鋼拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)地震反應(yīng)分析的改進模態(tài)組合系數(shù)法

黃青隆 羅永峰 相 陽 朱釗辰

(同濟大學土木工程學院， 上海 200092)

在面外荷載作用下，典型大跨度屋蓋拱結(jié)構(gòu)的面外變形或面外剛度?？赏ㄟ^設(shè)置側(cè)向支撐進行約束或加強.但在面內(nèi)荷載作用下，受大跨度影響，結(jié)構(gòu)面內(nèi)水平變形和豎向變形相互耦聯(lián)，構(gòu)件的軸向內(nèi)力對其彎曲變形產(chǎn)生二次效應(yīng)(即幾何非線性效應(yīng)[1])，當結(jié)構(gòu)進入塑性變形時，結(jié)構(gòu)的非線性效應(yīng)愈加顯著.因此，在地震作用下，結(jié)構(gòu)平面內(nèi)地震反應(yīng)非常復(fù)雜.如何合理便捷地計算鋼拱結(jié)構(gòu)的平面內(nèi)地震反應(yīng)是這類結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計和抗震性能評估的關(guān)鍵問題之一.

采用時程分析法(RHA)計算拱結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)直接準確，但計算量大、耗時較多.靜力推覆分析[2-3]是另一種常用分析方法.Xiang等[4]從能量角度提出了拓展的模態(tài)推覆方法，采用整體剛度參數(shù)[5]表征結(jié)構(gòu)剛度變化，適用于評估單階振型主導的大跨度拱形結(jié)構(gòu)面內(nèi)地震響應(yīng)，但當結(jié)構(gòu)響應(yīng)不由單一振型主導時，該方法可能產(chǎn)生較大誤差.

在推覆分析中，組合多階振型響應(yīng)方法可分為2種：① 按各階振型荷載模式依次推覆分析，然后采用傳統(tǒng)的SRSS或CQC準則組合得到最終結(jié)果[6]；② 將各振型荷載向量按模態(tài)組合系數(shù)(FMC)準則進行矢量疊加，然后進行推覆分析[7-9].對于鋼拱結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的振型組合方法忽略了振型響應(yīng)的方向正負[9]，導致計算結(jié)果與實際變形形狀差異較大.同時，單階模態(tài)推覆無法考慮其他振型變形對當前結(jié)構(gòu)剛度的影響.當控制振型較多時，多次模態(tài)推覆也將導致較大的工作量.第2種方法的優(yōu)勢在于，可以考慮振型響應(yīng)的正負方向和各階振型的影響，操作簡便，但由于各振型響應(yīng)方向和控制振型的不確定性，按該方法構(gòu)造的組合荷載模式數(shù)量較多，從而降低了方法效率.

鑒于此，本文提出了一種改進的模態(tài)組合系數(shù)法，用于計算大跨度拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)地震反應(yīng).定義了非線性剛度比，用以表征幾何非線性效應(yīng)對結(jié)構(gòu)初始頻率的影響；設(shè)置閾值β用于選取控制振型，并構(gòu)造基于控制振型的組合荷載模式；采用組合荷載模式進行推覆分析，得到結(jié)構(gòu)地震反應(yīng).應(yīng)用所提方法計算了2個鋼拱結(jié)構(gòu)模型的面內(nèi)地震反應(yīng)，將結(jié)果與非線性時程分析結(jié)果進行對比，從而驗證了所提方法的有效性.

1 組合荷載模式

1.1 等效靜力荷載

地震作用下結(jié)構(gòu)任意時刻的位移向量為

u=q1φ1+…+qiφi

(1)

(2)

式中，u為結(jié)構(gòu)位移向量；qi為第i階振型坐標；φi為第i階振型向量；M為質(zhì)量矩陣.

位移向量u對應(yīng)的等效靜力荷載F為

(3)

式中，ωi為第i階結(jié)構(gòu)圓頻率.

若能預(yù)測在地震作用下結(jié)構(gòu)位移峰值時刻的等效靜力荷載分布F，則可由靜力非線性分析得到結(jié)構(gòu)整體變形.由式(3)可知，已知結(jié)構(gòu)頻率和振型向量時，等效靜力荷載分布取決于各階振型坐標.

1.2 模態(tài)組合系數(shù)

Park等[9]提出的模態(tài)組合系數(shù)法借助模態(tài)組合系數(shù)Ri，給出了振型坐標qi的估計方式.結(jié)構(gòu)某反應(yīng)量r0可表示為各振型反應(yīng)貢獻相加或相減，即

r0=R1r10±R2r20±…±Riri0

(4)

式中，ri0為第i階振型峰值反應(yīng)量；Ri為第i階模態(tài)組合系數(shù)，0≤Ri≤1，反映了第i階振型的實際反應(yīng)量占峰值反應(yīng)量的百分數(shù).

基于峰值位移時刻的模態(tài)組合系數(shù)表達式為

(5)

式中，qi為最大位移時刻第i階振型坐標；Γi為第i階振型參與系數(shù)；Sd,i為第i階振型頻率的位移反應(yīng)譜譜值.

文獻[9]基于某多高層結(jié)構(gòu)大量時程分析的計算結(jié)果，得出當?shù)趎階振型主導時，模態(tài)組合系數(shù)取值為

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

變換主導振型階數(shù)和各階振型坐標的符號，由式(6)可得多組模態(tài)組合系數(shù)，代入式(5)可估計各階振型坐標，進而根據(jù)式(3)生成對應(yīng)組合荷載模式.依次采用各荷載模式對結(jié)構(gòu)進行推覆分析，將結(jié)果包絡(luò)值作為最終結(jié)果.

對于控制振型較多的結(jié)構(gòu)，F(xiàn)MC法將導致數(shù)量較多的荷載模式，降低求解效率；對于控制振型單一的結(jié)構(gòu)，該組合方式稍顯冗余.式(6)中模態(tài)組合系數(shù)取值的依據(jù)為多高層結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬結(jié)果，對于與多高層結(jié)構(gòu)振型特征不同的大跨度拱結(jié)構(gòu)，該取值是否適用有待驗證.對于拱結(jié)構(gòu)中參與系數(shù)為0的振型，式(5)理論上不成立.因此，應(yīng)進一步研究拱結(jié)構(gòu)的組合荷載模式數(shù)量和模態(tài)組合系數(shù)取值.

2 振型坐標峰值預(yù)測

結(jié)構(gòu)的等效靜力荷載取決于振型坐標估計.將式(5)改寫為

qi=RiΓiSd,i

(7)

若能確定模態(tài)組合系數(shù)Ri和振型坐標峰值ΓiSd,i，即可預(yù)測振型坐標值.對于拱形結(jié)構(gòu)，受幾何非線性效應(yīng)的影響，振型坐標峰值需進行修正，模態(tài)組合系數(shù)亦需重新確定.

2.1 非線性剛度比

對于圖1(a)所示的單自由度體系，結(jié)構(gòu)初始彈性剛度和線性頻率分別為K1,l和ω1,l.不考慮幾何非線性效應(yīng)，當單位力F作用于質(zhì)點時，質(zhì)點將產(chǎn)生位移d1,l，此時體系剛度和頻率的關(guān)系如下：

(8)

(9)

式中，Meq為體系等效質(zhì)量.

(a) 考慮幾何非線性體系

(b) 等效線性體系圖1 幾何非線性效應(yīng)對結(jié)構(gòu)頻率的影響

實際上，在幾何非線性效應(yīng)影響下，質(zhì)點將產(chǎn)生附加位移d1,nl.幾何非線性削弱結(jié)構(gòu)剛度時，該值為正；反之則為負.計入幾何非線性效應(yīng)的單自由度體系可等效為圖1(b)所示的線性體系.單位力作用下，體系的質(zhì)點位移為d2,l，體系的剛度和頻率分別為

(10)

(11)

由式(11)可知，幾何非線性效應(yīng)顯著時，其對結(jié)構(gòu)頻率的影響不可忽略.定義非線性剛度比為

(12)

式中，K1,l和K2,l分別為結(jié)構(gòu)初始剛度和計入幾何非線性效應(yīng)的結(jié)構(gòu)剛度.

對于鋼拱結(jié)構(gòu)，幾何非線性效應(yīng)將削弱結(jié)構(gòu)剛度.因此，非線性剛度比αk的取值范圍為[0,1]，反映了幾何非線性效應(yīng)的影響.由式(12)可得

(13)

式(13)表明，可由非線性剛度比和僅考慮初始剛度的線性頻率得到考慮幾何非線性效應(yīng)的頻率.

對于多自由度體系，可采用單位模態(tài)荷載作用下的整體剛度參數(shù)keq衡量各階模態(tài)荷載作用下的結(jié)構(gòu)剛度變化.第i階單位模態(tài)荷載向量Funit,i=Mφi產(chǎn)生位移向量Δd時，對應(yīng)于第i階模態(tài)的整體剛度參數(shù)可表示為

(14)

根據(jù)式(14)，計算結(jié)構(gòu)考慮幾何非線性和不考慮幾何非線性2種情況下的整體剛度參數(shù)，得到非線性剛度比.將其代入式(13)，即可得到由非線性剛度比修正的結(jié)構(gòu)頻率.

由此可知，幾何非線性效應(yīng)將影響結(jié)構(gòu)特性，而一般的結(jié)構(gòu)頻率求解方法僅考慮結(jié)構(gòu)初始彈性剛度，不能獲得準確的結(jié)果.因此，計算該類結(jié)構(gòu)頻率時，應(yīng)考慮幾何非線性效應(yīng)的影響.本文采用非線性剛度比αk修正結(jié)構(gòu)初始線性頻率，進而得到考慮幾何非線性效應(yīng)的結(jié)構(gòu)初始頻率.

2.2 振型坐標峰值修正

3 改進模態(tài)組合系數(shù)

3.1 控制振型

結(jié)構(gòu)振型周期Ti的位移反應(yīng)譜譜值關(guān)于振型階數(shù)i的變化規(guī)律為

(15)

將各階振型按質(zhì)量矩陣正則化后，各階振型參與系數(shù)Γi存在最大/小值，則振型坐標峰值ri0關(guān)于振型階數(shù)i的變化規(guī)律為

(16)

式中，ri0為第i階振型坐標峰值.

由式(16)可知，高階振型和參與系數(shù)接近于0的振型的坐標峰值較小，其對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)貢獻較小，故可根據(jù)下式選取結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)貢獻較大的振型：

(17)

式中，β為閾值.坐標峰值與各階坐標峰值最大值之比大于等于β的振型，可選為控制振型.閾值β的大小可按不同計算精度要求選取.

3.2 改進模態(tài)組合系數(shù)的取值

為驗證FMC法的取值規(guī)則對峰值調(diào)整后振型坐標的適用性，本節(jié)選取40條地震動輸入(峰值加速度Ag調(diào)幅為0.3g)對矢跨比為1/5的實腹拱進行時程分析，按式(5)計算各地震動輸入下結(jié)構(gòu)位移峰值響應(yīng)時刻前10階模態(tài)組合系數(shù)向量Rk={Rk1,Rki,…,Rk10}T，其中k為地震動序號.對于振型參與系數(shù)為0的振型，模態(tài)組合系數(shù)R取0.

(18a)

(18b)

圖2給出了第1,3階振型主導時各階模態(tài)組合系數(shù)的平均值與FMC法計算結(jié)果的區(qū)別.為充分考慮各振型的貢獻，采用β=0.01選取控制振型.

由圖2可知，β=0.01時，算例中僅有第1，3，5階振型保留.由于存在振型參與系數(shù)為0的振型，鋼拱結(jié)構(gòu)的模態(tài)組合系數(shù)分布呈現(xiàn)鋸齒狀.在第n階振型主導響應(yīng)時，對于第m階振型參與系數(shù)非零的振型，其模態(tài)組合系數(shù)規(guī)律為：當m=n時，F(xiàn)MC準則取值與該階模態(tài)組合系數(shù)平均值接近；當m>n時，F(xiàn)MC準則取值大于該階模態(tài)組合系數(shù)平均值；當m

(a) 第1階振型主導(36條時程)

(b) 第3階振型主導(4條時程)圖2 不同振型主導下的模態(tài)組合系數(shù)分布

因此，本文將計算鋼拱結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的模態(tài)組合系數(shù)取值進行調(diào)整.當?shù)趎階振型為主導振型時，根據(jù)β值選取控制振型.非控制振型的模態(tài)組合系數(shù)取0.若第m階振型為控制振型，當m≥n時，模態(tài)組合系數(shù)按式(6)取值；當m

(19)

式中，T為基本周期；σ2=0.22.參數(shù)a的取值規(guī)則為：將階數(shù)小于n的控制振型按階數(shù)降序排列，若m處于第1位，a=0.5；若m處于第2位，a=0.4；若m處于第3位及以上，a=0.3.改進后的取值結(jié)果見圖2.由圖可知，與FMC法結(jié)果相比，改進的取值結(jié)果更貼近于平均值結(jié)果.

4 算例分析

4.1 結(jié)構(gòu)模型與地震波

為驗證本文方法的有效性，建立了2個實腹鋼拱模型(見圖3).2個模型均為跨度20 m的圓弧拱，矢跨比分別為1/4和1/5，依次編號為S20R4和S20R5.桿件采用圓鋼管，鋼管截面參數(shù)見表1.節(jié)點編號和桿件編號見圖3.

(a) 算例模型S20R4

(b) 算例模型S20R5圖3 模型結(jié)構(gòu)布置

表1 桿件截面參數(shù) mm

模型采用通用有限元軟件ANSYS建模分析，桿件采用梁單元beam189模擬，桿件截面設(shè)置16個角柵點.采用質(zhì)量單元mass21模擬集中質(zhì)量.結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量由結(jié)構(gòu)承受荷載標準值換算得到，集中質(zhì)量分布于結(jié)構(gòu)除支座外所有桿件節(jié)點處，S20R4和S20R5中每個集中質(zhì)量分別為0.255和0.306 t.模型支座設(shè)置于跨度端部節(jié)點(見圖3)，每個支座約束節(jié)點的x，y向平動自由度，所有節(jié)點均約束面外自由度.

模型有限元分析中計入結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性效應(yīng).鋼材密度為7 850 kg/m3，材料性能采用文獻[27]中Q235鋼材的實驗結(jié)果，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線參見文獻[27].

本文選取24條地震波進行分析，其中5條記錄于Ⅰ類場地，11條記錄于Ⅱ類場地，6條記錄于Ⅲ類場地，2條記錄于Ⅳ類場地.原始地震波參數(shù)見表2.各地震波按阻尼比為0.02繪制偽加速度反應(yīng)譜，結(jié)果見圖4.為比較模型彈塑性變形的影響，將地震波峰值加速度Ag調(diào)幅為0.3g和0.7g.

表2 地震波信息表

(a) Ⅰ，Ⅱ類場地

(b) Ⅲ，Ⅳ類場地圖4 原始地震波偽加速度反應(yīng)譜

4.2 組合荷載模式構(gòu)造

4.2.1 模態(tài)分析

采用瑞雷阻尼模型，考慮結(jié)構(gòu)阻尼比，將x向振型參與系數(shù)最大的前2階振型阻尼比ξ設(shè)置為0.02.模態(tài)分析中僅考慮結(jié)構(gòu)初始彈性剛度.2個模型前30階振型的x向質(zhì)量參與系數(shù)累積值均達到0.90，滿足規(guī)范要求.表3列出了模型前30階振型中x向質(zhì)量參與系數(shù)最大的前3階模態(tài)結(jié)果.

表3 模態(tài)結(jié)果

4.2.2 頻率修正

根據(jù)單位振型荷載進行結(jié)構(gòu)推覆分析，按式(12)計算模型各階振型非線性剛度比，第1，3階振型的非線性剛度比和相應(yīng)修正頻率見表4.采用有限元軟件ANSYS中的線性攝動分析法求解重力作用下考慮幾何非線性效應(yīng)的結(jié)構(gòu)實際頻率，并與修正頻率進行對比.由表可知，經(jīng)非線性剛度比修正的頻率與ANSYS結(jié)果基本吻合，表明該方法準確有效.

表4 結(jié)構(gòu)頻率結(jié)果對比 rad

4.2.3 振型坐標峰值調(diào)整

采用選取的地震波對算例進行時程分析(Ag=0.3g).通過比較振型坐標峰值調(diào)整前后結(jié)構(gòu)位移峰值時刻的模態(tài)組合系數(shù)是否小于1來判定方法的有效性.模態(tài)組合系數(shù)按式(5)計算.

選取各模型經(jīng)頻率修正的第1，3階振型，峰值調(diào)整前后的模態(tài)組合系數(shù)分布見圖5.由圖可知，對于不同的地震動輸入，該調(diào)整方法呈現(xiàn)了良好的穩(wěn)定性，調(diào)整后的峰值滿足各地震動下的結(jié)構(gòu)振型坐標響應(yīng)要求.在計算結(jié)果中，僅S20R4模型中存在一例模態(tài)組合系數(shù)R3=1.09的情況，這是因為在該地震波作用下結(jié)構(gòu)部分構(gòu)件進入彈塑性所致.

(a) S20R4

(b) S20R5圖5 模型模態(tài)組合系數(shù)R1和R3分布對比

4.2.4 組合荷載模式

根據(jù)式(17)，采用β=0.1選取控制振型.按式(3)構(gòu)造基于控制振型的組合荷載模式.經(jīng)計算，各算例的控制振型均為2個振型，則組合荷載模式為

(20)

4.3 結(jié)果對比

采用本文方法、非線性時程分析(RHA)和FMC方法計算各拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)地震反應(yīng)，其中本文方法和FMC法均采用相同階數(shù)振型的荷載模式計算.

根據(jù)時程分析結(jié)果，當Ag=0.3g時，各有2條地震波導致S20R4和S20R5結(jié)構(gòu)破壞；當Ag=0.7g時， 8條地震波導致S20R4破壞，4條地震波導致S20R5破壞.本文方法計算結(jié)果與此結(jié)果相同，但FMC方法預(yù)測的結(jié)構(gòu)破壞情況更多.

對于結(jié)構(gòu)未破壞的情況，提取由本文方法和FMC法得到的結(jié)構(gòu)位移最大值、各點位移均值、桿件最大應(yīng)力和各桿件應(yīng)力均值，與RHA相應(yīng)結(jié)果進行對比，驗證本文方法的有效性.

4.3.1 結(jié)構(gòu)位移

由推覆分析得到的結(jié)構(gòu)x向和y向峰值位移與相應(yīng)時程分析結(jié)果的對比見圖6.由圖可知，由于考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性效應(yīng)，本文方法得到的位移峰值結(jié)果比FMC法準確.本文方法的x向峰值位移誤差大部分處于[-10%,10%]區(qū)間內(nèi)，y向峰值位移誤差處于[-20%,10%]區(qū)間內(nèi).

(a) S20R4(x向)

(b) S20R4(y向)

(c) S20R5(x向)

(d) S20R5(y向)

圖6 峰值位移對比

結(jié)構(gòu)峰值位移相對誤差統(tǒng)計見表5.由表可知，當Ag=0.3g時，S20R4和S20R5的x向峰值位移平均誤差分別為2.7%和-7.2%，y向峰值位移平均誤差分別為-6.5%和5.8%.隨著Ag的增加，S20R4的平均誤差保持穩(wěn)定，S20R5的平均誤差稍有增加，但誤差分布范圍仍保持穩(wěn)定，表明本文方法計算結(jié)果與RHA峰值位移均值比較接近.而FMC法高估了結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，導致結(jié)果誤差離散性較大.

表5 位移峰值相對誤差統(tǒng)計 %

3種方法得到的結(jié)構(gòu)節(jié)點位移均值見圖7.由圖可知，在不同強度的地震作用下，相比FMC法結(jié)果，本文方法的各節(jié)點位移均值與RHA結(jié)果更為接近，F(xiàn)MC法總體上高估了各節(jié)點的平均位移水平.

(a) S20R4(Ag=0.3g)

(b) S20R4(Ag=0.7g)

(c) S20R5(Ag=0.3g)

(d) S20R5(Ag=0.7g)

圖7 位移結(jié)果均值

4.3.2 桿件應(yīng)力

按第四強度理論計算結(jié)構(gòu)各桿件截面上16個角柵點的應(yīng)力值，取桿件各截面角柵點中應(yīng)力最大值作為該桿件的應(yīng)力值，將所有桿件應(yīng)力的最大值作為結(jié)構(gòu)的峰值應(yīng)力.

以時程分析結(jié)果為基準，由本文方法和FMC法得到的各地震動輸入下模型峰值應(yīng)力相對誤差統(tǒng)計見表6.由表可知，采用本文方法計算時，模型S20R4和S20R5的桿件峰值應(yīng)力平均誤差分別為-5.0%和-4.3%，隨Ag增加，平均誤差保持穩(wěn)定.FMC法得到的結(jié)果誤差離散性較大.

表6 應(yīng)力峰值誤差統(tǒng)計 %

各模型的桿件平均應(yīng)力分布見圖8.由圖可知，與FMC法相比，本文方法的平均應(yīng)力結(jié)果與時程分析結(jié)果更接近，但兩者仍有差異.當Ag=0.3g時，本文方法的支座附近桿件結(jié)果與時程分析結(jié)果較接近，但低估了跨中桿件平均應(yīng)力；當Ag=0.7g時，本文方法的跨中桿件結(jié)果與時程分析結(jié)果較為接近，但高估了支座附近桿件的平均應(yīng)力.由此可知，按照本文方法可高效選取對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)貢獻大的振型，其產(chǎn)生的內(nèi)力反映了結(jié)構(gòu)內(nèi)力中的回復(fù)力項；但該方法未考慮可能對慣性力項貢獻較大的振型，導致結(jié)果出現(xiàn)局部偏差.

(a) S20R4(Ag=0.3g)

(b) S20R4(Ag =0.7g)

(c) S20R5 (Ag =0.3g)

(d) S20R5(Ag =0.7g)

圖8 桿件平均應(yīng)力分布

5 結(jié)論

1) 非線性剛度比αk可以表征幾何非線性效應(yīng)對結(jié)構(gòu)初始頻率的影響.

2) 采用本文方法計算得到的峰值位移、各點平均位移和結(jié)構(gòu)峰值應(yīng)力結(jié)果與時程分析結(jié)果較為一致，未考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性的FMC法計算結(jié)果與RHA結(jié)果誤差離散性較大.

3) 本文采用閾值β選取控制振型，縮減組合荷載模式的數(shù)量，并保持較好的位移預(yù)測結(jié)果，提高了計算效率.但該方法未考慮可能對慣性力項貢獻較大的振型，導致平均應(yīng)力結(jié)果存在局部偏差.

參考文獻(References)

[1] 羅永峰,韓慶華,李海旺. 建筑鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與應(yīng)用[M]. 北京: 人民交通出版社, 2010:58-59.

[2] 相陽,羅永峰,郭小農(nóng),等. 空間結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)分析的簡化模型與方法[J]. 東南大學學報(自然科學版),2015,45(4):750-755. DOI: 10.3969/j.issn.1001-0505.2015.04.024.

Xiang Yang, Luo Yongfeng, Guo Xiaonong,et al. Simplified model and procedure for elasto-plastic seismic response analysis of spatial structure [J].JournalofSoutheastUniversity(NaturalScienceEdition),2015,45(4):750-755. DOI: 10.3969/j.issn.1001-0505.2015.04.024. (in Chinese)

[3] Chopra A K,Goel R K. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings[J].EarthquakeEngineering&StructuralDynamics, 2002,31(3): 561-582. DOI:10.1002/eqe.144.

[4] Xiang Y,Luo Y F, Shen Z Y. An extended modal pushover procedure for estimating the in-plane seismic responses of latticed arches[J].SoilDynamicsandEarthquakeEngineering, 2017,93: 42-60. DOI:10.1016/j.soildyn.2016.12.005.

[5] 相陽,羅永峰,郭小農(nóng),等. 基于整體剛度參數(shù)的空間結(jié)構(gòu)模態(tài)推覆分析[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2015, 43(12): 1771-1776. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2015.12.001.

Xiang yang, Luo Yongfeng, Guo Xiaonong, et al. Modal pushover analysis of spatial structures based on the overall structural stiffness parameter[J].JournalofTongjiUnversity(NaturalScienceEdition), 2015,43(12): 1771-1776. DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2015.12.001. (in Chinese)

[6] Chopra A K,Goel R K, Chinatanapakdee C. Evaluation of a modified MPA procedure assuming higher modes as elastic to estimate seismic demands [J].EarthquakeSpectra, 2004,20(3): 757-778.

[7] Kunnath S K. Identification of modal combinations for nonlinear static analysis of building structures[J].Computer-AidedCivilandInfrastructureEngineering, 2004,19(4): 246-259. DOI:10.1111/j.1467-8667.2004.00352.x.

[8] Abbasnia R, Davoudi A T, Maddah M M. An adaptive pushover procedure based on effective modal mass combination rule[J].EngineeringStructures, 2013,52: 654-666. DOI:10.1016/j.engstruct.2013.03.029.

[9] Park H G,Eom T, Lee H. Factored modal combination for evaluation of earthquake load profiles[J].JournalofStructuralEngineering, 2007,133(7): 956-968. DOI:10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:7(956).

[10] Shi Y, Wang M, Wang Y. Experimental and constitutive model study of structural steel under cyclic loading[J].JournalofConstructionalSteelResearch, 2011,67(8): 1185-1197. DOI:10.1016/j.jcsr.2011.02.011.