二分網(wǎng)絡(luò)中多步物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法的逼近分析

周海平，沈士根，黃龍軍

(紹興文理學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與工程系 浙江 紹興 312000)

互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的進(jìn)步和電子商務(wù)的發(fā)展給人類的生活帶來了極大的便利。當(dāng)前，人們足不出戶就可以購買到各式各樣的商品。人們在享受互聯(lián)網(wǎng)帶來的便利的同時也面臨著一項嚴(yán)峻挑戰(zhàn)—信息過載。如何從浩如煙海的商品信息中找到自己真正需要的內(nèi)容是一個充滿挑戰(zhàn)的課題。個性化推薦系統(tǒng)是解決信息過載的重要工具，由于推薦系統(tǒng)能極大地提高人們的購物效率并改善用戶的購物體驗，因此，近年來有關(guān)推薦算法的研究受到了廣大學(xué)者的高度關(guān)注[1-3]。傳統(tǒng)的推薦算法有協(xié)同過濾推薦算法[4-6]、基于內(nèi)容的推薦算法[7-8]、基于上下文的推薦算法[9-11]以及基于混合推薦算法[12-14]。近年來，一些學(xué)者將物理系統(tǒng)中的擴(kuò)散動力學(xué)過程引入推薦算法，并得到了很好的推薦效果[15-16]，其中最受關(guān)注的一個算法為物質(zhì)擴(kuò)散算法[16]，該算法根據(jù)用戶和物品之間的購買關(guān)系生成一個“用戶-物品”二分網(wǎng)絡(luò)，然后在某個目標(biāo)用戶購買過的物品節(jié)點上放置一定的資源，這些資源首先從物品節(jié)點均勻地擴(kuò)散到所有與其相連的用戶節(jié)點，然后以同樣的方式從用戶節(jié)點均勻地擴(kuò)散到物品節(jié)點，最后就可以根據(jù)物品節(jié)點上資源的多少來實現(xiàn)推薦(即把獲得資源多的物品推薦給目標(biāo)用戶)。該算法由于其思路巧妙、準(zhǔn)確率高且容易實現(xiàn)等優(yōu)點引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。之后人們在該算法的基礎(chǔ)上做了許多改進(jìn)，例如文獻(xiàn)[17-18]通過對初始資源的分布策略進(jìn)行優(yōu)化，提高了推薦的準(zhǔn)確率，文獻(xiàn)[19]將物質(zhì)擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)兩個過程混合起來，從而提高了推薦的多樣性，文獻(xiàn)[20]根據(jù)實際情況在物質(zhì)擴(kuò)散過程中考慮了非均勻擴(kuò)散的情況。

盡管人們已經(jīng)對基于二分網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散推薦算法做了大量的研究，但是以往的研究幾乎都只考慮兩步擴(kuò)散過程，而對多步擴(kuò)散算法的研究和分析少有涉及。基于此，本文將從理論上對二分網(wǎng)絡(luò)中的多步擴(kuò)散過程進(jìn)行分析，并揭示擴(kuò)散步數(shù)趨于無窮時算法的特點。論文結(jié)構(gòu)安排如下：首先對二分網(wǎng)絡(luò)中的兩步物質(zhì)擴(kuò)散算法進(jìn)行分析，然后提出多步物質(zhì)擴(kuò)散模型，對擴(kuò)散步數(shù)趨于無窮時模型的特點進(jìn)行逼近分析并給出相關(guān)證明，最后對多步物質(zhì)擴(kuò)散的推薦算法的特點進(jìn)行討論，并通過實例對理論分析結(jié)果進(jìn)行驗證。

1 二分網(wǎng)絡(luò)上的物質(zhì)擴(kuò)散算法

給定一個網(wǎng)絡(luò)G(U,O,E)，其中U和O分別表示兩種不同類型的節(jié)點集合，E表示U與O之間的連邊的集合，當(dāng)邊只存在于不同類型的節(jié)點之間時，這種網(wǎng)絡(luò)被稱為二分網(wǎng)絡(luò)。現(xiàn)實生活中存在很多二分網(wǎng)絡(luò)的例子，如作者與論文之間的發(fā)表關(guān)系、用戶與商品之間的購買關(guān)系等都屬于二分網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)圖1表示的是用戶與商品之間的購買關(guān)系，如果要對某個用戶推薦商品，最容易想到的一種辦法就是先看一下該用戶曾經(jīng)購買過什么商品，然后給他推薦與其購買過的商品最相似的物品，由于二分網(wǎng)絡(luò)只記錄了用戶與商品之間的關(guān)系，而沒有記錄商品與商品之間的相似關(guān)系，因此需要對用戶與商品之間的關(guān)系進(jìn)行投影，從而得到商品與商品之間的相似關(guān)系。最簡單的一種投影方式就是判斷兩件不同的商品是否有被同一用戶購買，如果存在共同的購買者，則說明這兩件商品之間存在一定的相似度，在對應(yīng)的投影網(wǎng)絡(luò)中這兩件商品之間便產(chǎn)生一條連邊。例如，對圖中所示的二分網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行投影后便得到商品相似關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，如果投影網(wǎng)絡(luò)中兩個商品之間存在連邊，則說明這兩個商品是相似的。接下來就可以利用商品相似關(guān)系網(wǎng)絡(luò)對用戶進(jìn)行商品推薦。例如，由圖1得知用戶u1購買了商品o1和o2，又根據(jù)投影網(wǎng)絡(luò)可知商品o4同商品o1、o2都相似，因此可以把商品o4推薦給用戶u1。

圖1 二分網(wǎng)絡(luò)及其投影

前面的投影方法得到的投影網(wǎng)絡(luò)是一個無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)只反映了兩用戶之間是否存在相似性，卻無法刻畫相似程度的大小。基于此，文獻(xiàn)[16]提出了一個物質(zhì)擴(kuò)散算法來改進(jìn)這種投影存在的缺陷。其方法描述如下：在二分網(wǎng)絡(luò)中選擇一個商品節(jié)點β，在該節(jié)點上放置1個單位的資源，該資源先從β節(jié)點以均分的方式擴(kuò)散到與其相連的用戶節(jié)點，然后再以同樣的方式從用戶節(jié)點擴(kuò)散到商品節(jié)點，此時商品節(jié)點上資源的數(shù)量就代表了其與β節(jié)點的相似程度。如圖2所示，如果最初在物品節(jié)點o1上放置1單位的資源，經(jīng)過兩步擴(kuò)散后，o1,o2,o3,o4上的資源分別是5/12,5/12,0,1/6。

圖2 二分網(wǎng)絡(luò)中的物質(zhì)擴(kuò)散過程示意圖

該擴(kuò)散過程的資源分配方式可以表示為：

式中，kβ表示購買了商品β的用戶數(shù)；ki表示用戶i購買過的商品種數(shù)；用矩陣A記錄用戶與商品之間的購買關(guān)系，其元素aiα表示用戶i是否購買了商品α，如果購買了其值為1，否則其值為0；wαβ為從β擴(kuò)散到α的資源數(shù)量，表示購買了β的用戶還會購買α的概率，值得注意的是wαβ≠wβα，也就是說兩個商品之間相互推薦的權(quán)重是不一樣的。

利用該方法可以計算出任意兩個商品之間的相似性，并由此生成一個有向含權(quán)投影網(wǎng)絡(luò)，與該網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的是一個擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣W，W中的每一個元素wαβ表示資源從β節(jié)點擴(kuò)散到α節(jié)點的數(shù)量，代表購買了商品β的用戶還會購買商品α的概率。將這種方法對圖2所示的二分網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行投影后，得到圖3所示的有向含權(quán)投影網(wǎng)絡(luò)，該投影網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣W為：

圖3 基于物質(zhì)擴(kuò)散方法得到的投影網(wǎng)絡(luò)

如果用向量fi=[fi1,fi2,… ,fin]T表示用戶i的購買歷史，其中fiα= 1表示用戶i購買了商品α，fiα=0表示其沒購買該商品，可以計算用戶購買其他商品的相對概率：

例如，對于圖2所示的二分網(wǎng)絡(luò)來說，已知用戶u1購買了商品o1和o2，則有：

由于用戶1已經(jīng)購買了商品1和商品2，所以不必再推薦這兩個商品，因此只要對其它商品按得分降序排列就可以得到推薦列表，這個計算過程反映在投影網(wǎng)絡(luò)中其實就是資源做一步擴(kuò)散的過程。對于用戶1來說，在圖3中將節(jié)點1和節(jié)點2分別放置1單位的資源，這些資源根據(jù)邊的權(quán)重和方向進(jìn)行擴(kuò)散，擴(kuò)散一步之后每個節(jié)點獲得的總資源數(shù)就對應(yīng)著用戶1將會購買該商品的相對概率。二分網(wǎng)絡(luò)中物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法的步驟。

輸入：用戶-物品購買關(guān)系數(shù)據(jù)集。

步驟1)：由輸入的數(shù)據(jù)集生成購買關(guān)系矩陣A，其元素aiα的值表示用戶i是否購買過物品α。

步驟2)：由矩陣A統(tǒng)計出每個用戶購買過的物品數(shù)以及每種物品被多少個用戶購買過。

步驟3)：由式(1)計算出任意兩個物品之間的相似度w，得到擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣W。

步驟4)：利用式(3)計算用戶購買每件物品的相對概率。

步驟5)：根據(jù)步驟4)中的計算結(jié)果對物品進(jìn)行降序排列，并去除用戶已經(jīng)購買過的物品。

輸出：每個用戶的物品推薦列表。

物質(zhì)擴(kuò)散投影方法克服了簡單投影方法的兩個缺點：1) 該方法考慮了商品之間連邊的權(quán)重，兩個商品擁有的共同用戶越多，其相似性就越大；2) 從式(1)可以看出，如果kα＞kβ，則wαβ＞wβα，這說明購買了冷門商品的用戶再購買熱門商品的概率要大于購買了熱門商品再購買冷門商品的概率，這一點也是與實際情況一致的。正因如此，物質(zhì)擴(kuò)散算法與很多傳統(tǒng)算法相比具有明顯的優(yōu)勢。

2 多步物質(zhì)擴(kuò)散的逼近分析

從前面的分析可知，利用物質(zhì)在二分網(wǎng)絡(luò)中的兩步擴(kuò)散過程可以實現(xiàn)商品的推薦，既然二分網(wǎng)絡(luò)中的兩步擴(kuò)散可以用于商品推薦，自然可以把該過程拓展到4步、8步、…、直至2N步擴(kuò)散，又由于二分網(wǎng)絡(luò)中的兩步擴(kuò)散等價于其投影網(wǎng)絡(luò)中的一步擴(kuò)散，所以二分網(wǎng)絡(luò)中的2N步擴(kuò)散就等效于其投影網(wǎng)絡(luò)中的N步擴(kuò)散(為方便起見，后面的討論提到的擴(kuò)散都只針對投影網(wǎng)絡(luò))。本文著重關(guān)注的問題是隨著擴(kuò)散步數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)中的資源分布最終會達(dá)到什么狀態(tài)？而對應(yīng)的推薦算法有具有什么特點？用向量表示用戶i對所有商品節(jié)點配置初始資源的情況(如果用戶i購買了某商品α，，否則，經(jīng)N步擴(kuò)散后，各商品節(jié)點上的資源便為，顯然，要回答前面的問題就必須對的特點進(jìn)行研究，如果多步擴(kuò)散之后資源的分布會穩(wěn)定下來，就意味著當(dāng)N→∞時fN收斂。假設(shè)收斂，不妨令則有因此便為矩陣W的特征值1對應(yīng)的特征向量。又由于fN=WNf0，所以只有當(dāng)WN收斂時fN才會收斂，因此WN是否收斂便成為關(guān)鍵問題，本文接下來利用矩陣分析的方法對W的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而揭示多步物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法的特點。

性質(zhì)1：矩陣W每一列元素之和為1，即

證明：從物質(zhì)擴(kuò)散的過程可知，每一步擴(kuò)散都遵守物質(zhì)守恒定律，系統(tǒng)中物質(zhì)的總量沒有因為擴(kuò)散過程發(fā)生變化，從任何一個商品節(jié)點出發(fā)的資源經(jīng)過兩步擴(kuò)散后又都回到了商品端(所有商品節(jié)點構(gòu)成的集合)，反映在擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣上就是每一列元素之和為1。該性質(zhì)也可以由式(1)出發(fā)進(jìn)行證明：

性質(zhì)2：若矩陣W不可約(對應(yīng)的投影網(wǎng)絡(luò)是強(qiáng)連通的)，則W的主特征值λ1=1，且有

證明：由于W與WT的特征值相同，所以只要證明WT滿足性質(zhì)2即可。由Gerschgorin圓盤定理可知，對于矩陣WT，一定存在某行元素(wα1,wα2,???,wαn)，

根據(jù)性質(zhì)1，W的每一列之和為1，所以WT的每一行之和為1，因此為WT的特征值1對應(yīng)的右特征向量，因此，1是WT的最大特征值，即主特征值。由Perron-Frobenius定理可知，對于一個不可約非負(fù)矩陣，其譜半徑對應(yīng)的主特征值一定是大于0的單重特征值，因此λ1=1是WT的單重特征值，所以成立，證畢。

性質(zhì)3： (k(o1) ,k(o2),???,k(on))T是矩陣W的主特征值1對應(yīng)的右特征向量。

證明：設(shè)Am×n為二分網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的鄰接矩陣，m為用戶數(shù)，n為商品數(shù)，其任意元素aiα的值為1或0，表示用戶i是否購買過商品α。

令，O=，其中k(u)和k(o)分別為二分網(wǎng)絡(luò)中用戶節(jié)點和商品節(jié)點對應(yīng)的度，則投影網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的矩陣W為：

于是有：

因此，性質(zhì)3成立。

性質(zhì)4：當(dāng)N→∞時，矩陣WN收斂，且WN中任意元素wαβ的值為

證明：根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理，對任意矩陣W，一定存在矩陣J，使得W=PJP-1，其中J為矩陣W的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定義，J滿足式(5)所示的分塊對角矩陣形式，矩陣J的每一項元素Ji都是一個Jordan塊，Ji的形式如式(6)所示，其中λi為矩陣W的第i大特征值，根據(jù)性質(zhì)2，λ1=1為W的單重主特征值，所以J1=1。

由于當(dāng)i≥2 時，λi＜1，所以有，于是：

設(shè)向量p為矩陣P的第一列，p?為P-1的第一行，則上式便化為：

對W=PJP-1兩邊同時右乘P，得到WP=PJ，由式(7)所示的對角形式可知，p其實就是PJ的第一列，又由于WP的第一列為Wp，所以有Wp=p，因此，p為矩陣W的右主特征向量，根據(jù)性質(zhì)3，p=ε1[k(o1) ,k(o2) ,… ,k(on)]T，ε1為任意常數(shù)。同理，對W=PJP-1兩邊同時左乘P-1，得到P-1W=JP-1，顯然，JP-1的第一行為p?，又由于P-1W的第一行為p* W，所以p*W=p*。因此，p?為W的左主特征向量，又由于W每一列元素之和為1，所以p*=ε2[1,1,… ,1]1×n，ε2也為任意常數(shù)。QP-1P=I，Qp* p= 1，即：

令ε=ε1ε2，則

若， 則p?=[ε,ε, … ,ε]1×n。

因此，根據(jù)式(9)可以計算得到收斂結(jié)果：

證畢。

下面用一個實例對這個結(jié)論進(jìn)行驗證，以圖2所示的用戶-商品二分網(wǎng)絡(luò)為例，其對應(yīng)的擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣如式(2)所示，下面給出擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣各次冪運算的計算過程：

從上述計算過程可以看出，矩陣W在經(jīng)過多次冪運算之后最終收斂到了一個穩(wěn)定狀態(tài)，該結(jié)果與用式(11)計算的結(jié)果一致，計算過程為：

3 討 論

3.1 關(guān)于收斂速度的討論

在前面的驗證過程中，系統(tǒng)總共迭代了21步才使收斂結(jié)果精確到小數(shù)點后第四位。由此可以提出另一個重要問題——系統(tǒng)的收斂速度由什么因素決定？該問題需要進(jìn)一步分析收斂速度與擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣之間的關(guān)系。由于WN=PJNP-1，而P和P-1與迭代步數(shù)無關(guān)，因此WN的收斂速度只由J決定，只有當(dāng)JN能快速收斂到式(8)所示的形式，系統(tǒng)才能快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由式(7)可知，要使JN快速收斂到式(8)，就得使(i≥ 2 )盡快收斂至0，又由及式(6)可知，當(dāng)λ2的值越接近0時系統(tǒng)收斂越快，因此多步擴(kuò)散算法的收斂速度由擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣的第二大特征值決定，該特征值越小，系統(tǒng)收斂越快。

3.2 關(guān)于算法特點的討論

根據(jù)上一節(jié)的分析，已經(jīng)證明了N→∞時WN會收斂于一個穩(wěn)定狀態(tài)，又根據(jù)fN=WNf0，可推斷fN最終也會達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)，這意味著在經(jīng)過多輪擴(kuò)散之后，資源的分布最終會穩(wěn)定下來，對于推薦算法來說，最終的推薦列表會穩(wěn)定下來，而不再隨擴(kuò)散次數(shù)的增加而變化。顯然，這個穩(wěn)定的推薦列表具有什么樣的特點便成為我們最關(guān)心的問題。假設(shè)對于某個用戶i，給其購買過的商品節(jié)點分別設(shè)置1單位的資源，則資源分布情況可以用向量表示，元素a的值為1或0，分別代表該用戶是否購買過該相應(yīng)的商品。假設(shè)用戶i總共購買了ki件物品，則：

根據(jù)物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法，在進(jìn)行N步擴(kuò)散之后其資源分布為，當(dāng)N→∞時，其值為：

式(14)給出了最終的資源分布結(jié)果，從式中可以看出，在經(jīng)過多輪擴(kuò)散之后，資源在各商品節(jié)點上的分布比例完全由該節(jié)點的度決定，由于推薦列表是根據(jù)各節(jié)點最終獲得的資源數(shù)從大到小進(jìn)行排列，所以推薦算法最終將會根據(jù)商品節(jié)點的度從大到小生成推薦列表。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，該推薦列表的排序不僅與擴(kuò)散前初始資源的分布無關(guān)，而且與用戶也無關(guān)，不論是對哪個用戶，不管他之前購買過什么樣的商品，該算法始終只根據(jù)商品的熱門程度給出推薦列表，此時的算法已經(jīng)不會再根據(jù)用戶之前的購買歷史來推薦與其偏好相似的商品，而是不論針對什么用戶一律只推薦熱門商品，因此，此時的推薦系統(tǒng)表現(xiàn)得更像一個搜索引擎，不再具有個性化特點。事實上，算法逐漸失去個性化的過程是伴隨著擴(kuò)散步數(shù)的增加而發(fā)生的，當(dāng)擴(kuò)散步數(shù)為0時，f=f0，此時，算法推薦的是用戶購買過的商品，雖然沒什么意義，但從個性化角度來看肯定是最好的，隨著擴(kuò)散步數(shù)的增加，算法的個性化特點不斷失去，最終只推薦熱門商品。在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)個性化要求的程度選擇合適的擴(kuò)散步數(shù)。

4 結(jié)束語

本文通過對物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法中的擴(kuò)散轉(zhuǎn)移矩陣W的幾個重要性質(zhì)的研究，深入分析了多步物質(zhì)擴(kuò)散推薦算法的逼近行為，證明了W的主特征值為1，并發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)的主特征向量與二分網(wǎng)絡(luò)中物品節(jié)點的度相關(guān)，證明了當(dāng)擴(kuò)散步數(shù)趨于無窮時，轉(zhuǎn)移矩陣WN會收斂，并且發(fā)現(xiàn)算法隨著擴(kuò)散步數(shù)增加不斷失去個性化，最終當(dāng)擴(kuò)散達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，算法的推薦結(jié)果只與商品的熱門程度有關(guān)。本文的研究揭示了物質(zhì)擴(kuò)散算法的擴(kuò)散步數(shù)與個性化特點之間的關(guān)系，對物質(zhì)擴(kuò)散算法的實際應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。

[1]RICCI F, ROKACH L, SHAPIRA B. Recommender systems handbook[M]. New York： Springer, 2015.

[2]CHEN G, QIU T, SHEN X Q. An improved recommendation algorithm via weakening indirect linkage effect[J]. Chinese Physics B, 2015, 24(7)： 78901.

[3]SHANG M S, ZHANG Z K. Diffusion-based recommendation in collaborative tagging systems[J].Chinese Physics Letters, 2009, 26(11)： 118903.

[4]GOLDBERG D, NICHOLS D, OKI B M, et al. Using collaborative filtering to weave an information tapestry[J].Communications of the ACM, 1992, 35(12)： 61-70.

[5]HUANG C L, YEH P H, LIN C W, et al. Utilizing user tag-based interests in recommender systems for social resource sharing websites[J]. Knowledge-Based System,2014, 56(1)： 86-96.

[6]HAN X, WANG L, CRESPI N, et al. Alike people, alike interests? Inferring interest similarity in online social networks[J]. Decision Support Systems, 2015, 69(1)：92-106.

[7]OLIVEIRA E, MARTINS P, CHAMBEL T. Accessing movies based on emotional impact[J]. Multimedia Systems,2013, 19(6)： 559-576.

[8]PANNIELLO U, TUZHILIN A, GORGOGLIONE M.Comparing context-aware recommender systems in terms of accuracy and diversity[J]. User Modeling and User-Adapted Interaction, 2014, 24(1)： 35-65.

[9]YUAN T, CHENG J, ZHANG X, et al. How friends affect user behaviors? An exploration of social relation analysis for recommendation[J]. Knowledge-Based System, 2015, 88(C)：70-84.

[10]ALHAMID M F, RAWASHDEH M, OSMAN H A, et al.Towards context-sensitive collaborative media recommender system[J], Multimedia Tools Applications,2015, 74(24)： 11399-11428.

[11]MAYER J M, JONES Q, HILTZ S R. Identifying opportunities for valuable encounters： Toward context-aware social matching systems[J]. ACM Transactions on Information Systems, 2015, 34(1)： 1-32.

[12]ADOMAVICIUS G, TUZHILIN A. Toward the next generation of recommender systems： a survey of the state-of-the-art and possible extensions[J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 2005,17(6)： 734-749.

[13]ZANKER M, GORDEA S, JESSENITSCHINIG M, et al.A hybrid similarity concept for browsing semi-structured product items[C]//International Conference on Electronic Commerce and Web Technologies. [S.l.]： [s.n.], 2006.

[14]ZANKER M, JESSENITSCHINIG M. Case-studies on exploiting explicit customer requirements in recommender systems[J]. User Modeling and User-Adapted Interaction,2009, 19(1)： 133-166.

[15]ZHANG Y C, BLATTNER M, YU Y K. Heat conduction process on community networks as a recommendation model[J]. Physical Review Letters, 2007, 99(15)： 154301.[16]ZHOU T, REN J, MEDO M, et al. Bipartite network projection and personal recommendation[J]. Physical Review E, 2007, 76(4)： 046115.

[17]ZHOU T, JIANG L L, SU R Q. Effect of initial configuration on network-based recommendation[J].Europhysics Letters, 2008, 81(5)： 58004.

[18]JIA C X, LIU R R, SUN D, et al. A new weighting method in network-based recommendation[J]. Physica A, 2008,387(23)： 5887-5891.

[19]ZHOU T, KUSCSIK Z, LIU J G, et al. Solving the apparent diversity-accuracy dilemma of recommender systems[J].The Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2010, 107(10)： 4511-4515.

[20]Lü L, LIU W. Information filtering via preferential diffusion[J]. Physical Review E, 2011, 83(6)： 066119.