海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)均勻概略航向下的散布規(guī)律研究*

侯學(xué)隆，姜青山

（海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

現(xiàn)代反艦作戰(zhàn)，為了充分發(fā)揮各型作戰(zhàn)平臺(tái)裝備的中遠(yuǎn)程反艦導(dǎo)彈的射程優(yōu)勢，遂行遠(yuǎn)距、精確與隱蔽攻擊水面目標(biāo)任務(wù)，基于遠(yuǎn)程目標(biāo)指示信息的超視距導(dǎo)彈攻擊已成為基本作戰(zhàn)樣式［1］。在反艦導(dǎo)彈超視距攻擊目標(biāo)捕選決策中，基于穩(wěn)妥的戰(zhàn)術(shù)原則考慮，通常假設(shè)目標(biāo)航向分布在2π范圍內(nèi)來估計(jì)最大散布范圍［2-3］，將射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)定格在目標(biāo)指示點(diǎn)，并以導(dǎo)彈開機(jī)覆蓋目標(biāo)最大散布圓來計(jì)算末制導(dǎo)雷達(dá)最小搜索扇面角［4-5］。

水面艦艇海上航行通常以遂行作戰(zhàn)任務(wù)為牽引，機(jī)動(dòng)航向帶有鮮明的指向性，在大多數(shù)情況下可以視作近勻速直線運(yùn)動(dòng)，突然倒車逆向機(jī)動(dòng)的可能性非常?。?］。如果指揮決策人員根據(jù)戰(zhàn)場態(tài)勢和目標(biāo)機(jī)動(dòng)的大趨勢，判斷出目標(biāo)的概略航向，接下來考慮幾個(gè)問題：1）概略航向下反艦導(dǎo)彈的射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)是不是還選擇在目標(biāo)指示點(diǎn)，如果不是，該如何確定。2）末制導(dǎo)雷達(dá)應(yīng)搜索覆蓋的重點(diǎn)區(qū)域如何確定。

解決以上兩個(gè)問題的關(guān)鍵在于確定目標(biāo)的位置散布規(guī)律。通過位置散布規(guī)律可以確定目標(biāo)高概率密度區(qū)域，為射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)及末制導(dǎo)雷達(dá)角度搜索范圍、距離搜索范圍的使用優(yōu)化提供依據(jù)。為此，本文重點(diǎn)研究海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)概略航向下的位置散布概率密度及其性質(zhì)，通過散布規(guī)律的仿真分析回答上述兩個(gè)問題。

1 海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)均勻概略航向下的位置散布概率密度

1.1 基本假設(shè)

為方便模型建立，作如下假設(shè)：

1）偵察預(yù)警兵力對海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)定位的均方差為σmz.（σmz.＞0）、系統(tǒng)誤差為零，即目標(biāo)初始位置散布服從二維正態(tài)圓分布。

2）指揮員給出的概略航向信息包括兩個(gè)：一是目標(biāo)航向角分布范圍ΔC，ΔC∈（0，π）；二是主航向角Cc，為航向分布范圍的角平分線與正北之間的夾角，Cc∈［0，2π］。定義目標(biāo)運(yùn)動(dòng)矢量與正北之間的夾角為目標(biāo)航向角，記為c，c位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定義的區(qū)間。顯然，c為隨機(jī)變量，假設(shè)c服從均勻分布。與正態(tài)分布相比，假設(shè)航向角服從均勻分布屬于保守型決策。

3）目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)間t以遠(yuǎn)程目標(biāo)指示系統(tǒng)獲取目標(biāo)定位信息時(shí)刻為零點(diǎn)計(jì)算。在反艦導(dǎo)彈對海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)射擊時(shí)，該時(shí)間主要與反艦導(dǎo)彈的自控飛行時(shí)間有關(guān)。

4）目標(biāo)在機(jī)動(dòng)時(shí)間t內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為v，v為確定性變量。

在上述假設(shè)條件下，海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)概略航向下位置散布的基本含義是：在初始位置散布服從系統(tǒng)誤差為零的正態(tài)圓分布（Circular Normal Distribution，CND）下，目標(biāo)以確定速度（Certain Speed，CS）和均勻概略航向（Approximate Course under Uniform Distribution，ACUD）機(jī)動(dòng)一段時(shí)間后引起的位置散布。該散布在本文中統(tǒng)稱為“CND-CSACUD散布”。

在CND-CS-ACUD散布中，目標(biāo)將以初始位置散布點(diǎn)為基準(zhǔn)，在［-ΔC/2，ΔC/2］內(nèi)任意方向機(jī)動(dòng)，如圖1（a）所示。這與目標(biāo)背離初始散布中心作徑向機(jī)動(dòng)是有區(qū)別的，如圖1（b）所示。以目標(biāo)背離初始散布中心作徑向機(jī)動(dòng)為假設(shè)條件［7-8］來建立CND-CS-ACUD散布模型將存在一定誤差。

圖1CND-CS-ACUD散布概念圖

1.2 目標(biāo)初始位置及航向散布概率密度

根據(jù)CND-CS-ACUD散布的基本內(nèi)涵，偵察預(yù)警兵力對海上目標(biāo)定位服從正態(tài)圓分布，定位系統(tǒng)誤差為零。以目標(biāo)定位點(diǎn)為原點(diǎn)建立OXY直角坐標(biāo)系，其中OX軸與航向分布范圍的角平分線平行且同向（即指向Cc方向），OY軸符合右手定則，如圖1所示。則目標(biāo)初始位置 M（xmb0，ymb0）的概率密度為［9］：

目標(biāo)航向角c服從均勻分布，其在ΔC范圍內(nèi)任何一個(gè)方向的概率密度是均等的，概率密度fc（c）如下式所示：

上式中的概率密度均位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定義的區(qū)間，當(dāng)c取其他值時(shí)概率密度為零。

定義目標(biāo)航向偏離主航向的角度為航向差角，記為α，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)，α∈［-ΔC/2，ΔC/2］。則：

由于航向角c服從均勻分布，根據(jù)上式，航向差角也服從均勻分布，其概率密度fα（α）為：

式中，α∈［-ΔC/2，ΔC/2］。

當(dāng)ΔC為2π時(shí)，上式變成了未知航向下的散布概率密度。

1.3 目標(biāo)機(jī)動(dòng)后的CND-CS-ACUD散布概率密度

CND-CS-ACUD散布中，目標(biāo)將以任意一個(gè)初始位置散布點(diǎn)為基準(zhǔn)，在［-ΔC/2，ΔC/2］內(nèi)任意方向機(jī)動(dòng)，如圖1所示。設(shè)目標(biāo)從初始散布位置M（xmb0，ymb0） 開始機(jī)動(dòng)，t時(shí)間后到達(dá)位置 P（xmb，ymb），則：

式中，α∈［-ΔC/2，ΔC/2］；d 為目標(biāo)機(jī)動(dòng)距離。

由上式可知，P（xmb，ymb）為二維隨機(jī)變量。結(jié)合式（5）和式（1），在目標(biāo)航向差角α與初始散布位置獨(dú)立時(shí)，則在給定 α 的條件下，位置點(diǎn) P（xmb，ymb）的條件概率密度［10］k（x，y|α）為：

由條件概率密度及隨機(jī)變量α的概率密度，可得隨機(jī)變量（xmb，ymb，α） 的聯(lián)合概率密度 k（x，y，α）為：

對 k（x，y，α）在 α 維度積分可得 P（xmb，ymb）的邊緣概率密度 g（x，y）為：

式中：x∈（-∞，+∞），y∈（-∞，+∞）。上式即為海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)均勻概略航向下的位置散布概率密度表達(dá)式，僅與σmz、ΔC、d 3個(gè)參數(shù)有關(guān)，給定任意x、y時(shí)，可求出概率密度的數(shù)值解。

假設(shè)散布圓圓心為（xk，yk），半徑為 R，則目標(biāo)落入該圓的概率為：

2 CND-CS-ACUD散布概率密度的性質(zhì)

性質(zhì)：對于任意的 x、y∈（-∞，+∞），有：g（x，y）=g（x，-y）。

證明：令f（α）=k（x，y，α），將x=rcosθ、y=rsinθ代入 k（x，y，α），可得：

顯然，f（α）可積。

企業(yè)重組業(yè)務(wù)不同于企業(yè)常規(guī)的經(jīng)營性業(yè)務(wù)，需要企業(yè)全體人員做好充分的準(zhǔn)備迎接企業(yè)重組帶來的困難和風(fēng)險(xiǎn)。稅務(wù)工作貫穿企業(yè)重組的全過程，實(shí)現(xiàn)稅務(wù)風(fēng)險(xiǎn)合理控制、進(jìn)行納稅籌劃、加強(qiáng)稅收管理具有一定的必要性。企業(yè)應(yīng)該在整體戰(zhàn)略目標(biāo)的指引下，設(shè)計(jì)科學(xué)合理的稅收籌劃方案，降低企業(yè)重組業(yè)務(wù)的稅務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，減少稅收負(fù)擔(dān)，推動(dòng)企業(yè)重組業(yè)務(wù)順利進(jìn)行，創(chuàng)造企業(yè)效益和社會(huì)效益的雙贏。

在圖1所示的OXY坐標(biāo)系下，設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于 ox軸對稱，A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（xa，ya），B 的坐標(biāo)為（xb，yb）。令 xa=rcosθ、ya=rsinθ，則 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 xb=rcos（-θ），yb=rsin（-θ）。將 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入f（α）中，可得：

A點(diǎn)的概率密度為：

令 α=t+θ，可得：

B點(diǎn)的概率密度為：

令 α=t-θ，可得：

令k（t）=f（t+θ），可得：

由于 k（t）=k（-t），可知 k（t）是偶函數(shù)。

考慮到k（t）是偶函數(shù)，上式的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)可變?yōu)椋?/p>

由于 A、B 關(guān)于 ox軸對稱，因此，有：g（x，y）=g（x，-y）。即 CND-CS-ACUD 散布在直角坐標(biāo)系下的概率密度關(guān)于航向分布范圍的角平分線對稱。

證畢。

3 仿真計(jì)算分析

計(jì)算條件：（a）偵察預(yù)警兵力對目標(biāo)定位均方差σmz=4 km；（b）目標(biāo)航向分布范圍ΔC分別為π/2、π/4、π/8、π/16，主航向角 Cc均為零；（c）目標(biāo)機(jī)動(dòng)距離d=20 km。計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2 CND-CS-ACUD散布概率密度

對數(shù)據(jù)及圖形特征進(jìn)行分析，有：

1）在直角坐標(biāo)系下，CND-CS-ACUD散布的概率密度均關(guān)于過航向分布范圍角平分線的垂面對稱，這從側(cè)面驗(yàn)證了前文所述性質(zhì)的正確性。

2）航向分布范圍ΔC對散布區(qū)域具有顯著的影響，ΔC越小，高概率密度區(qū)域越集中，目標(biāo)散布區(qū)域越小。如果能利用各種可能的先驗(yàn)知識(shí)及戰(zhàn)場態(tài)勢盡量縮小目標(biāo)航向分布范圍，可以大幅減小目標(biāo)散布區(qū)域。

3）CND-CS-ACUD散布的概率密度最大值可能有多個(gè)，但必有一個(gè)位于航向分布范圍角平分線（dud，0）處。dud的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 最大概率密度取值點(diǎn)計(jì)算結(jié)果（單位：km）

由表1可知，當(dāng)ΔC越小，dud越趨近于d，但始終小于 d。利用此結(jié)論，將坐標(biāo)由（d，0）向（0，0）方向滑動(dòng)，可通過程序快速求取最大概率密度的取值點(diǎn)。該取值點(diǎn)周邊區(qū)域目標(biāo)出現(xiàn)的可能性最大，因此，該點(diǎn)可作為反艦導(dǎo)彈的射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)。

4）散布區(qū)域可用圓形（當(dāng)ΔC較小時(shí)）或概率密度等值線外接矩形（當(dāng)ΔC較大時(shí)）來表征。為方便求解圓形或矩形散布區(qū)域，可將最大概率密度取值點(diǎn)作為圓心或矩形中心點(diǎn)，逐步向周邊擴(kuò)散，累加區(qū)域概率，直到概率達(dá)到給定要求時(shí)，停止計(jì)算，此時(shí)便可計(jì)算出給定概率下的散布區(qū)域。該區(qū)域就是目標(biāo)高概率出現(xiàn)區(qū)域，反艦導(dǎo)彈的末制導(dǎo)雷達(dá)搜索區(qū)應(yīng)重點(diǎn)覆蓋此區(qū)域。

以目標(biāo)落入散布圓概率99.00%作為依據(jù)，對CND-CS-ACUD散布在不同航向分布范圍下的散布圓半徑Rg計(jì)算結(jié)果如表2所示。顯然，該散布區(qū)域小于現(xiàn)在點(diǎn)射擊時(shí)以目標(biāo)指示點(diǎn)為圓心的散布圓Rq（目標(biāo)落入概率為99.00%時(shí)，將ΔC=2π代入式（9）解算得29.64 km），可大大減小末制導(dǎo)雷達(dá)的角度與距離搜索范圍，對隱蔽搜索、多目標(biāo)選擇極為有利。

表2 以（dud，0）為原點(diǎn)的散布圓半徑（單位：km）

4 結(jié)論

推導(dǎo)了初始位置服從正態(tài)圓分布、以確定速度和均勻概略航向機(jī)動(dòng)下的CND-CS-ACUD散布概率密度模型，研究該散布的性質(zhì)特征，得出以下結(jié)論：1）在直角坐標(biāo)系下，CND-CS-ACUD散布的概率密度關(guān)于過航向分布范圍角平分線的垂面對稱。利用此結(jié)論，可以將目標(biāo)落入對稱散布區(qū)域概率的積分計(jì)算量減少一半。2）CND-CS-ACUD散布的最大概率密度取值點(diǎn)必有一個(gè)位于航向分布范圍的角平分線上。取值點(diǎn)與原點(diǎn)的距離接近d，但始終小于d。在σmz、d相同的情況下，ΔC越小，取值點(diǎn)與原點(diǎn)的距離越逼近d。以d作為起始點(diǎn)，可通過程序快速求取該取值點(diǎn)。3）最大概率密度取值點(diǎn)可作為反艦導(dǎo)彈的射擊瞄準(zhǔn)點(diǎn)，以該取值點(diǎn)為中心的目標(biāo)高概率散布區(qū)域可作為反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)雷達(dá)角度、距離搜索范圍計(jì)算的依據(jù)。4）對CND-CS-ACUD散布概率密度進(jìn)行積分，可獲取目標(biāo)落入給定區(qū)域概率。如果給定區(qū)域?yàn)榉磁瀸?dǎo)彈的搜捕區(qū)域，則計(jì)算出來的是反艦導(dǎo)彈的搜捕概率。由此可見，該散布模型在反艦導(dǎo)彈搜捕概率解析計(jì)算方面具有重要應(yīng)用價(jià)值。5）利用隨機(jī)變量的互不相關(guān)性，基于條件概率密度方法可以建立不同初始位置散布、航向散布、速度散布組合情況下的復(fù)雜散布概率密度模型。該方法在構(gòu)建多維隨機(jī)變量概率密度模型方面十分有效。

CND-CS-ACUD散布模型不僅可用于反艦導(dǎo)彈目標(biāo)搜捕決策方面，也可推廣到航空搜潛、偵察衛(wèi)星引導(dǎo)無人機(jī)對海搜索區(qū)域規(guī)劃等領(lǐng)域，具有較為廣泛的應(yīng)用前景。下一步將基于CND-CS-ACUD散布規(guī)律研究目標(biāo)航速變化情況下的穩(wěn)妥散布區(qū)計(jì)算方法。

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