單軸應(yīng)變鍺帶隙特性和電子有效質(zhì)量計(jì)算

底琳佳， 戴顯英， 苗東銘， 吳淑靜， 郝 躍

(1. 西安電子科技大學(xué) 微電子學(xué)院，陜西 西安 710071；2. 西安電子科技大學(xué) 寬帶隙半導(dǎo)體國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

單軸應(yīng)變鍺(Ge)具有載流子遷移率提升高、與硅(Si)集成工藝兼容等優(yōu)勢(shì)，在Si基高遷移率器件與集成電路應(yīng)用方面引起了人們的廣泛關(guān)注[1-3]．能帶結(jié)構(gòu)是進(jìn)一步研究應(yīng)變Ge電學(xué)、光學(xué)性能的理論基礎(chǔ)，而k·p方法不僅具有高效的計(jì)算效率，且能夠準(zhǔn)確地描繪出在布里淵區(qū)給定點(diǎn)附近的導(dǎo)帶和價(jià)帶結(jié)構(gòu)，通常用于計(jì)算載流子的有效質(zhì)量和運(yùn)輸特性．

目前，針對(duì)應(yīng)變Ge能帶結(jié)構(gòu)和運(yùn)輸特性的研究主要集中在價(jià)帶和空穴遷移率增強(qiáng)方面[4-5]，關(guān)于導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)，特別是與電子散射和運(yùn)輸密切相關(guān)的有效質(zhì)量的理論研究相對(duì)較少．此外，已有研究表明雙軸應(yīng)變Ge可以從間接帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體，并具有與Ⅲ-Ⅴ化合物半導(dǎo)體相比擬的光增益，可用于光電子器件的設(shè)計(jì)[6-7]．與雙軸應(yīng)變相比，單軸應(yīng)變具有一些顯著的優(yōu)點(diǎn)，例如，在高垂直電場(chǎng)下維持空穴遷移率增益，為納米級(jí)短溝道器件提供大的驅(qū)動(dòng)電流提升等[8]．因此，有關(guān)單軸應(yīng)變Ge是否存在帶隙轉(zhuǎn)換以及單軸應(yīng)力如何影響電子輸運(yùn)的研究具有重要的意義．

筆者采用30k·p方法，計(jì)算了不同單軸應(yīng)力(方向、類型和量級(jí))作用下Ge的能帶結(jié)構(gòu)，定量分析了Ge導(dǎo)帶能谷分裂與偏移、縱向和橫向電子有效質(zhì)量及電子態(tài)密度有效質(zhì)量隨應(yīng)力的變化情況．

1 30 k·p方法

應(yīng)變系統(tǒng)的薛定諤方程可由下式表征[9]:

(1)

其中，p=-i(h/(2π))，為動(dòng)量算符，m為自由電子質(zhì)量，V0(r)為未形變晶格的周期勢(shì)，i、j代表x、y、z，ε為應(yīng)變張量．將布洛赫波函數(shù)φnk(r)= exp(ik·r)unk(r) 代入式(1)，可得

式(2)中的哈密頓量即為包含應(yīng)變效應(yīng)的k·p哈密頓量．

如果未形變系統(tǒng)哈密頓量的特征值En0及特征函數(shù)un0已知，如下式所示:

(5)

可將式(3)中的k·p乘積項(xiàng)及式(4)看作微擾量，并以已知的特征函數(shù)為基展開(kāi)unk，根據(jù)微擾理論可以得到一系列k·p久期方程:

式(6)中的前兩項(xiàng)用于建立未形變系統(tǒng)的k·p哈密頓矩陣，第3項(xiàng)用于建立應(yīng)變引起的微擾矩陣．

對(duì)于Ge，選取來(lái)自[000]、(2π/a)[111]和(2π/a)[200]平面波的15個(gè)Γ態(tài)[10]，并根據(jù)群論選擇規(guī)則可將由式(6)中第2項(xiàng)決定的動(dòng)量矩陣參數(shù)減小到10個(gè):

圖1 30 k·p模型原理圖

此外，由于自旋軌道相互作用的存在，根據(jù)15個(gè)Γ態(tài)所屬原子態(tài)的不同，可將其分為3類[11]:Γ1l、Γ2′l、Γ1u和Γ2′u屬于s原子態(tài)，自旋軌道相互作用使它們變?yōu)槎群?jiǎn)并態(tài);Γ12′屬于d原子態(tài)，自旋軌道相互作用，使其變?yōu)樗亩群?jiǎn)并態(tài);Γ25′l、Γ25′u和Γ15屬于p原子態(tài)，自旋軌道相互作用使它們分裂為一組四度簡(jiǎn)并態(tài)和一組二度簡(jiǎn)并態(tài)，相應(yīng)的分裂能分別為Δ25′l、Δ25′u和Δ15，且在Γ25′l和Γ25′u之間存在非零的耦合系數(shù)Δ25u，25l．圖1給出了30k·p模型的原理圖，并列出了相應(yīng)的Γ態(tài)及其對(duì)應(yīng)的原子態(tài)波函數(shù)、動(dòng)量矩陣參數(shù)、自旋軌道相互作用系數(shù)．

因此，根據(jù)以上Γ態(tài)可以建立包含應(yīng)變效應(yīng)的30k·p哈密頓矩陣，因?yàn)榫仃囆问较鄬?duì)復(fù)雜，文中并未列出，相應(yīng)的矩陣可在文獻(xiàn)[12]中找到．根據(jù)已有的單軸應(yīng)變張量模型[13]，通過(guò)對(duì)角化 30k·p哈密頓矩陣可得到單軸應(yīng)變Ge的能帶結(jié)構(gòu)．計(jì)算過(guò)程中各參數(shù)的具體數(shù)值列在表1和表2中，由式(7)決定的應(yīng)變微擾矩陣系數(shù)和文獻(xiàn)[12]中的一致．

表1 鍺在Γ點(diǎn)處的能量本征值及自旋軌道相互作用系數(shù)

表2 鍺的動(dòng)量矩陣參數(shù)

圖2 弛豫Ge(實(shí)線)和[111]方向2 GPa單軸應(yīng)變Ge(虛線)能帶結(jié)構(gòu)

2 單軸應(yīng)變Ge帶隙特性

圖2給出了弛豫Ge(實(shí)線)和沿[111]方向的2 GPa單軸應(yīng)變Ge(虛線)的能帶圖．對(duì)于弛豫Ge，計(jì)算得到的L和Δ能谷能量分別為 0.662 eV 和 0.851 eV．從圖2可以看出，單軸應(yīng)變Ge的各能級(jí)均發(fā)生了明顯的偏移和翹曲，說(shuō)明帶隙寬度和有效質(zhì)量會(huì)隨著應(yīng)力而變化．此外，由于應(yīng)力的引入，晶格對(duì)稱性遭到破壞，原有的L和Δ能谷簡(jiǎn)并度將發(fā)生改變．

圖3 單軸應(yīng)變Ge導(dǎo)帶各能谷隨應(yīng)力的變化情況

值得注意的是，在單軸應(yīng)力的作用下，Ge導(dǎo)帶帶邊能級(jí)會(huì)發(fā)生改變．圖4給出了不同方向單軸應(yīng)力作用下Ge導(dǎo)帶各能谷帶隙寬度隨應(yīng)力的變化情況，可以更直觀反應(yīng)帶邊能級(jí)的轉(zhuǎn)換．由圖4(a)可見(jiàn)，當(dāng)沿[001]方向的單軸壓應(yīng)力大于 2.1 GPa 后，導(dǎo)帶帶邊能級(jí)變?yōu)棣つ芄?，但Ge仍為間接帶隙半導(dǎo)體;而在張應(yīng)力作用下，由于Γ能谷帶隙寬度隨應(yīng)力增大而減小的趨勢(shì)遠(yuǎn)大于L能谷，使得在應(yīng)力增大到一定程度后，Γ能谷將成為導(dǎo)帶帶邊能級(jí)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，當(dāng)張應(yīng)力大于 4.8 GPa 后，Ge從原來(lái)的間接帶隙半導(dǎo)體變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體，禁帶寬度為 0.402 eV．類似地，由圖4(c)可見(jiàn)，沿[111]方向的單軸張應(yīng)力大于 6.2 GPa 后，Ge變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體，禁帶寬度為 0.244 eV．

圖4 單軸應(yīng)變Ge導(dǎo)帶各能谷帶隙寬度隨應(yīng)力的變化情況

文中結(jié)果與文獻(xiàn)[13]結(jié)果不同，這是由于文獻(xiàn)[13]未考慮應(yīng)力作用下高能量能級(jí)對(duì)導(dǎo)帶能谷的影響，且其形變勢(shì)參數(shù)并不充分[6]．此外，文獻(xiàn)[14]采用第一性原理對(duì)張應(yīng)變Ge能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)[001]和[111]方向單軸張應(yīng)力均可使Ge由間接帶隙轉(zhuǎn)變成直接帶隙．文獻(xiàn)[15]報(bào)道的[001]方向懸浮Ge納米線結(jié)構(gòu)在產(chǎn)生的5.7% (5.87 GPa) 的單軸張應(yīng)變作用下，已轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訋栋雽?dǎo)體．這些相關(guān)結(jié)論可以間接驗(yàn)證文中所得結(jié)果的準(zhǔn)確性．

3 單軸應(yīng)變Ge電子有效質(zhì)量

電子有效質(zhì)量取決于其所處狀態(tài)下的能帶結(jié)構(gòu)，可由下式表征:

(8)

根據(jù)單軸應(yīng)變Ge能帶結(jié)構(gòu)，采用二次函數(shù)擬合方法可以得到Ge導(dǎo)帶各能谷電子有效質(zhì)量．為了驗(yàn)證計(jì)算的有效性，表3列出了實(shí)驗(yàn)測(cè)量[16]、贗勢(shì)法[17]、緊束縛法[18]以及文中 30k·p方法計(jì)算得到的弛豫Ge導(dǎo)帶能谷電子有效質(zhì)量．表中，ml表示縱向有效質(zhì)量，mt表示橫向有效質(zhì)量，可以看出，所得結(jié)果基本一致．

表3 弛豫Ge導(dǎo)帶各能谷電子有效質(zhì)量

圖5分別給出了不同方向單軸應(yīng)力作用下Ge導(dǎo)帶L和Δ能谷縱向、橫向有效質(zhì)量隨應(yīng)力的變化情況．單軸應(yīng)力破壞了晶體對(duì)稱性，使導(dǎo)帶能谷產(chǎn)生分裂和偏移，有效質(zhì)量也會(huì)隨之改變．總體而言，導(dǎo)帶L能谷在各方向單軸應(yīng)力作用下，縱向、橫向有效質(zhì)量變化并不明顯，而Δ能谷在[110]、[111]單軸應(yīng)力作用下有大幅改變，這意味著剪切應(yīng)力對(duì)于Δ能谷的作用比L能谷更為顯著．

圖5 單軸應(yīng)變Ge導(dǎo)帶L、Δ能谷縱向和橫向有效質(zhì)量隨應(yīng)力的變化情況

態(tài)密度有效質(zhì)量與有效狀態(tài)密度、載流子散射幾率密切相關(guān)，也是應(yīng)變Ge的重要參數(shù)．應(yīng)變Ge電子態(tài)密度有效質(zhì)量可由下式給出[19]:

(9)

其中，mc=(mlmt2)1/3為導(dǎo)帶某一能谷的態(tài)密度有效質(zhì)量，ΔEc，split為導(dǎo)帶能谷分裂能，kB為玻爾茲曼常數(shù)，a和b分別表示能級(jí)分裂后產(chǎn)生的能量較低能谷的簡(jiǎn)并度和能量較高能谷的簡(jiǎn)并度，例如[111]單軸張應(yīng)力作用下，對(duì)于Δ能谷，a、b分別為6、0，對(duì)于L能谷，a、b分別為3、1．

圖6 單軸應(yīng)變Ge導(dǎo)帶電子態(tài)密度有效質(zhì)量

圖6為不同方向單軸應(yīng)力作用下Ge導(dǎo)帶L和Δ能谷的電子態(tài)密度有效質(zhì)量隨應(yīng)力的變化情況．由圖6(a)可見(jiàn)，沿[110]和[111]方向的單軸應(yīng)力可以有效降低L能谷電子態(tài)密度有效質(zhì)量，并在應(yīng)力大于 1 GPa 后，趨近為常數(shù)，其中沿[111]方向的單軸壓應(yīng)力可使L能谷電子態(tài)密度有效質(zhì)量取得最小值 0.22m0．類似地，由圖6(b)可見(jiàn)，Δ能谷的電子態(tài)密度有效質(zhì)量在沿[001]方向單軸壓應(yīng)力大于 1 GPa 后取得最小值 0.52m0．

態(tài)密度有效質(zhì)量的顯著降低，是由于單軸應(yīng)力使導(dǎo)帶能谷發(fā)生分裂，能級(jí)簡(jiǎn)并度降低，隨著分裂能的增大，電子越來(lái)越集中于低能量能谷．態(tài)密度有效質(zhì)量的減小，可以有效降低載流子的散射幾率，提高遷移率，從這一角度考慮，為了得到更高的電子遷移率，沿[111]方向的單軸壓應(yīng)變Ge可作為N溝道金屬氧化物半導(dǎo)體(N-channel Metal Oxide Semiconductor，NMOS)器件導(dǎo)電溝道材料的最佳選擇．

4 結(jié) 束 語(yǔ)

文中采用30k·p方法，對(duì)沿[001]、[110]、[111]方向的單軸應(yīng)變Ge能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算．單軸應(yīng)力的引入使得各能級(jí)發(fā)生不同程度的翹曲與偏移，進(jìn)而改變了單軸應(yīng)變Ge的帶隙特性和電子有效質(zhì)量．結(jié)果表明:在[001]、[111]方向單軸張應(yīng)力作用下，Ge由間接帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯訋?，帶隙性質(zhì)的轉(zhuǎn)變使得單軸應(yīng)變Ge可用于光電集成器件; 導(dǎo)帶L和Δ能谷電子縱向、橫向有效質(zhì)量并不明顯地依賴于單軸應(yīng)力，但沿[111]和[001]方向的單軸壓應(yīng)力可分別使L和Δ能谷態(tài)密度有效質(zhì)量取得最小值，這有利于減小電子散射幾率，提升電子遷移率．所得相關(guān)結(jié)論可為設(shè)計(jì)高性能單軸應(yīng)變鍺器件應(yīng)力和溝道方向選擇提供理論參考．

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