數(shù)學建模中的數(shù)據(jù)處理

范馨香

(福建師范大學協(xié)和學院,福建福州 350108)

作為發(fā)現(xiàn)人才的有效手段之一,數(shù)學競賽活動倍受世界發(fā)達國家的重視。一些重大數(shù)學競賽的優(yōu)勝者,大多在他們后來的事業(yè)中卓有建樹,例如“國際領袖數(shù)學家之一”華羅庚,“中國航天之父”錢學森,“微分幾何之父”陳省身先生等.而作為一種數(shù)學教育活動的數(shù)學建模競賽(CUMCM),對于推進大學數(shù)學教學改革有著重大意義,影響深遠。自1992年我國開辦這一競賽活動以來,數(shù)學建模競賽卓有成效地促進了數(shù)學教學改革,成為培養(yǎng)應用型創(chuàng)新型人才的重要環(huán)節(jié)。清華大學數(shù)學系謝金星教授言簡意賅地描繪數(shù)學建模如下:數(shù)學建模是數(shù)學與實際問題的橋梁:首先,利用“歸納”將現(xiàn)實對象的信息表述為數(shù)學模型;接著,用“演繹”求解得到數(shù)學模型的解答并解釋為現(xiàn)實對象的解答,最后驗證模型是否符合現(xiàn)實對象的信息。在“歸納”、“演繹”即表述模型和求解的過程中,往往需要較大的計算量,包括數(shù)據(jù)處理,數(shù)值計算等等,這些都要用計算機和數(shù)學軟件求解過渡,以達到事半功倍的效果。本文以2010年全國大學生數(shù)學建模競賽B題為例,談談常用的數(shù)據(jù)處理軟件(Excel、SPSS、Matlab)在數(shù)學建模中的應用。

圖1 04-09年1月入境旅客量趨勢圖

1 問題的提出

2010年全國大學生數(shù)學建模競賽B題是“上海世博會影響力的定量評估”,原題目省略。

上海世博會是中國舉辦的一盛大活動,本屆世博會將對上海的旅游效益產(chǎn)生巨大影響。旅游的效益與旅客流量和旅游收入密切相關。本文側(cè)重評估世博會對上海入境旅游人數(shù)的影響力。建立入境旅游人數(shù)的有效預測模型,通過比較2010年1月至7月入境旅游人數(shù)的預測值與實際值,評定出世博會對旅游人數(shù)的影響力。

2 數(shù)據(jù)的搜集、分析

每一年上海的入境旅游人數(shù)受季節(jié)因素,假期因素等影響而變化。如5月和10月都有黃金周,必然促進旅游人數(shù)的增長,借助統(tǒng)計年鑒收集2004到2009年各月份的具體數(shù)據(jù)。旨在分析各年同一個月份的入境旅游總?cè)藬?shù)的數(shù)據(jù),減少干擾因素。用Excel軟件整合統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位:人)表格,其中第一行為年份,第一列為月份。

以年份為自變量,以各月份入境人數(shù)為因變量,輸入SPSS軟件中進行曲線估計?；貧w的曲線估計模型分別采用線性、二次項、復合、增長、對數(shù)、立方、S(S)、指數(shù)分布、逆模型、冪、logistic這些模型來擬合曲線。例如,作出1月份入境旅游人數(shù)的擬合曲線。擬合后,以R方為判斷指標,比較各種模型的R方值,R方的值越大,曲線的擬合效果越好。比較得到三次方程的R方等于0.979值最大。因此,采用立方模型作為1月份入境人數(shù)的曲線估計模型。

用同樣的方法,相繼確定出2月到12月份的入境旅游人數(shù)擬合曲線,均是立方模型的效果最佳。

3 模型的建立、檢驗

根據(jù)已確定的立方模型,具體解析求出各月份的擬合曲線。如圖1呈現(xiàn)的是2004年到2009年1月份入境旅客流量走勢圖。

根據(jù)04-09年1月份的模型匯總和參數(shù)估計值可以得出1月份的入境人數(shù)的預測模型:

用同樣方法(具體模型參數(shù)略)相繼得出其他各月份的預測模型:

y2=286658.667-72594.827*x+60786.742*x^2-7289.574*x^3;

y3=133408.667+229454.280*x-32148.437*x^2+748.426*x^3;

y4=98421.333+284161.335*x-55469.587*x^2+3457.935*x^3;

y5=83133.333+253850.239*x-37208.194*x^2+1043.852*x^3;

y6=40620.000+347070.865*x-78194.024*x^2+5397.111*x^3;

y7=84640.667+300217.634*x-68139.067*x^2+5121.870*x^3;

y8=11858.333+421759.87* x-110390.837*x^2+9183.435*x^3;

y9=113257+299732.087* x-69718.940*x^2+5195.972*x^3;

y10=83084.667+374465.193*x-80947.853*x^2+5566.954*x^3;

y11=131083+302096.893*x-67794.929*x^2+5265.75*x^3;

y12=158375.333+258504.541*x-68167.528*x^2+5704.074*x^3;

根據(jù)以上的方程,利用Matlab軟件分別計算出04至09年的各個月份預測的入境人數(shù)總值(單位:人),結(jié)果可列表,第一行為年份,第一列為月份。

將預測的值與實際的值相比較,計算兩者的比值,比值越接近1越精確,據(jù)此,用Excel軟件求得模型的平均比值:

1月份比值為1.001813 2月份比值為1.007375 3月份比值為1.002784

4月份比值為1.000914 5月份比值為1.001033 6月份比值為1.00297

7月份比值為1.000332 8月份比值為1.000934 9月份比值為1.000272

10月份比值為1.00048 11月份比值為1.000139 12月份比值為1.003516

因此模型整體的平均比值為1.00188,模型預測的相似度高。

誤差率=|1-比值|*100%,對各年各月的誤差率進行求和,并取平均值,得出模型的平均誤差率:

1月份誤差率為0.181%;2月份誤差率為0.738%;3月份誤差率為0.278%;

4月份誤差率為0.091%;5月份誤差率為0.103%;6月份誤差率為0.297%;

7月份誤差率為0.033%;8月份誤差率為0.093%;9月份誤差率為0.027%;

10月份誤差率為0.048%;11月份誤差率為0.014%;12月份誤差率為0.352%;

因此模型整體的平均誤差值為0.188%,模型預測的可信度高。

4 模型的應用、解答

根據(jù)已經(jīng)求出的預測模型,預測2010年的上海入境旅游人數(shù).預測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)進行相互印證:實際入境人數(shù)與預測人數(shù)及增長率各月份的數(shù)據(jù)可以表格形式呈現(xiàn)“實際與預測的對比”,例如,第一列為月份,第二列為實際入境人數(shù),第三列為預測人數(shù),第四列為增長率。

首先,可以得出在世博會的影響下,各個月份的入境旅游人數(shù)普遍增長,增長率為:

2010年1月份增長率為1.821187;2010年2月份增長率為0.866656;

2010年3月份增長率為0.649222;2010年4月份增長率為0.219535;

2010年5月份增長率為0.807199;2010年6月份增長率為0.544649;

2010年7月份增長率為0.2403。

對以上增長率求平均值,得出平均增長率為:73.55%。

應用模型對搜集到的數(shù)據(jù)進行定量評估,可以判斷出在世博會的影響下,上海的入境旅游人數(shù)平均增長73.55%。

其次,經(jīng)過對搜集的上海2000年至2009年的旅行各項數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)中有四項指標:入境旅游人數(shù)、國內(nèi)旅游人數(shù)、外匯收入、國內(nèi)旅游收入。設定旅游收入為判斷旅游效益的主要指標,可以求出入境旅游人數(shù)對整體旅游效益的影響程度,整理2000-2009旅游概況結(jié)果如下:入境旅游總?cè)藬?shù)(AT)為 5934.65萬次,國內(nèi)旅游總?cè)藬?shù)(DT)為112067.58萬次,外匯總收入(AI)為3374.000855億元,國內(nèi)旅游總收入(DI)為15932.22573億元,由以上數(shù)據(jù)計算入境旅游的比重=(AI/AT)÷(AI/AT+DI/DT),求得入境旅游占總旅游比重為0.803457161。入境旅游占總旅游效益的比重較大,在世博會的影響下,入境人數(shù)明顯增加,入境旅游收入必然也隨之增長。

5 結(jié)語

本例可以充分顯示SPSS、Matlab處理數(shù)據(jù)的強大功能,另外還有Mathematica,它的大小適中,了解使用的人也很多,國內(nèi)能找到的參考資料也比較多;而在處理線性、非線性規(guī)劃等問題時,采用SAS,Lingo等軟件會比較方便,總之,數(shù)學軟件是數(shù)學建模的必不可少的重要工具,在數(shù)學建模的教學和賽前培訓中,適當介紹數(shù)學實驗中的一些軟件,會有比較理想的效果[1]。

[1]李大潛.將數(shù)學建模思想融入數(shù)學系主干課程[J].中國大學數(shù)學,2006,(1):9-11.