作商法、作差法與二元函數(shù)

安徽省肥東縣第一中學(xué) 鄭金成

近年來，高中試題常出現(xiàn)以大學(xué)知識為背景的情況。二元函數(shù)是微積分中的常見內(nèi)容，有時它也會改變面貌出現(xiàn)在高中習(xí)題中。筆者認(rèn)為，在解決這一類問題時，如何將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)是關(guān)鍵。通常可以用換元法，將兩個變量的商或差進(jìn)行整體換元是解決這類問題的有效方法。本文就以筆者見到的一些蘊(yùn)含二元函數(shù)知識的習(xí)題為例，來談?wù)剳?yīng)對這一類題目的方法，僅供大家參考。

例 1、已知

（1）是否存在 x0∈R+，使 F（x0，2）=2？請說明理由；

（2）若對任意的 x，y∈R+，恒有 F（x，y）≥0，請求出a的取值范圍。

解：（1）略。

（2）轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)的最小值問題。

方法1：（巧用基本不等式）考慮到所以有，所以

當(dāng)分子或者分母的系數(shù)發(fā)生改變時，例如改為即可。

方法2：（將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題） 因 為 x，y∈R+， 故，令，則有：于是，二元函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題了，這個方法也是筆者在本文中強(qiáng)調(diào)的方法。接下來可以通過將分子進(jìn)行配湊成2+4t的形式用基本不等式求最小值；也可以用求導(dǎo)的方法來解決，這里就不再贅述了。

例2、（2011年合肥市高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測理21）已知函數(shù)f（x）=（x+k）lnx（k是常數(shù)）。

（1）若f（x）是增函數(shù)，試求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k=0時，是否存在不相等的正數(shù)a、b，滿足。若存在，求出；若不存在，說明理由。

解：（1）略。

（2）k=0時，不妨假設(shè)存在 a＞b＞0符合題意，即

這是一個含有兩個變量的方程式，如何將上式轉(zhuǎn)化為只含有一個變量，即將其整理為關(guān)于的方程式成了解決該題的關(guān)鍵，有了這個意識后，這道壓軸題就迎刃而解了，具體操作步驟如下：

上式轉(zhuǎn)化為

構(gòu)造函數(shù)g（t）=tln（2t）+（1-t）ln（t+1）-t+1-ln 2（t＞1），這樣就將原問題轉(zhuǎn)化為了一元函數(shù) g（t）在（1，+∞）上有沒有零點的問題，接下來對g（t）進(jìn)行求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可，屬于高中生能解決的范疇。

這是一道學(xué)生課下問的習(xí)題，本題需要設(shè)出P、Q兩點的橫坐標(biāo)，是一個二元問題，該學(xué)生的盲點就是不知如何將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題。

解：設(shè)P、Q兩點的橫坐標(biāo)分別為x1和 x2，且 0＜x1＜x2。

假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，

令

上式轉(zhuǎn)化為

構(gòu)造函數(shù)則h（′t），所以 h′（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以 h（t）＜h（1），t∈（0，1）所以方程（Ⅱ）在（0，1）上無解，原問題得到證明。

[1]蔡小雄.孫惠華.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)競賽通用教材（高二分冊）.浙江大學(xué)出版社，2013.7.