基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)實(shí)踐初探
——以“平面向量的分解定理”概念教學(xué)為例

◎汪園娣

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)是指基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之上的理解學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者能夠批判性的學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，作出決策和解決問題?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)是圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)分析六大核心內(nèi)容［1］，引起學(xué)生的高級(jí)思維和認(rèn)知，從而形成對(duì)知識(shí)的理解和遷移，最終培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)。筆者以“平面向量的分解定理”一課概念教學(xué)為例，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，在課堂教學(xué)中探索一套適應(yīng)于新高考背景下基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)模式。

教學(xué)目標(biāo)

以探究的形式體驗(yàn)平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程；

理解平面向量分解定理，體會(huì)由特殊到一般的思想，感悟數(shù)學(xué)的化歸思想。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量的分解定理

難點(diǎn)：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程

教學(xué)過程

本節(jié)課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在原有的認(rèn)知體系中，根據(jù)已學(xué)內(nèi)容向量的坐標(biāo)直接導(dǎo)入。［2］通過課堂對(duì)話，回顧坐標(biāo)的形成過程，得出基于兩個(gè)基本單位向量的向量的正交分解，為本課探究做鋪墊。

環(huán)節(jié)一 坐標(biāo)導(dǎo)入

提問1：平面任一的坐標(biāo)怎樣表示？回顧向量的坐標(biāo)表示的由來。

提問2：向量的坐標(biāo)表示（代數(shù)角度），是通過怎樣的向量分解（幾何角度）實(shí)現(xiàn)的？

提問3：平面內(nèi)任一向量的正交分解唯一嗎？

本環(huán)節(jié)注重元認(rèn)知發(fā)展，開展深度學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生以探究的方式和合作的模式進(jìn)行新知識(shí)和信息與新問題的解決。注重學(xué)生對(duì)于現(xiàn)有知識(shí)的反思，并強(qiáng)調(diào)新知識(shí)內(nèi)化之后，與固有知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。

環(huán)節(jié)二 特例過渡

適當(dāng)改變上述正交分解的條件，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，體驗(yàn)一般情形下正交分解的過程。

數(shù)學(xué)活動(dòng)：上述正交分解中的“兩個(gè)基本單位向量”改為“給定兩個(gè)互相垂直的非零”，能否進(jìn)行分解？分解有何特點(diǎn)？

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：“互相垂直”條件改變可以分解嗎？

數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)基于給定兩個(gè)互相垂直的非零向量，可以進(jìn)行正交分解。對(duì)于知識(shí)的處理，是基于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，由特殊到一般，循序漸進(jìn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)的獲取和解決問題的策略。深度學(xué)習(xí)的必要前提是學(xué)生對(duì)于知識(shí)有著比較濃厚的興趣，有探究的欲求。

環(huán)節(jié)三 定理探索

基于尋找向量分解的條件，進(jìn)一步引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望。

（一） 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

探究1：除正交分解外，你還可以對(duì)平向量進(jìn)行怎樣的分解？

探究2：對(duì)于滿足什么條件的兩個(gè)給定向量，平面內(nèi)任一向量可以分解？

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：類比向量的正交分解，當(dāng)“兩個(gè)互相垂直的”變成“給定平面上兩個(gè)不平行向量”，你有什么發(fā)現(xiàn)？

給定一組不垂直的非零向量，親身經(jīng)歷向量分解的過程，目的在于尋找向量進(jìn)行分解的條件。將已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)遷移作用于其它情境中，特殊到一般，通過類比發(fā)現(xiàn)，給定平面上兩個(gè)不平行向量，該平面上任一向量都可以表示成這兩個(gè)不平行向量的線性組合。

（二）數(shù)學(xué)體驗(yàn)

活動(dòng)一 給定兩個(gè)方向，將一個(gè)分解成兩個(gè)向量的和.

活動(dòng)二是平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量，是該平面內(nèi)的任意一個(gè)非零向量，之間的關(guān)系.

通過數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，得出向量分解的條件；開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷平面向量的分解。初步形成：平面內(nèi)的任意一個(gè)非零都可以表示成這兩個(gè)不平行的線性組合，即分解可行.

（三）數(shù)學(xué)探究

從兩個(gè)特殊向量出發(fā)，師生共同完成這兩個(gè)特殊向量的分解，得出可以分解且唯一。

探究三 當(dāng)平面上兩個(gè)不平行的取定時(shí)，任一向量的分解唯一嗎？

探究的思路始終遵循學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，由已知到未知，由特殊到一般，進(jìn)行邏輯推理，得出當(dāng)平面上兩個(gè)不平行的向量取定時(shí)，任一向量的分解唯一。學(xué)生結(jié)合自身的內(nèi)在需求對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行比較深刻的思考和探究，通過使用與學(xué)習(xí)材料相適應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，對(duì)知識(shí)進(jìn)行批判性的接收和創(chuàng)造性的使用，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的真正意義，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果。

環(huán)節(jié)四 定理形成

學(xué)生通過定理探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)體驗(yàn)、數(shù)學(xué)探究，概括平面向量分解定理：

探究一 條件中“不平行向量”，改為“平行向量”，如何？

探究二兩繩子可以以任意角度懸掛同一重物，重物因?yàn)榫哂兄亓?，?huì)對(duì)兩繩子產(chǎn)生拉伸效果。

思考：兩根繩子的懸掛的角度不同，重力分解的結(jié)果如何？

探究三對(duì)于給定的一組基，向量的分解是否唯一？

以探究的形式體會(huì)定理的涵義，從物理實(shí)例出發(fā)，在熟悉的問題情境中，經(jīng)歷物理問題數(shù)學(xué)化的過程，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，加深數(shù)學(xué)理解，得出平面上任一向量可以有無窮多種分解，即有無數(shù)組基，且對(duì)給定的一組基分解唯一。

環(huán)節(jié)五 定理應(yīng)用

通過定理探索，得出平面向量分解定理，如何夯實(shí)該定理，通過下面的幾個(gè)實(shí)例來實(shí)現(xiàn)。

解決實(shí)際問題，體會(huì)基向量思想在運(yùn)算化簡(jiǎn)中的作用，可以讓向量運(yùn)算更加有目的性，體會(huì)平面向量分解定理的意義。深度學(xué)習(xí)，注重對(duì)于知識(shí)的解釋與剖析，并且隨著知識(shí)種類的不同而有著不同的內(nèi)化模式。

教學(xué)后記：以探究的形式體驗(yàn)平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程，教學(xué)緊緊圍繞向量分解展開。在教學(xué)過程中，學(xué)生無論經(jīng)驗(yàn)的積淀、基本思想的形成，還是數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng)，都離不開學(xué)生的主動(dòng)參與、獨(dú)立思考和親身實(shí)踐，離不開學(xué)生的自我建構(gòu)。因此，學(xué)生發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物，這種產(chǎn)物對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展起決定作用。［3］

課堂教學(xué)采用探究形式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，通過親身實(shí)踐探索獲得的知識(shí)，實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在實(shí)際操作中，學(xué)生思維一旦打開，探究問題方向多樣，而易脫離教學(xué)主線，影響教學(xué)進(jìn)度的推進(jìn)，需要提前預(yù)想到多種可能情況，合理安排探究?jī)?nèi)容和時(shí)間，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

［1］教育部課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.普通高中各學(xué)科核心素養(yǎng)一覽表 ［EB/OL］.http：//learning.sohu.com/20160422/n445632409.shtml

［2］吳秀娟，張浩，倪廠清.基于反思的深度學(xué)習(xí)：內(nèi)涵與過程［J］.電化教育研究，2014（12）：23-28.33.

［3］孔凡哲.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（6）：孔凡哲.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015，（9）.