找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，捕捉思維動(dòng)態(tài)，滲透極限思想
——“圓的面積”教學(xué)實(shí)踐

◇邵 虹

眾所周知，教材是按照知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系編寫的。多數(shù)教師依循教材的邏輯起點(diǎn)確立課堂教學(xué)的目標(biāo)起點(diǎn)，這樣的做法雖然保證了教材的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性，卻忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能超前或滯后于教材所預(yù)想的起點(diǎn)。教材只是提供了課堂教學(xué)的“可能起點(diǎn)”，無法顧及學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)水平與能力。因此，僅僅依賴教材分析和教師的經(jīng)驗(yàn)判斷教學(xué)起點(diǎn)是不夠的，對(duì)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)展開研究，找準(zhǔn)“最近發(fā)展區(qū)”，確定教學(xué)內(nèi)容，修正教學(xué)目標(biāo)，能有效地提高教學(xué)效率。

一、找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，選擇教學(xué)內(nèi)容，修正教學(xué)目標(biāo)

筆者選擇了杭州市城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校和普通學(xué)校各2個(gè)班的140 名六年級(jí)學(xué)生，以問卷的方式進(jìn)行了“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”調(diào)研，測(cè)查學(xué)生學(xué)習(xí)圓的面積之前對(duì)該知識(shí)及相關(guān)內(nèi)容的掌握情況，分析學(xué)生學(xué)習(xí)圓面積的認(rèn)知起點(diǎn)。

1.學(xué)生知道“圓面積概念”嗎？

語言表達(dá)：圓的表面大小 涂色表征人數(shù) 105 35百分比 75% 25%

分析：被測(cè)學(xué)生中，有75%的學(xué)生能用語言表達(dá)圓面積的含義；25%的學(xué)生會(huì)用涂色表征圓的面積，說明這部分學(xué)生頭腦中出現(xiàn)了圓面積的表象。

思考：新課教學(xué)時(shí)是否需要安排環(huán)節(jié)明確“圓面積”的概念？

2.學(xué)生認(rèn)為圓的面積與什么有關(guān)？（可多選）

與圓周率（π）有關(guān)人數(shù) 30百分比 21.4%與半徑有關(guān)與直徑有關(guān)與周長(zhǎng)有關(guān)127 102 42 90.7% 72.9% 30%

分析：90.7%的學(xué)生認(rèn)為圓的的面積與半徑有關(guān)，但能夠正確說出圓的面積與半徑有什么關(guān)系的學(xué)生較少。

思考：教學(xué)前猜想“圓的面積與什么有關(guān)”是十分重要的問題，它能引導(dǎo)學(xué)生從圓的特征和屬性兩方面進(jìn)行思考。建議教學(xué)時(shí)要重視圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)與半徑之間建立聯(lián)系，理解公式推導(dǎo)的過程。

3.學(xué)生選擇怎樣的方法研究圓的面積？

研究方式把圓切割成學(xué)過的圖形，再求面積人數(shù) 8百分比 5.7%將圓均分成小扇形數(shù) 格子放在一個(gè)比圓大的正方形內(nèi)比較78 42 12 55.7% 30% 8.6%

分析：有55.7%的學(xué)生希望通過“剪拼”方法研究圓的面積，說明平行四邊形等直邊圖形利用“轉(zhuǎn)化”思路研究面積的經(jīng)歷帶給學(xué)生正向遷移，這種研究經(jīng)驗(yàn)的積累為學(xué)習(xí)圓的面積奠定了基礎(chǔ)。有30%的學(xué)生采用數(shù)方格研究圓的面積，還有8.6%的學(xué)生提出要將圓的放到一個(gè)更大的正方形內(nèi)研究，這為理解圓的面積與半徑之間的聯(lián)系、估計(jì)圓的面積的取值范圍提供了依據(jù)。

4.學(xué)生知道圓的面積計(jì)算公式嗎？能獨(dú)立推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式嗎？

不知道人數(shù) 24百分比 17.1%65 17 34 46.4% 12.1% 24.4%知道知道（過程對(duì)）知道（沒過程）知道（過程錯(cuò)）

分析：知道圓的面積計(jì)算公式的有116人，占所有學(xué)生的82.9%；不知道圓的面積計(jì)算公式的有24人，占所有學(xué)生的17.1%；其中46.4%的學(xué)生能正確推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，并能合理解釋公式的推導(dǎo)過程；36.5%的學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式有困難。

筆者根據(jù)是否知道“圓面積計(jì)算公式”的學(xué)生表現(xiàn)，分成以下幾個(gè)水平層次：

水平1，完全不知道圓的面積計(jì)算公式；

水平2，聽說過圓的面積計(jì)算公式，但不知道推導(dǎo)方法或用了錯(cuò)誤的推導(dǎo)方法；

水平3，知道用剪拼的方法研究圓的面積，但不會(huì)表達(dá)；

水平4，能用圖形或文字完整表達(dá)圓的面積的推導(dǎo)過程。

從課前調(diào)研結(jié)果看，學(xué)生對(duì)圓的面積計(jì)算公式的了解不是一張白紙。在課堂教學(xué)中，我們不但要承認(rèn)這種差異，而且要充分利用學(xué)生間的差異，并開發(fā)成為優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源。筆者根據(jù)真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，修正了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

知識(shí)與技能目標(biāo)——建立正確的圓的面積概念；感悟?qū)ⅰ皥A”等分研究面積的必要性，掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式并能正確計(jì)算；能運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。

過程與方法目標(biāo)——通過觀察、猜想、操作、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷五次圓的面積的轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；揭示“用扇形等分”研究的原理，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)比較、分析、概括能力，滲透極限思想，發(fā)展空間觀念。

情感、態(tài)度目標(biāo)——積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，有好奇心和求知欲；在探索圓的面積計(jì)算公式的過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、捕捉思維動(dòng)態(tài)，經(jīng)歷推導(dǎo)過程，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

1. 尊重差異，基于認(rèn)知層次揭示研究問題。

（1）課件出示一個(gè)圓，“圓的面積”指的是什么？關(guān)于“圓的面積”，你已經(jīng)知道什么？

（2）指名請(qǐng)“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”調(diào)查中不知道圓的面積計(jì)算公式的學(xué)生回答：你相信這個(gè)結(jié)論嗎？

（3）指名請(qǐng)“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”調(diào)查中知道圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程的學(xué)生回答：有辦法證明你的結(jié)論嗎？誰愿意分享自己的證明過程？

設(shè)計(jì)意圖：教師直面現(xiàn)實(shí)，充分利用學(xué)生之間的差異，對(duì)不同層次的學(xué)生提出了不同的學(xué)習(xí)要求。引導(dǎo)水平1 和水平2 的學(xué)生明白：數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不能盲目聽信，要講科學(xué)道理；要求水平3 和水平4 的學(xué)生懂得：真正學(xué)會(huì)知識(shí)，需要經(jīng)歷探究的過程，要講清其中的道理。

2.動(dòng)手操作，交流探究思路，明確“轉(zhuǎn)化”策略。

（1）善用差異，請(qǐng)學(xué)生推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式。

學(xué)生在實(shí)物展臺(tái)操作：將圓平均分成16 份，拼成一個(gè)近似的平行四邊形，利用平行四邊形的面積推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式。

教師追問：為什么要將圓等分成若干份？為什么要拼成平行四邊形？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感知在探究圓的面積時(shí)，可以先將圓形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過、會(huì)計(jì)算面積的圖形。而圓是曲線圖形，轉(zhuǎn)化成直線圖形就需要將圓等分成若干份，然后拼一拼，可能會(huì)拼成學(xué)過的直線圖形。

（2）在個(gè)別學(xué)生演示的基礎(chǔ)上，全體學(xué)生動(dòng)手操作嘗試將圓進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

教師收集學(xué)生研究成果，并逐個(gè)呈現(xiàn)：

生1：我已經(jīng)拼成平行四邊形，但還是不知道怎樣得到圓的面積計(jì)算公式。

生2 ：S圓=C×r。

生3：S圓= πr2。

生4：因?yàn)镾平=底×高，將每個(gè)扇形分割后，再拼成一個(gè)變形的平行四邊形。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察（如圖1），分析發(fā)現(xiàn)：

圖1

圓周長(zhǎng)的一半相當(dāng)于平行四邊形的底，圓的半徑相當(dāng)于平行四邊形的高。根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法，圓的面積就等于圓周長(zhǎng)的一半乘半徑。

教師繼續(xù)追問：圓的面積計(jì)算公式中“r2”是怎么來的？

學(xué)生交流推導(dǎo)方法，經(jīng)歷公式概括的全過程：

平行四邊形面積=底 × 高

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)之間的結(jié)合點(diǎn)，依據(jù)不同階段學(xué)生的思維特點(diǎn)、不同層次學(xué)生的認(rèn)知水平和不同難易程度的學(xué)習(xí)材料，設(shè)計(jì)了開放的活動(dòng)空間，讓所有學(xué)生都能參與進(jìn)來。在學(xué)生匯報(bào)的環(huán)節(jié)，教師十分重視學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)和概括能力，通過對(duì)轉(zhuǎn)化前后圖形關(guān)系的比較，加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)聯(lián)系的理解，獲得豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（3）類比遷移，豐富圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)。

師：同學(xué)們通過圓等分后轉(zhuǎn)化成平行四邊形，推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式。圓只能轉(zhuǎn)化成一種圖形來研究面積嗎？

生：我們認(rèn)為可以把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、梯形、三角形，也能推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式。

操作與思考：16 等分后的圓還可以轉(zhuǎn)化成其他已經(jīng)學(xué)過面積計(jì)算公式的平面圖形，推導(dǎo)面積計(jì)算方法（如圖2）。

圖2

活動(dòng)要求：

①選一選，每人選擇一種轉(zhuǎn)化的方法。

②推一推，獨(dú)立思考并計(jì)算圓的面積。

③議一議，怎樣推導(dǎo)圓的面積，并準(zhǔn)備匯報(bào)。

合作與交流：概括圓的面積計(jì)算公式。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)學(xué)生自由選擇轉(zhuǎn)化圖形，通過動(dòng)手操作、反復(fù)實(shí)驗(yàn)研究，親身經(jīng)歷“化曲為直”的轉(zhuǎn)化過程，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透?！懊娣e計(jì)算公式的概括”是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、小組討論、全班匯報(bào)的過程，引導(dǎo)他們從對(duì)圓的面積推導(dǎo)的直觀感知逐步上升為抽象的字母公式。同時(shí)重視學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，重視板書規(guī)范嚴(yán)密的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生理解和明晰公式的來源。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，不僅能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納概括能力，同時(shí)幫助學(xué)生積累了如何研究問題的經(jīng)驗(yàn)。

三、設(shè)置認(rèn)知沖突，揭示“等分”原理，滲透極限思想

我們已經(jīng)知道，圓也是通過分割轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形等圖形來研究面積的，但是這種轉(zhuǎn)化方法與其他直邊圖形的轉(zhuǎn)化方法不同。一般的直邊圖形是通過有限次分割變換而成的，而圓是通過無限次的等分拼接、逼近才轉(zhuǎn)化成直邊圖形的，這樣的操作依據(jù)便是極限思想。因此，極限思想是本節(jié)課重要的數(shù)學(xué)思想。如何精確計(jì)算圓的面積？如何真正理解有限與無限、圓與方、曲與直的矛盾呢？筆者做了以下的嘗試：

1.對(duì)于前面的圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程，你有什么疑惑？

生1：拼成后的近似圖形還有一些“邊”不是直的，這樣推導(dǎo)出來的面積計(jì)算公式精確嗎？

生2：為什么要等分成小扇形來拼接？

教師出示“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”調(diào)查結(jié)果：（如圖3）

圖3

課前調(diào)查結(jié)果顯示，有75%的學(xué)生選擇了利用“小扇形”研究圓的面積。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為：扇形既是圓的一部分又與三角形的面積相似，而且等分后的扇形弧長(zhǎng)總和是圓周長(zhǎng)，兩條直邊是圓的半徑……這些因素有助于圓面積的研究。

2.觀察與想象：小扇形與小三角形的關(guān)系。

（課件動(dòng)態(tài)演示，如圖4，學(xué)生安靜地觀察與想象：圓等分的份數(shù)越多，三角形的底越接近扇形的弧長(zhǎng)；三角形的高越接近扇形的半徑；三角形的面積越接近扇形的面積）

圖4

引導(dǎo)學(xué)生閉眼想象無限等分下去，當(dāng)三角形的面積與扇形的面積誤差無窮小的時(shí)候，三角形的面積就等于扇形的面積了。

3.思考與交流：將一個(gè)半徑為r 的圓平均分成若干份后，研究它的面積。

學(xué)生回答：無論將這個(gè)圓等分成多少份，每一份都是一個(gè)近似等腰三角形，求出一個(gè)三角形的面積，再乘個(gè)數(shù)，就是圓的近似面積。當(dāng)?shù)确殖蔁o窮多份時(shí)，這些小三角形的面積和就等于圓的面積。

全班交流：

設(shè)計(jì)意圖：借助計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，動(dòng)態(tài)演示圓等分成 4 份、8 份、16 份、32 份、64 份、128 份……后的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察每種等分結(jié)果中小扇形與小三角形之間的關(guān)系，造成視覺沖擊。引發(fā)學(xué)生思考并得出圓等分的次數(shù)越多，小扇形與小三角形越接近。當(dāng)?shù)确譄o數(shù)次時(shí)，小扇形就等于小三角形，從而在滲透極限思想的同時(shí)，消除“近似公式”的錯(cuò)誤觀念。在這個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)留了開放的探究空間，學(xué)生可以將圓等分成任意份（16 份、32份、128 份……），都可以通過無限想象，利用一個(gè)小扇形的面積來推導(dǎo)并概括出圓的面積，鞏固了以曲代直的轉(zhuǎn)化思想。

4.回顧與整理。

①今天我們一起研究了什么問題？②我們是怎樣研究的？③你還有什么問題？

5.今天主要運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法來推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式。其實(shí)，除了今天用的方法，數(shù)學(xué)愛好者還想出了一些有趣的方法。（如圖5）

圖5

設(shè)計(jì)意圖：在課的最后，讓學(xué)生安靜地想一想，回顧自己學(xué)習(xí)的內(nèi)容、學(xué)習(xí)的方法，有助于學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)形成一種觀點(diǎn)——研究未知的領(lǐng)域可以通過轉(zhuǎn)化的思想——研究曲邊圖形可以借助直邊圖形——通過有限想象無限……讓學(xué)生將研究的對(duì)象與它們之間的關(guān)系統(tǒng)一內(nèi)化成一個(gè)新的思維領(lǐng)域。在這個(gè)階段，教師需要與學(xué)生一起做一個(gè)全面的評(píng)述，幫助學(xué)生形成完整的研究思路。此外，在研究最后讓學(xué)生反思研究的過程，想一想還有哪些問題，并布置了研究圓與其他直邊圖形的面積關(guān)系的課外作業(yè)，既有利于鞏固知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度，也有利于激發(fā)學(xué)生繼續(xù)研究相關(guān)問題的興趣。