淺談高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

◎方國(guó)飛

引言：從現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)情況來(lái)看，學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣并不高，其重要原因就在于高中數(shù)學(xué)知識(shí)比較復(fù)雜，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。很多高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都產(chǎn)生了一種恐懼心理，不知道怎樣去學(xué)，經(jīng)常以“依葫蘆畫(huà)瓢”的方法去解答數(shù)學(xué)題，因此所取得的效果并不理想。所以對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以對(duì)他們的數(shù)學(xué)解題思想進(jìn)行改變，通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解決，利用數(shù)形結(jié)合的思想，提升他們的做題速度與做題質(zhì)量，進(jìn)而提高他們的數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)可以對(duì)函數(shù)圖像的變化規(guī)律進(jìn)行研究，進(jìn)而對(duì)它的單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。如果f（x）在區(qū)間M內(nèi)可導(dǎo)，并且對(duì)于定義域內(nèi)?x∈M，都有 f′（x）≥0，那么 f（x）在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)；反之如果 f（x）在區(qū)間M內(nèi)可導(dǎo)，并且對(duì)于定義域內(nèi)?x∈M，都有 f′（x）≤0，那么 f（x）在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)。另外，通過(guò)導(dǎo)數(shù)，也可以對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行有效解決。函數(shù)最值指的是在某區(qū)間M內(nèi)的最大值以及最小值，利用導(dǎo)數(shù)的思想，借助函數(shù)圖像，就可以對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行有效研究［1］。

二、通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題

根據(jù)最近幾年的高考情況來(lái)看，不等式問(wèn)題具有思維量大以及綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，屬于歷年高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)。通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行證明，實(shí)際上就是通過(guò)函數(shù)和不等式之間的關(guān)系，在等價(jià)變形之后，按照不等式的特征，對(duì)相應(yīng)函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行有效解決［2］。比如對(duì)于下面這道不等式問(wèn)題：

證明：ex＞1+x（x＞0）

在這道數(shù)學(xué)題中，我們可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行有效結(jié)合。首先需要對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行構(gòu)造，即f（x）=ex-1-x，然后再對(duì)函數(shù) f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而得到 f′（x），對(duì)其圖像進(jìn)行觀察，當(dāng)x＞0時(shí)，其導(dǎo)數(shù)圖像在x軸上方，也就是說(shuō)函數(shù)在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）＞f（0）=0，最后得到ex＞1+x。

三、通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題也是高考必考內(nèi)容，并且占有較大分值。在對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，我們可以將數(shù)列當(dāng)成一種特殊函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在自變量是正整數(shù)，因此可以在函數(shù)與數(shù)列之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行快速解決［3］，比如對(duì)于下面這道數(shù)列問(wèn)題：

求數(shù)列：1+2a+3a2+4a3+··· +nan-1的和。（其中a≠0，a≠1）

在這道數(shù)學(xué)題當(dāng)中，我們可以知道nan-1為an的導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)（an）′=nan-1，我們可以設(shè)數(shù)列bn=an，那么可以對(duì)數(shù)列n的前n項(xiàng)和進(jìn)行計(jì)算，即，之后再將等式兩邊對(duì)a進(jìn)行求導(dǎo)，就會(huì)得到：

四、通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

對(duì)于導(dǎo)數(shù)而言，不僅可以對(duì)函數(shù)問(wèn)題、不等式以及數(shù)列等問(wèn)題進(jìn)行解決，同時(shí)也可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行有效解決。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要目的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)一些生活當(dāng)中的問(wèn)題進(jìn)行有效解決，所以教師在教學(xué)過(guò)程中，需要對(duì)學(xué)生解題意識(shí)、解題能力以及解題方法等進(jìn)行培養(yǎng)，如此一來(lái)，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，同時(shí)也鍛煉了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力［4］。比如對(duì)于下面這道數(shù)學(xué)題：

某企業(yè)在對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)，已知每天所生產(chǎn)的次品數(shù)m是關(guān)于每天產(chǎn)量n的函數(shù)，當(dāng)n≤100時(shí)，，當(dāng) n＞100時(shí)，m=n，如果該企業(yè)每賣(mài)出一件正品，那么就會(huì)獲利L元，如果生產(chǎn)一件次品，那么就會(huì)損失元，當(dāng)企業(yè)想要獲得最大利潤(rùn)時(shí)，那么每天的產(chǎn)量應(yīng)該是多少？

在這道數(shù)學(xué)題當(dāng)中，我們首先需要對(duì)日產(chǎn)量、正品數(shù)以及次品數(shù)等進(jìn)行明確，然后再對(duì)利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行建立，最后對(duì)日產(chǎn)量進(jìn)行計(jì)算。

由題意我們可知，m屬于次品數(shù)，那么在n件產(chǎn)品中，正品數(shù)應(yīng)為n-m，設(shè)每日獲利總數(shù)是 D（n），那么，則，設(shè) D′（n）=0，我們可以得到，再根據(jù)n≤100時(shí)，，當(dāng) n＞100時(shí)，m=n，我們可以知道，當(dāng)n＞100時(shí)，所有的產(chǎn)品都屬于次品，企業(yè)就會(huì)產(chǎn)生損失，因此，只有在n≤100的范圍內(nèi)對(duì)最佳日產(chǎn)量進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)，可以得到n約等于89.4，又因?yàn)閚應(yīng)該為正整數(shù)，因此n的值應(yīng)為89或者是90，但是由于 D（89）=79.11L，D（90）=70.09L，因此當(dāng) n的值為89的時(shí)候，D（n）取得最大值，也就是說(shuō)當(dāng)企業(yè)的日產(chǎn)量為89時(shí)，所獲利潤(rùn)最大。

結(jié)論：總而言之，對(duì)于導(dǎo)數(shù)而言，不僅是一種數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也是一種解題工具、解題思想，解題方法，具有一定的數(shù)學(xué)價(jià)值，為學(xué)生提供了新的解題思路，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要意義。因此對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言，在日常教學(xué)中，應(yīng)該更多從函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題以及實(shí)際問(wèn)題等方面對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行合理應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的導(dǎo)數(shù)思想，進(jìn)而提高他們做數(shù)學(xué)題的速度與質(zhì)量，為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

［1］陳展潘.基于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2017（7）.

［2］許楚濱.基于高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考——以高中《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》為例［J］.考試周刊，2017（42）：131-132.

［3］曹云輝.淺談高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用［J］.小品文選刊：下，2015（6）：107-107.

［4］陳展潘.基于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2017（7）.