.1042-0.5098中度陰影2.31980.9783-0.0221-0.4507重度陰影3.66751.83110.4881-0.0803

3 數(shù)值計(jì)算與仿真

采用離散密度進(jìn)化(Discretized Density Evolution，DDE)[7]來(lái)確定規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的譯碼門(mén)限，量化范圍設(shè)為 [-25 ，25]，量化間隔為0.05．圖1展示了 1/2 碼率的(3，6)規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在不同陰影條件下陰影-賴(lài)斯信道中的門(mén)限，以及通過(guò)蒙特卡羅仿真獲得的碼長(zhǎng)分別為105和106碼字的誤碼率(Bit Error Rate， BER)性能．從圖中可以看出，隨著碼長(zhǎng)的增加，低密度奇偶檢驗(yàn)碼在誤碼率低于10-6時(shí)所需的信噪比收斂于譯碼門(mén)限，且碼長(zhǎng)為106時(shí)與門(mén)限的差距在 0.1 dB 以?xún)?nèi)．例如在重度陰影條件下，門(mén)限值約為 3.06 dB，而實(shí)際碼字所需的信噪比約為 3.12 dB．這說(shuō)明獲取的門(mén)限值能夠很好地預(yù)測(cè)低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的性能(界)．在輕度陰影下，系統(tǒng)性能最佳；中度陰影造成系統(tǒng)性能下降約 0.2 dB；在重度陰影下，系統(tǒng)性能下降約 1.2 dB．表2列出了幾種常用的規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的譯碼門(mén)限和相應(yīng)碼率，其中(3，4)碼的門(mén)限值和碼率都最低，(3，9)碼的最高，(3，6)碼的適中．

圖1 (3,6)規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的誤碼率與譯碼門(mén)限

通過(guò)比較表1和表2的結(jié)果可知，規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼距離香農(nóng)限還有一定距離 ． 例如(3，6)碼在3種陰影環(huán)境中距離香農(nóng)限約有 1.0～ 1.2 dB 的差距 ． 因此 ， 需要針對(duì)陰影-賴(lài)斯信道設(shè)計(jì)不規(guī)則碼，這是一個(gè)連續(xù)空間參數(shù)(度分布)的非線性代價(jià)函數(shù)(門(mén)限值)最小化問(wèn)題，而差分進(jìn)化是一種非常高效的解決辦法．其基本思想[6]簡(jiǎn)述如下: 在最大度數(shù)(dl，dr)和碼率R確定的情況下，設(shè)參數(shù)L=dl+dr-5，并定義一個(gè)L維向量(λ3，…，λdl-1，ρ3，…，ρdr)，則該向量就完全確定了碼字的度分布，且參數(shù)λ2，ρ2和λdl可由該向量計(jì)算得到，參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]中的式(25)和(26)．之后隨機(jī)選擇10L組向量作為“種子”，按照標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行搜索，經(jīng)過(guò)一定次數(shù)迭代后選擇代價(jià)函數(shù)最小的那組度分布作為輸出結(jié)果．在實(shí)際搜索過(guò)程中，為了降低計(jì)算復(fù)雜度，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布可限定為2個(gè)[7]，即取“集中度分布”ρ(x)= (1-ρ)xj-1+ρxj，且平均校驗(yàn)度數(shù)ρa(bǔ)v= (1-ρ)j+ρ(j+ 1)=j+ρ．

表2不同碼率的規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼在陰影-賴(lài)斯信道中的譯碼門(mén)限dB

信道環(huán)境(3,9),R=2/3(3,6),R=1/2(4,6),R=1/3(3,4),R=1/4輕度陰影2.91591.87122.30011.3611中度陰影3.17982.03942.43631.4462重度陰影4.71333.05723.26601.9799

由于信道參數(shù)的不同，3種陰影環(huán)境下設(shè)計(jì)出的最佳不規(guī)則碼度分布將有所差異，但是移動(dòng)環(huán)境下信道狀態(tài)會(huì)發(fā)生快速的隨機(jī)變化且通信雙方碼字難以實(shí)時(shí)進(jìn)行調(diào)整．因此，從實(shí)際出發(fā)使用最壞情況下得到的優(yōu)化碼字．從下面的結(jié)果可知該碼字在另外兩種環(huán)境下也具有良好的性能．設(shè)置環(huán)境為重度陰影后搜索得到的 1/2 碼率不規(guī)則碼度分布如表3所示．通過(guò)與表2的門(mén)限結(jié)果比較，相同環(huán)境下不規(guī)則碼明顯優(yōu)于規(guī)則碼．例如，3種陰影環(huán)境中變量節(jié)點(diǎn)最大度數(shù) (dl=20) 的不規(guī)則碼門(mén)限值比相應(yīng)的(3，6)規(guī)則碼分別低 0.85 dB，0.88 dB 和 1.06 dB．文獻(xiàn)[5]在高斯信道中對(duì)低密度奇偶檢驗(yàn)碼進(jìn)行了優(yōu)化，將其中dl=20 的 1/2 碼率不規(guī)則碼記為irG并應(yīng)用于陰影-賴(lài)斯信道，得到3種陰影下的譯碼門(mén)限分別為 1.029 96 dB，1.185 35 dB 和 2.119 21 dB．與表3的結(jié)果比較可知，在相同dl下獲得的優(yōu)化碼門(mén)限更低，特別是在重度陰影下比irG碼的門(mén)限低 0.12 dB．另外，當(dāng)dl=50 時(shí)，得到的優(yōu)化碼字在3種陰影條件下的譯碼門(mén)限分別距離香農(nóng)限約 0.18 dB，0.15 dB 和 0.10 dB．從上述結(jié)果來(lái)看，優(yōu)化的不規(guī)則碼在3種陰影下都具有良好的性能，但在重度陰影環(huán)境中相對(duì)規(guī)則碼和irG碼提升最大且最接近相應(yīng)的香農(nóng)限．這是因?yàn)檫M(jìn)行搜索時(shí)已設(shè)置信道為重度陰影，若修改信道條件則會(huì)得到在該特定環(huán)境(中度或輕度陰影)中具有更優(yōu)性能的碼字．

達(dá)到或接近譯碼門(mén)限需要極長(zhǎng)(例如大于106)的碼字，這在實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)，因此需要考慮有限長(zhǎng)度的低密度奇偶檢驗(yàn)碼．得到廣泛應(yīng)用的DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)采用了碼長(zhǎng)64800的低密度奇偶檢驗(yàn)碼，因此筆者設(shè)置不規(guī)則碼的碼長(zhǎng)為 64 800，其校驗(yàn)矩陣通過(guò)線性漸進(jìn)邊增長(zhǎng)算法構(gòu)造(環(huán)長(zhǎng)較大)，且服從表3中dl=20 列的度分布．在構(gòu)造校驗(yàn)矩陣的過(guò)程中，為了獲得較大的最小碼距和較好的“陷阱集”性能，選擇具有最高連接度的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)[15]，而且可以基于平衡搜索樹(shù)降低計(jì)算復(fù)雜度[16]．圖2比較了優(yōu)化的不規(guī)則碼、DVB-S2采用的不規(guī)則碼、irG碼以及(3，6)規(guī)則碼在3種陰影環(huán)境中的誤碼率性能．可以看出，在相同信道環(huán)境下，3種不規(guī)則碼都遠(yuǎn)好于規(guī)則碼，且筆者設(shè)計(jì)的優(yōu)化碼在3種陰影中的性能增益分別為 0.55 dB、0.59 dB 和 0.64 dB; irG與DVB-S2碼字在中度陰影下的性能基本相當(dāng)，在輕度和重度陰影下DVB-S2略好于irG碼．筆者設(shè)計(jì)的不規(guī)則碼性能優(yōu)于DVB-S2碼字: 在誤碼率達(dá)到10-5時(shí)，輕度陰影下所需的信噪比相對(duì)DVB-S2碼字低 0.09 dB，中度陰影下差值為 0.11 dB，重度陰影下差值為 0.10 dB．

表3優(yōu)化的1/2碼率不規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼度分布及譯碼門(mén)限dB

參數(shù)與信道環(huán)境dl48102050λ20.368840.315980.290810.228150.20853 λ30.077090.284930.230690.249470.17157λ40.554070.002570.055690.03305 λ60.09009λ70.109900.08531λ80.396520.06881λ90.02916λ100.422810.09753λ150.02471λ200.32239λ300.07693λ500.20440 ρa(bǔ)v5.770496.633347.201868.213629.46904輕度陰影1.500421.166861.199451.021291.01659 中度陰影1.655381.298631.314871.157031.12944 重度陰影2.598772.169692.095411.996591.93183

圖2 長(zhǎng)度為64 800的低密度奇偶檢驗(yàn)碼性能比較

4 結(jié) 束 語(yǔ)

筆者對(duì)陸地移動(dòng)衛(wèi)星信道中的低密度奇偶檢驗(yàn)碼進(jìn)行了性能分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)．首先證明了陰影-賴(lài)斯信道滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性條件，推導(dǎo)了穩(wěn)定性條件和信道容量；在此基礎(chǔ)上，利用密度進(jìn)化工具計(jì)算出低密度奇偶檢驗(yàn)碼在該信道中的譯碼門(mén)限，能夠快速評(píng)估碼字在3種陰影環(huán)境中的性能(界)．基于差分進(jìn)化對(duì)不規(guī)則低密度奇偶檢驗(yàn)碼的度分布進(jìn)行了優(yōu)化，在最大變量節(jié)點(diǎn)度數(shù)為50時(shí)譯碼門(mén)限距離香農(nóng)限僅有約 0.1 dB；在碼長(zhǎng)為 64 800 且碼率為 1/2 時(shí)，優(yōu)化的不規(guī)則碼相對(duì)規(guī)則碼和DVB-S2不規(guī)則碼有約 0.6 dB 和 0.1 dB 的性能增益．所以，筆者設(shè)計(jì)的優(yōu)化碼非常適合陸地移動(dòng)衛(wèi)星信道的信息傳輸．

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