金屬熔體中超聲聲空化特性的研究進(jìn)展

王旭東，黃海軍，周月明

（1.寶山鋼鐵股份有限公司，上海 201900；2.上海交通大學(xué)，上海 200240）

超聲處理是實(shí)現(xiàn)金屬凝固細(xì)化的高效方法，大量的研究發(fā)現(xiàn)在液態(tài)金屬及其凝固過(guò)程中引入超聲能顯著細(xì)化凝固組織[1～3]，而且該方法不僅較化學(xué)法具有不“污染”熔體的優(yōu)點(diǎn)，還兼有工藝簡(jiǎn)單，普適性強(qiáng)、成本低廉的特點(diǎn)。這使得通過(guò)施加超聲以控制金屬熔體的凝固過(guò)程，實(shí)現(xiàn)晶粒細(xì)化的工藝更具吸引力和廣闊的前景。

超聲對(duì)金屬凝固組織的影響主要是通過(guò)超聲過(guò)程中產(chǎn)生聲空化。聲空化是指波在液體中傳播時(shí)引發(fā)液體“撕裂”致使空穴或氣/汽穴即空化泡的產(chǎn)生、膨脹與潰滅的一系列過(guò)程。伴隨聲空化的發(fā)生，在周圍液體中產(chǎn)生奇特的聲空化效應(yīng)：釋放壓力激波,產(chǎn)生微射流。在金屬熔體中，一方面壓力激波引起平衡熔點(diǎn)升高造成過(guò)冷，從而促進(jìn)均值或抑制形核；另一方面，在壓力激波與微射流共同作用下，金屬熔體浸入其中雜質(zhì)表面的狹縫或凹槽中，從而“活化”雜質(zhì)而形核；再者，熔體在凝固過(guò)程中，壓力激波或微射流“折斷”枝晶，造成晶粒增殖。通過(guò)這些方式，在金屬熔體或其凝固過(guò)程中施加超聲處理使得凝固組織得以細(xì)化。

1 空化泡的形成

一般認(rèn)為當(dāng)負(fù)壓達(dá)到或超過(guò)空化閾值，液體被撕裂并形成空化泡。然而負(fù)壓及撕裂過(guò)程極大地影響局部物理?xiàng)l件，這勢(shì)必造成氣體脫溶與液體蒸發(fā)，形成含氣空化泡——空化氣泡，或含汽空化泡——空化汽泡，或氣與汽兼有的混合空化泡，而這些過(guò)程之間的相互作用并不十分清楚。

Kwak等[4]研究了過(guò)飽和液體中氣泡的形成，認(rèn)為負(fù)壓首先造成氣體脫溶形成氣泡團(tuán)簇（cluster[5]）。團(tuán)簇的形成過(guò)程可由氣體分子的碰撞模型表示為：

則該團(tuán)簇的形核率為：

式中，n為氣泡中的分子數(shù)目；βg為適應(yīng)系數(shù)（acommodation coeffcient）：Vˉ為熔體中的平均分子流速；Nˉg為單位體積熔體中溶解的平均氣體分子數(shù)；Zfg為Zeldovich非平衡系數(shù)。類似于液-固相變形核，氣泡團(tuán)簇通過(guò)氣體分子的擴(kuò)散或合并，長(zhǎng)大形成臨界氣泡核。然而，S Stralen[6]認(rèn)為相對(duì)于汽化形核而言，通過(guò)氣體脫溶成核很有限，并從理論上給出了推導(dǎo)。Pratap S.Bapat[7]把水考慮成簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)，汽化（vaporization）造成分子沿相鄰7個(gè)方向遷移形成分子空穴（void），進(jìn)而通過(guò)空穴間的合并形成空化氣/汽核。進(jìn)而從熱力學(xué)上分析了空化泡的形成，認(rèn)為空化泡形核能接收的聲能量并不能獨(dú)立支撐形核，需要核周圍液體的溫度起伏以及分子間“碰撞”產(chǎn)生的能量（Free energy of collision among molecules）輔助，并給出了形核率：

其中，σ為界面張力；m為氣/汽體分子質(zhì)量；ρg與ρ1分別為氣/汽體與液體密度；ΔGv為對(duì)應(yīng)的形核功。同時(shí)Pratap S.Bapat[7]還考慮了脫溶（desorption）造成的空化氣核，然而這兩類形核相互獨(dú)立，氣體的脫溶與溶液的汽化隔離。

實(shí)際的液相中不可避免存在表面粗糙的金屬氧化物、難溶非金屬夾雜等，這使得空化泡以此為核心異質(zhì)形核，研究[4]表明位于難溶夾雜物表面的凹槽能有效形核，即便槽內(nèi)氣體濃度低于平衡濃度。張華偉[8]從理論上給出了氣泡在凹槽內(nèi)的形核能力，相比均質(zhì)形核，氣泡在凹槽內(nèi)異質(zhì)形核形核能減小f（θ,α）倍：

式中，α、θ分別為凹槽近似錐頂角與面接觸角。

2 聲空化結(jié)構(gòu)與聲空化泡分布

聲空化泡的分布是衡量超聲空化行為的重要指標(biāo)[9]。一方面，在微觀上聲空化泡在聲場(chǎng)中自組織形成空化結(jié)構(gòu)[10]。在第一Bjerknes力（primary Bjerknes force）作用下，聲空化泡在聲空間運(yùn)動(dòng)形成動(dòng)態(tài)纖維狀（filamentary）主干[11]；同時(shí)由于第二Bjerknes力（secondary Bjerknes force）的作用，空化泡在局部聚集產(chǎn)生聲空化泡簇。典型結(jié)構(gòu)如圖1所示[14]，這種單纖維狀的空化結(jié)構(gòu)能長(zhǎng)時(shí)間“穩(wěn)定”動(dòng)態(tài)存在，空化泡之間存在動(dòng)態(tài)的合并，及單個(gè)空化泡潰滅產(chǎn)生子空化泡。對(duì)于這種“穩(wěn)定”結(jié)構(gòu)當(dāng)前并沒(méi)有很深刻的認(rèn)識(shí)，可能的原因是由于在空間位置穩(wěn)定存在空化泡的異質(zhì)核心以及在其周圍空化泡的均質(zhì)形核[12,13]。對(duì)于不同的聲場(chǎng)條件，空化結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不同的特征[13]。

圖1 不同曝光時(shí)間條件下水中的聲空化結(jié)構(gòu)（a）20ms （b）5μs

另一方面，就宏觀分布（位置、尺寸）而言，當(dāng)前對(duì)于離散空化泡分布的研究主要分為兩類，一類是直接觀測(cè)的方法，如采用高速攝影的方法[15]，發(fā)現(xiàn)聲空化泡集中于聲發(fā)射端面近鄰，并隨著遠(yuǎn)離程度的增加，聲空化泡的數(shù)目逐漸減少。然而這種方法較為定性[16]，為深入了解聲空化泡的分布，另一類采用間接檢測(cè)手段，通過(guò)檢測(cè)聲空化泡的分布對(duì)物理量的影響，然后反推出聲空化泡的分布。J.Frohly[17]利用電磁共振頻率變化而獲得空穴溶解速率變化（void rate dissipation）的方法定量的給出了水中聲空化泡的尺寸分布，表明隨著驅(qū)動(dòng)聲壓的增大及聲輻射時(shí)間的延長(zhǎng)聲空化泡在尺寸分布上向小尺寸段聚集。但在試驗(yàn)中聲空化泡沿著聲發(fā)射端面近似呈二維分布，并不能反映三維空間中聲空化泡的分布，而且聲空化泡的捕捉范圍有限（19μm～51μm）。Avvaru[18]通過(guò)利用分析聲散射譜的方法研究了水中空化泡的分布，發(fā)現(xiàn)在20kHz的頻率條件下，空化泡的尺寸在50～80μm。A.Prosperetti[19]假定空化泡尺寸呈“截?cái)唷备咚狗植?，Rashid Jamshidi考慮高斯分布的空化泡對(duì)聲傳播的阻尼作用，并結(jié)合波動(dòng)方程數(shù)值計(jì)算了聲空化區(qū)的存在，數(shù)值結(jié)果表明聲空化區(qū)近鄰聲發(fā)射端，并隨著聲輸出功率的增大與輸出頻率的減小，聲空化區(qū)增大，同時(shí)聲空化區(qū)還與反應(yīng)器的幾何有關(guān)。G.Servant進(jìn)一步考慮可壓縮氣泡流體，“截?cái)唷备咚狗植嫉穆暱栈菰诹黧w中連續(xù)分布，考慮聲空化泡與聲壓間的相互作用，通過(guò)求解Caflisch方程更精確預(yù)測(cè)了聲空化區(qū)，求解出聲空化泡的體積隨時(shí)間的變化；并考慮兩相流，通過(guò)求解Euler方程求解空化泡在梯度聲壓力，粘滯力及浮力作用下，聲空化泡體積隨時(shí)間的分布。然而，此類數(shù)值方法只能將空化泡作為整體——空化云，用于處理并不能在長(zhǎng)程空間跟蹤各分離的空化泡。

3 空化泡動(dòng)力學(xué)

對(duì)于空化泡的動(dòng)力學(xué)，大多聚焦于單個(gè)空化泡[20,21]。早在1917年，Rayleigh[22]為研究空化泡潰滅，提出了不可壓縮流體中球形空化（氣）泡絕熱運(yùn)動(dòng)方程：

后來(lái)Plesset考慮了表面張力和液體粘度等的影響進(jìn)行了修正，形成了經(jīng)典的Rayleigh-Plesset（R-P）方程并廣泛用來(lái)描述聲壓驅(qū)動(dòng)下空化泡的運(yùn)動(dòng)，即[22]：

式中，R為空化泡半徑；d R/d t泡壁移動(dòng)速率，當(dāng)取正時(shí)表示膨脹，反之表示收縮；pin為泡內(nèi)壓力，μ為液體粘度。

對(duì)于可壓縮流體，Gilmore提出了著名的Gilmore 方程[23]：

式中：

Gilmore方程中考慮了聲空化泡對(duì)入射超聲波的耗散，Keller與Miksis更完備的考慮了聲輻射衰減，提出了K-M方程[24]：

不同于Gilmore方程，K-M方程中的衰減前置因子中取聲速c為常數(shù)，而且熵H僅取一階[25]。

然而，上述方程假設(shè)空化泡內(nèi)所含氣體的含量不變，在其徑向振動(dòng)過(guò)程中始終保持球形，內(nèi)部壓力場(chǎng)保持均勻。然而當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓達(dá)到一定值時(shí)，空化泡內(nèi)氣體與周圍液體產(chǎn)生整流擴(kuò)散（Rectified diffusion）[26]，即在周期性聲壓作用下，空化泡內(nèi)氣體含量增加，此時(shí)R-P方程并不能準(zhǔn)確描述空化泡的長(zhǎng)大過(guò)程。對(duì)于整流擴(kuò)散，泡內(nèi)壓力pin=pg，pg為氣體壓力pin=pg，pg其滿足氣體狀態(tài)方程：

而氣體密度pg與溫度Tg分別由質(zhì)量守恒和能量守恒方程控制，即[27]：

液體溫度Tl滿足：

液體中溶質(zhì)濃度滿足：

式中：

當(dāng)空化泡緊鄰壁面時(shí)，在其徑向振動(dòng)過(guò)程中并非保持球形，受壁面約束。在剛性壁面附近，空化泡潰滅時(shí)球形失穩(wěn)；在軸對(duì)稱彈性壁面條件下，空化泡呈橢球狀徑向振動(dòng)[28]。實(shí)際上空化泡潰滅時(shí)，“裂變”產(chǎn)生小的子空化泡，這勢(shì)必改變?cè)缚栈莸那蛐螤顟B(tài)[29]，而對(duì)此當(dāng)前并沒(méi)有深刻的理論認(rèn)識(shí)。

對(duì)于空化泡構(gòu)成的空化云（圖2）研究相對(duì)較少[30]。當(dāng)前對(duì)空化云動(dòng)力學(xué)的研究主要可分為兩類[31]。第一類把空化云作為一整體，不考慮單個(gè)空化泡的動(dòng)力學(xué)以及它們之間的相互作用。第二類則把空化云內(nèi)空化泡之間的相互作用作為研究重點(diǎn)，然而空化云內(nèi)空化泡數(shù)目十分有限。無(wú)論對(duì)于第一類或第二類，對(duì)于包含n個(gè)空化泡的空化云，其作為整體假設(shè)其在徑向振動(dòng)過(guò)程中中心位置不變，保持球形，并且與周圍液體無(wú)質(zhì)量交換等，其邊界在超聲場(chǎng)內(nèi)滿足另一種形式的R-P方程：

其中α為空化云半徑。同時(shí)，空化云內(nèi)空化泡也分別同樣滿足該R-P方程：

圖2 空化云示意圖

在空化云徑向振動(dòng)的過(guò)程中，空化云內(nèi)液體體積保持不變：

對(duì)水中的空化云從理論與實(shí)驗(yàn)上研究發(fā)現(xiàn)[32]：空化云呈現(xiàn)2倍及多倍于單個(gè)空化泡周期徑向振動(dòng)，當(dāng)增多空化云區(qū)大尺寸空化泡，其呈亞諧波徑向振動(dòng)；在多分散系統(tǒng)中，空化云中空化泡呈現(xiàn)同周期性，整體空化效應(yīng)得到加強(qiáng)?？栈茲绠a(chǎn)生的激波不同于單個(gè)空化泡，激波向空化云中心傳播，并在中心聚焦[33,34]。

4 空化泡的運(yùn)動(dòng)學(xué)

在聲場(chǎng)作用下，空化泡受到Bjerkness力、粘性力及浮力等的作用，在液體中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)；同時(shí)空化泡的徑向振動(dòng)引起壁面的“擾動(dòng)”，使得空化泡的運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜。因而，難以探討與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一般聲場(chǎng)作用下空化泡的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，大多工作在駐波條件下展開(kāi)。

在弱聲場(chǎng)作用下，當(dāng)聲壓驅(qū)動(dòng)頻率低于空化泡本征頻率時(shí)，空化泡向波腹運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)聲壓驅(qū)動(dòng)頻率高于空化泡本振頻率時(shí)，其向波節(jié)運(yùn)動(dòng)。Eller[35]從理論上研究單個(gè)空化泡在聲場(chǎng)作用的受力，在Z軸對(duì)稱柱面波時(shí)，Bjerkness力：

其運(yùn)動(dòng)方向決定于聲驅(qū)動(dòng)頻率ω與空化泡本振頻率ωo的相對(duì)大小。

在強(qiáng)聲場(chǎng)作用下，空化泡存在兩種運(yùn)動(dòng)模式：一是隨意“舞蹈”運(yùn)動(dòng)（erratic“dancing”motion）,另一種則是在波腹與波節(jié)之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)。對(duì)于空化泡的“舞蹈”運(yùn)動(dòng)，被認(rèn)為是聲壓驅(qū)動(dòng)下參數(shù)化的空化泡壁徑向振動(dòng)造成[36,37]。Alexander[38]詳盡推導(dǎo)出了描述該“舞蹈”運(yùn)動(dòng)的方程組：

式中，s為空化泡的形狀模式（shape mode）；g（t）與f（t）分別是關(guān)于空化泡半徑R及形狀模式s的函數(shù)。對(duì)于第二種運(yùn)動(dòng)，其與形狀模式無(wú)關(guān)，而主要是由于在低本征頻率的空化泡在強(qiáng)聲壓作用時(shí)Bjerknes力的方向改變引起。Mettin[39]考慮由于強(qiáng)聲壓作用下R-P方程不能準(zhǔn)確描述空化泡的高幅徑向振動(dòng)，通過(guò)修正K-M方程并結(jié)合Lagrangain方程推導(dǎo)出了描述該運(yùn)動(dòng)的方程組：

式中，x表示空化泡中心的空間位置；FB為Bjerknes力。

5 結(jié)論與展望

超聲細(xì)化的在關(guān)鍵在于超聲過(guò)程中的聲空化行為，涉及聲空泡的形成，聲空化泡的形態(tài)與分布，聲空化泡的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)等特征，從而影響超聲對(duì)金屬凝固組織的細(xì)化作用。然而，由于常見(jiàn)金屬的非透明性，及合金熔體性質(zhì)受合金成分與溫度的影響，適應(yīng)于具體金屬熔體中聲空化特性尚缺乏理論與實(shí)驗(yàn)研究，這嚴(yán)重制約超聲對(duì)金屬的細(xì)化理論發(fā)展，從而影響超聲細(xì)化方法在金屬領(lǐng)域的應(yīng)用與推廣。

近年來(lái)，隨著第三代同步輻射X射線光源的發(fā)展，應(yīng)用基于同步輻射X射線成像技術(shù)研究非透明介質(zhì)，特別用以實(shí)時(shí)原位研究金屬內(nèi)部組織越來(lái)越普遍與深入，這為實(shí)驗(yàn)研究金屬熔體中的聲空化行為提供了新的思路與可能。在同步輻射X射線成像實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，建立描述不同金屬熔體中聲空化行為的理論模型，從而深入研究金屬熔體中的聲空化行為，推動(dòng)超聲細(xì)化理論的發(fā)展及超聲細(xì)化方法的應(yīng)用。

[1] QIAN M,RAMIREZ A,DAS A.Ultrasonic refinement of magnesium by cavitation：Clarifying the role of wall crystals[J].J Cryst Growth,2009,311(14)：3708-15.

[2]JIAN X,MEEK T T,HAN Q.Refinement of eutectic silicon phase of aluminum A356 alloy using high-intensity ultrasonic vibration[J].Scripta Mater,2006,54(5)：893-6.

[3]RAMIREZ A,QIAN M,DAVIS B,et al. Potency of high-intensity ultrasonic treatment for grain refinement of magnesium alloys[J].Scripta Mater,2008,59(1)：19-22.

[4] KWAK H Y,YONG W K.Homogeneous nucleation and macroscopic growth of gas bubble in organic solutions[J].International Journal of Heat&Mass Transfer,1998,41(4-5)：757-67.

[5]KWAK H Y,PANTON R L.Gas bubble formation in nonequilibrium water-gas solutions [J].J Chem Phys,1983,78(9)：5795-9.

[6] STRALEN S V,COLE R.Boiling phenomena：physicochemical and engineering fundamentals and applications[M].Hemisphere Pub.Corp,1979.

[7] BAPAT P S,PANDIT A B.Thermodynamic and kinetic considerations of nucleation and stabilization of acoustic cavitation bubbles in water[J].Ultrason Sonochem,2008,15(1)：65-77.

[8]張華偉,李言祥.金屬熔體中氣泡形核的理論分析 [J].物理學(xué)報(bào),2007,56(8)：4864-71.

[9] LEIGHTON T G.Bubble population phenomena in acoustic cavitation[J].Ultrason Sonochem,1995,2(2)：S123-S36.

[10]MOUSSATOV A,METTIN R,GRANGER C,et al.Evolution of acoustic cavitation structures near larger emitting surface;proceedings of the World Congress on Ultrasonics[C],Paris(France),2003：955-958.

[11]MOUSSATOV A,GRANGER C,DUBUS B. Cone-like bubble formation in ultrasonic cavitation field [J].Ultrason Sonochem,2003,10(4-5)：191.

[12]PARLITZ U,METTIN R,LUTHER S,et al.Spatio-temporal dynamics of acoustic cavitation bubble clouds[J].Philosophical Transactions of the Royal Society A Mathematical Physical&Engineering Sciences,1999,357(1751)：313.

[13]METTIN R,LUTHER S,OHL C D,et al.Acoustic cavitation structures and simulations by a particle model [J].Ultrason Sonochem,1999,6(1-2)：25-9.

[14] LUTHER S.Theoretische Beschreibung und experimentelle Untersuchung raum-zeitlicher Strukturbildung in akustischen Kavitationsblasenfeldern [J].Elektronische Ressource ，2003：1475-1478.

[15]SHU D,SUN B,MI J,et al.A High-Speed Imaging and Modeling Study of Dendrite Fragmentation Caused by Ultrasonic Cavitation [J].Metall Mater Trans A,2012,43(10)：3755-66.

[16]IIDA Y,ASHOKKUMAR M,TUZIUTI T,et al.Bubble population phenomena in sonochemical reactor：I estimation of bubble size distribution and its number density with pulsed sonication- laser diffraction method [J].Ultrason Sonochem,2010,17(2)：473-9.

[17]LABOURET S,FROHLY J.Bubble size distribution estimation via void rate dissipation in gas saturated liquid.Application to ultrasonic cavitation bubble fields [J].Eur Phys J AP,2002,19(1)：39-54.

[18]AVVARU B,PANDIT A B.Oscillating bubble concentration and its size distribution using acoustic emission spectra[J].Ultrason Sonochem,2009,16(1)：105.

[19]COMMANDER K W,PROSPERETTI A.Linear pressure waves in bubbly liquids：Comparison between theory and experiments[J].J Acoust Soc Am,1989,85(2)：732-46.

[20]BARBER B P,PUTTERMAN S J.Light scattering measurements of the repetitive supersonic implosion of a sonoluminescing bubble[J].Phys Rev Lett,1992,69(26)：3839.

[21]GAITAN D F,CRUM L A,CHURCH C C,et al.Sonoluminescence and bubble dynamics for a single,stable,cavitation bubble[J].J Acoust Soc Am,1992,91(6)：3166-83.

[22]AND M S P,PROSPERETTI A.Bubble Dynamics and Cavitation [J].Annual Review of Fluid Mechanics,1977,9(1)：145-85.

[23]GILMORE F R.The growth or collapse of a spherical bubble in a viscous compressible liquid [J].California Institute of Technology,1952：1-40.

[24]KELLER J B,MIKSIS M.Bubble oscillations of large amplitude[J].J Acoust Soc Am,1980,68(2)：628-33.

[25]HOLZFUSS J.Acoustic energy radiated by nonlinear spherical oscillations of strongly driven bubbles [J].Proceedings Mathematical Physical&Engineering Sciences,2010,466(2118)：1829-47.

[26]ELLER A,FLYNN H G.Rectified Diffusion during Nonlinear Pulsations of Cavitation Bubbles [J].J Acoust Soc Am,1965,37(3)：493.

[27]MEIDANI A R N,HASAN M.A study of hydrogen bubble growth during ultrasonic degassing of Al-Cu alloy melts[J].J Mater Process Technol,2004,147(3)：311-20.

[28]FARONG,GAO,CAIHUA,et al.Constrained oscillation of a bubble subjected to shock wave in microvessel[J].Progress in Natural Science：Materials International(自然科學(xué)進(jìn)展：國(guó)際材料(英文)),2009,19(9)：1109-17.

[29]PRESTON A T,COLONIUS T,BRENNEN C E.Toward Efficient Computation of Heat and Mass Transfer Effects in the Continuum Model for Bubbly Cavitating Flows [J].Cav Fourth International Symposium on Cavitation,2001：1-7.

[30]MATSUMOTO Y,YOSHIZAWA S.Behaviour of a bubble cluster in an ultrasound field [J].Int J Numer Methods Fluids,2005,47(6-7)：591-601.

[31]NASIBULLAEVAéS,AKHATOV I S.Dynamics of a bubble cluster in an acoustic field [J].Acoust Phys,2005,51(6)：705-12.

[32]TERVO J T,METTIN R,LAUTERBORN W.Bubble Cluster Dynamics in Acoustic Cavitation[J].Acta Acustica United with Acustica,2006,volume 92(92)：178-80.

[33]MATSUMOTO Y,ALLEN J S,YOSHIZAWA S,et al.Medical ultrasound with microbubbles [J].Experimental Thermal&Fluid Science,2005,29(3)：255-65.

[34]SHIMADA M,MATSUMOTO Y,KOBAYASHI T.Dynamics of the Cloud Cavitation and Cavitation Erosion [J].Nihon Kikai Gakkai Ronbunshu B Hen/transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Part B,1999,65(634)：1934-41.

[35]ELLER A.Force on a Bubble in a Standing Acoustic Wave[J].J Acoust Soc Am,1968,43(1)：170-1.

[36]BENJAMIN T B,ELLIS A T.Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles [J].J Fluid Mech,2006,212(212)：65-80.

[37] MEI C C,ZHOU X.Parametric resonance of a spherical bubble[J].J Fluid Mech,2006,229(229)：29-50.

[38]DOINIKOV A A.Translational motion of a bubble undergoing shape oscillations [J].J Fluid Mech,2004,501(501)：1-24.

[39]DOINIKOV A A.Translational motion of a spherical bubble in an acoustic standing wave of high intensity [J].Phys Fluids,2002,14(4)：1420-5.