優(yōu)化思想在解決烙餅問(wèn)題教學(xué)中的滲透

錢雅琴

【摘 要】在解決烙餅問(wèn)題過(guò)程中會(huì)有多種策略，而如何選擇最優(yōu)的策略就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，充分經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過(guò)程，找到最合理、最省時(shí)的方法，感受到“優(yōu)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷地實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地重組與優(yōu)化，學(xué)生的思維得到進(jìn)步和發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】?jī)?yōu)化思想；烙餅問(wèn)題；實(shí)踐活動(dòng)；同化與順應(yīng)

優(yōu)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。烙餅問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，并在尋求解決問(wèn)題最優(yōu)方案的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的優(yōu)化思想。同時(shí)，在教學(xué)活動(dòng)中要突出數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，使學(xué)生初步形成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的能力以及分析、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。但是，烙餅問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)其實(shí)并沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可言，而且“烙3張餅”的最優(yōu)方法與實(shí)際生活中的做法完全不同，如何突破這一難點(diǎn)，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)，充分感受到數(shù)學(xué)優(yōu)化思想方法呢？根據(jù)“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”這一理念，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了很多實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中經(jīng)歷優(yōu)化過(guò)程，尋找解決問(wèn)題的最優(yōu)方案，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

一、收集解決烙餅問(wèn)題的數(shù)據(jù)信息，初步感知最優(yōu)方案的關(guān)鍵因素

筆者在仔細(xì)研讀教材后，發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)，即教材中對(duì)“烙餅問(wèn)題”的數(shù)學(xué)信息描述過(guò)于提煉、集中而有意義，主動(dòng)摒棄了一些多余信息，要解決的問(wèn)題也是奔著“最優(yōu)化”目標(biāo)直接提出來(lái)的，學(xué)生只要套用最優(yōu)方案就能順利解決問(wèn)題。這種以“學(xué)生學(xué)會(huì)做書(shū)本上的數(shù)學(xué)問(wèn)題”為教學(xué)目標(biāo)，以“追求標(biāo)準(zhǔn)答案”為價(jià)值取向的傳統(tǒng)教學(xué)模式違背了新課程理念，不利于學(xué)生形成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的能力以及分析、解決問(wèn)題的能力。為此，筆者對(duì)烙餅問(wèn)題的引入做了一些改動(dòng)。

筆者在課件出示“一家三口早餐吃烙餅”情境后，直接問(wèn)學(xué)生：“從數(shù)學(xué)的角度，你認(rèn)為必須收集哪些信息？”

生：如果每人1張餅，要烙3張餅；如果每人2張餅，要烙6張餅。

師：每人1張餅。

生：餅的反面要不要烙？

師：哪種烙法的餅更誘人？

生：兩面都要烙！

生：我沒(méi)有烙過(guò)餅，我想問(wèn)烙一面要多長(zhǎng)時(shí)間，既不會(huì)是生的又不會(huì)烤焦？（這個(gè)問(wèn)題和烙餅時(shí)間的快慢有關(guān)，問(wèn)得太好了）

師：每面大約3分鐘。

這時(shí)很多人舉手搶著說(shuō)：“一共要幾分鐘？”

師：現(xiàn)在把這個(gè)任務(wù)交給你來(lái)完成，你需要幾分鐘？”

生：烙1張餅要6分鐘，3張餅就要18分鐘。

生：先2張餅一起烙用6分鐘，再烙1張餅用6分鐘，正好12分鐘。

生：3張餅一起烙的話只要6分鐘。

生：我知道2張餅一起烙的話也不用12分鐘，只要9分鐘。

同樣是烙3張餅，為什么有人需要的時(shí)間長(zhǎng)一些，有人需要的時(shí)間短一些？

生：我每次只烙1張餅，他們每次烙2張餅、3張餅，他們肯定比我快了！

生：對(duì)啊，想要速度快，就要往鍋里多放幾張餅！

讓學(xué)生經(jīng)歷上面幾番交流與分享，促使學(xué)生主動(dòng)思考、收集解決烙餅問(wèn)題的各方面數(shù)據(jù)，初步體驗(yàn)到影響烙餅速度的關(guān)鍵因素是每次最多烙幾張餅，這一因素也是突破“烙3張餅最優(yōu)方案”教學(xué)難點(diǎn)的關(guān)鍵因素。

二、體驗(yàn)解決烙餅問(wèn)題策略的多樣性，為尋找最優(yōu)方案搭架子

接著上面的話題，為了保證比賽的公平公正，老師規(guī)定每次最多只能烙2張餅。此時(shí)板書(shū)可見(jiàn)右圖。

賽前準(zhǔn)備：用圓片表示餅，標(biāo)出1、2、3號(hào)；自主選擇實(shí)驗(yàn)單記錄烙餅方案。

比賽要求：模擬計(jì)時(shí)開(kāi)始后，學(xué)生用圓片擺一擺，并在實(shí)驗(yàn)單上寫(xiě)一寫(xiě)或者畫(huà)一畫(huà)，把自己的烙餅方案表達(dá)出來(lái)。

裁判口令：第一鍋開(kāi)始——3分鐘到，第二鍋開(kāi)始——3分鐘到，……

比賽結(jié)束后，比賽成績(jī)自然分成兩組，一組快，用時(shí)9分鐘；一組慢，用時(shí)12分鐘。比賽贏的一組學(xué)生在心理上獲得極大滿足，領(lǐng)悟到優(yōu)化思想的優(yōu)越性；比賽輸?shù)囊唤M學(xué)生自然很沮喪，經(jīng)歷那落后的3分鐘比實(shí)際的3分鐘更加漫長(zhǎng)，他們的心理觸動(dòng)并不亞于贏的同學(xué)，他們會(huì)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)自發(fā)地警醒自己這一次的疏忽，更加自主地探究新問(wèn)題。

數(shù)學(xué)課標(biāo)要求，學(xué)生只要能從解決問(wèn)題的多種方案中尋找出最優(yōu)的方案，初步體會(huì)優(yōu)化思想的應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生一看到問(wèn)題就能從優(yōu)化的角度給出最優(yōu)的方案。組織這次比賽，不僅很好地體現(xiàn)了新課程提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念，而且尋找解決烙餅問(wèn)題最優(yōu)方案自然地成為了學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的內(nèi)部需求。

三、分享方案，比較辨析，明確烙餅問(wèn)題最優(yōu)方案的關(guān)鍵

烙餅問(wèn)題的教學(xué)難點(diǎn)在于如何讓學(xué)生在具體問(wèn)題的解決中感悟抽象的優(yōu)化思想，如何讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程呢？筆者有目的地收集整理學(xué)生的實(shí)驗(yàn)單（如下圖）：

先按上面布局展示學(xué)生的烙餅方案，請(qǐng)學(xué)生各自說(shuō)一說(shuō)自己的烙餅方法及所用時(shí)間。然后引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察不同表現(xiàn)手法的圖表，比較左右兩列烙餅方案，快慢雙方派出學(xué)生代表組織辯論：為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？每次總烙幾張餅最省時(shí)間？如何保證鍋里一定有2張餅？哪種方法比較合理？通過(guò)烙餅方案的直觀展示與學(xué)生之間的辯論分享，整理成表格如下：

[餅數(shù) 每面

時(shí)間 烙餅方法 烙餅

次數(shù) 最少

時(shí)間 1 3分鐘 【① 】【① 】 2次 3×2=6

（分鐘） 2 3分鐘 【①②】【①②】 2次 3×2=6

（分鐘） 3 3分鐘 【①②】【②③】【③①】 3次 3×3=9

（分鐘） ]

引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察表格內(nèi)容，學(xué)生能夠輕而易舉地抽象概括出“只有保持鍋里始終有2張餅，不讓鍋空出來(lái)，這樣做最省時(shí)間”，而且要保證鍋里總是有2張餅，就是不能把①②兩張餅同時(shí)烙完，因?yàn)棰厶?hào)餅的正反面不可能同時(shí)放進(jìn)一個(gè)鍋里。最后引導(dǎo)學(xué)生一起抽象概括出烙3張餅的最優(yōu)方案的數(shù)學(xué)模型：【①②】【②③】【③①】

教師指著上面的表達(dá)式，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：“【 】”表示什么？數(shù)字①②③為什么都要出現(xiàn)兩次？使學(xué)生進(jìn)一步理解烙餅問(wèn)題的最優(yōu)方案及數(shù)學(xué)符號(hào)表示的意義，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

四、變式活動(dòng)，類比歸納，對(duì)優(yōu)化思想的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)

滲透“優(yōu)化思想”一定要讓學(xué)生經(jīng)歷自主體驗(yàn)和反思頓悟的過(guò)程。雖然學(xué)生經(jīng)歷了自主探索和合作交流的過(guò)程，初步體驗(yàn)到了“優(yōu)化思想”在解決問(wèn)題中的優(yōu)越地位，但是這種體驗(yàn)是膚淺的，“優(yōu)化思想”在學(xué)生的思維中還是不穩(wěn)定的。因此，筆者添加了情境：上午，爸爸要復(fù)印一份有3張A4紙的文件，兩面都要復(fù)印，每面復(fù)印需要10秒，復(fù)印機(jī)一次最多能放2張A4紙，怎樣安排最省時(shí)間？最少需要多少秒？讓學(xué)生把復(fù)印方法最快的方案寫(xiě)在白紙上面。交流時(shí)展示兩種簡(jiǎn)單的記錄方案：

生1：【①②】【②③】【③①】

30×3=90（秒）

生2：

30×3=90（秒）

再一次請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“【 】”表示什么，數(shù)字①②③為什么都要出現(xiàn)兩次？生2的方案中為什么沒(méi)有標(biāo)出編號(hào)？需要40秒復(fù)印完的學(xué)生為什么慢了？通過(guò)學(xué)生之間的反思與交流，組織學(xué)生體驗(yàn)在不同情境中抽象出相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)一步理解烙餅問(wèn)題的最優(yōu)方案，使學(xué)生對(duì)優(yōu)化思想的認(rèn)識(shí)不斷地實(shí)現(xiàn)同化與順應(yīng)。

“去具體情境抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)”對(duì)于很多學(xué)生來(lái)講有很大難度，但這恰恰是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容之一，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷足夠數(shù)量的實(shí)踐應(yīng)用，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累到一定程度才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組與優(yōu)化，從而使烙餅問(wèn)題中的優(yōu)化思想成為學(xué)生思想意識(shí)中固有的思維定勢(shì)。為此，筆者再一次增添情境：中午，一家三口來(lái)到一家小餐館，他們每人點(diǎn)了兩個(gè)菜，假設(shè)兩位廚師做每個(gè)菜的時(shí)間都是3分鐘，應(yīng)該按怎樣的順序炒菜？這個(gè)問(wèn)題與前面兩個(gè)問(wèn)題有所不同，同一個(gè)人的兩個(gè)菜是可以由兩位廚師同時(shí)分開(kāi)炒的，所以學(xué)生的炒菜方案出現(xiàn)了爭(zhēng)議：

生1：【①②】【②③】【③①】

生2：【①②】【①②】【③③】

生3：【①①】【②②】【③③】

筆者合理利用學(xué)生的生成資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較辨析：這三種炒菜方案所用時(shí)間相等，如果你是這三個(gè)人中的③號(hào)，你會(huì)要求廚師采用哪種方案的順序炒菜？說(shuō)說(shuō)你的理由。設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題，目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行換位思考，是讓學(xué)生跳出“最省時(shí)間”的思考角度，站在“等候時(shí)間”的角度再度審視炒菜方案，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)第一個(gè)方案是最優(yōu)方案，理由是第一個(gè)方案中第三個(gè)人等到第一個(gè)菜的時(shí)間最短。

生1：

[ ① ② ③ 等候第一個(gè)菜 3分鐘 3分鐘 6分鐘 等候第二個(gè)菜 9分鐘 6分鐘 9分鐘 ]

生2：

[ ① ② ③ 等候第一個(gè)菜 3分鐘 3分鐘 9分鐘 等候第二個(gè)菜 6分鐘 6分鐘 9分鐘 ]

生3：

[ ① ② ③ 等候第一個(gè)菜 3分鐘 6分鐘 9分鐘 等候第二個(gè)菜 3分鐘 6分鐘 9分鐘 ]

解決炒菜問(wèn)題，不僅需要考慮炒菜時(shí)間最省模式，還要考慮等候時(shí)間最短模式，作為店主還可以關(guān)注飯店的客流量等，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的引領(lǐng)下，我們不僅要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，更應(yīng)該幫助他們逐步學(xué)會(huì)更全面、更深入地去進(jìn)行思考，由理性思維逐步走向理性精神。

五、情境拓展，了解優(yōu)化思想具有相對(duì)性，初步體驗(yàn)具體問(wèn)題具體分析的方法

有意義的學(xué)習(xí)都是遵循“從實(shí)踐中來(lái)，到實(shí)踐中去”，想讓數(shù)學(xué)優(yōu)化思想根植于學(xué)生的思想深處，就必須讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐的檢驗(yàn)。因此，筆者再一次返回早餐情境：“如果烙4張餅、5張餅、6張餅、7張餅……呢？”“你發(fā)現(xiàn)了什么？”在組織學(xué)生同伴合作探究，充分地猜想、推理、驗(yàn)證后，把表格填寫(xiě)完整：

[餅數(shù) 每面

時(shí)間 烙餅方法 烙餅

次數(shù) 最少時(shí)間 1 3分鐘 【① 】【① 】 2次 3×2=6

（分鐘） 2 3分鐘 【①②】【①②】 2次 3×2=6

（分鐘） 3 3分鐘 【①②】【②③】【③①】 3次 3×3=9

（分鐘） 4 3分鐘 【①②】【①②】【③④】【③④】 4次 3×4=12（分鐘） 5 3分鐘 【①②】【①②】

【③④】【④⑤】【⑤③】 5次 3×5=15（分鐘） 6 3分鐘 【①②】【①②】【③④】【③④】

【⑤⑥】【⑤⑥】 6次 3×6=18（分鐘） 7 3分鐘 【①②】【①②】【③④】【③④】

【⑤⑥】【⑥⑦】【⑦⑤】 7次 3×7=21（分鐘） ]

在學(xué)生交流自己的方案中，出現(xiàn)了下面這些亮點(diǎn)：

“4張餅輪流烙與2張2張地烙，都是12分鐘完成?！?/p>

“餅數(shù)是雙數(shù)的時(shí)候，2張2張地烙餅，鍋里總是有2張餅，一定是最省時(shí)間的?！?/p>

“餅數(shù)是單數(shù)時(shí)，為了保證鍋里總是有2張餅，一定要有3張餅輪流烙?！?/p>

“如果輪流烙餅，從第6分鐘起，每隔3分鐘完成1張餅；如果2張2張地烙餅，每隔6分鐘完成2張餅，間隔時(shí)間比較長(zhǎng)?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)的這點(diǎn)非常重要，因?yàn)樵趯?shí)際等候過(guò)程中，每隔3分鐘吃到餅與每隔6分鐘吃到餅是完全不同的兩個(gè)時(shí)間概念，不僅等候時(shí)間比較長(zhǎng)，而且等候的人心里會(huì)特別著急。因此，在實(shí)際生活中，我們除了考慮烙餅人的最少時(shí)間以外，還可以考慮排隊(duì)等候、吃餅速度等其他因素，多方面考慮問(wèn)題選擇烙餅的最優(yōu)方案。

在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，筆者逐步引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出烙餅時(shí)間最省的方案：

當(dāng)餅數(shù)是雙數(shù)時(shí)，可以2張2張地烙；當(dāng)餅數(shù)是單數(shù)時(shí)，先2張2張地烙，最后3張餅輪流烙；最省時(shí)間=每面時(shí)間×（最少烙餅次數(shù)）。

臨近下課，筆者用課件呈現(xiàn)兩個(gè)更大一些的鍋，話鋒一轉(zhuǎn)：“如果鍋里最多能放3張餅或4張餅，要烙7張餅，怎樣才能盡快吃上餅？”學(xué)生一下子炸開(kāi)了窩，各種方案搶著說(shuō)，并且為了證明自己的烙餅方案最優(yōu)，不停地尋找理由舉證，力圖說(shuō)服對(duì)手，好一番濃厚的數(shù)學(xué)研究氛圍……課堂探究用的情境是老師為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維精心設(shè)計(jì)的，實(shí)際生活卻是變幻無(wú)常的，只有讓學(xué)生體驗(yàn)到更復(fù)雜的情境，才能讓學(xué)生逐步養(yǎng)成具體問(wèn)題具體分析的思考習(xí)慣，才能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)優(yōu)化思想運(yùn)用的關(guān)鍵因素，更加全面地、深入地進(jìn)行思考，設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案。

（浙江省紹興市北海小學(xué)教育集團(tuán) 312000）