帶有多點邊值的分數(shù)階微分包含解的Filippov型存在性定理

楊丹丹

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 淮安市 223300)

1 引言和引理

分數(shù)階微分方程是整數(shù)階微分方程的推廣,在物理學(xué)、人口動力學(xué)、經(jīng)濟、流體力學(xué)、生物數(shù)學(xué)、醫(yī)藥學(xué)等研究領(lǐng)域,有著廣泛的應(yīng)用。有關(guān)分數(shù)階微分和積分的基本概念、計算和應(yīng)用,已有兩本專著[12,13]。近年,分數(shù)階微分方程解的存在性研究受到越來越多的數(shù)學(xué)工作者的廣泛關(guān)注[5,8,9,14]。2016年,Houas和Dahmani在參考文獻[8]中研究了帶有多點邊值條件的分數(shù)階微分方程:

(1)

其中1<α2,0

最近,分數(shù)階微分包含有很多結(jié)果發(fā)表。例如,Ahmad、Ntouyas[2],Henderson、Ntouyas、Etemad[10],楊[15]。據(jù)筆者所知,現(xiàn)有文獻中,有關(guān)分數(shù)階微分包含解的Filippov型存在性定理結(jié)果并不多見[3,11],為了彌補這方面的不足,受上述參考文獻啟發(fā),本文將給出如下帶有多點邊值條件的分數(shù)階微分包含(2)解的Filippov型存在性定理：

Dαy(t)∈F(t,y(t)),t∈[0,T],T>0,

(2)

其中1<α2,0

我們假設(shè)讀者熟知分數(shù)階微分方程理論[12,13]}和多值映射理論[1,7,10]。為方便起見,給出證明主要結(jié)果所用的一些定義、記號和引理。

定義1([13]) 函數(shù)u:(0,)→R,α-分數(shù)階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

n=[α]+1,假設(shè)等式右側(cè)在(0，)上逐點有定義。

對于賦范空間(X,||.||),令Pcp(X)={Y∈Ρ(X):Y是緊的},Ρcp,c(X)={Y∈Ρ(X):Y是緊凸的}。對于每個y∈C([0,T],R)y∈C([0,1],R),定義F的選擇集合為SF,y:={v∈L1([0,T],·):v(t)∈F(t,y(t))a.e.t∈[0,T]}。

令(X,d)是由賦范空間(X,||.||)引進的度量空間?？紤]Hd:Ρ(X)×Ρ(X)→R∪{}定義如下：

顯然,Ρcl(X,Hd)是一個廣義度連量空間[9]。

為了證明主要結(jié)果,需要以下兩個引理。

引理2([7]) 令E是一個可分的度量空間,G是一個有非空閉值的多值映射,則G存在一個可測選擇。

引理3([11]) 令G:[0,b]→Pcl(R)是一個可測的多值函數(shù),u:[0,b]→R是一個可測函數(shù)。假設(shè)存在p∈L1(J,R)使得G(t)?p(t)B(0,1),其中B(0,1)表示在R中的一個閉球。

則存在G的一個可測選擇g,使得

|u(t)-g(t)|d(u(t),G(t)),a.e.t∈[0,b],

2 主要結(jié)果

列出本文的假設(shè)條件:

(A1)函數(shù)F:[0,T]×R→P(R)使得

(i)對于所有的y∈R，映射t→F(t,y)是可測的,

(ii)γ：t→d(g(t),F(t,x(t)))是可測的。

(A2)存在一個函數(shù)p∈L1([0,T],R+)使得

Hd(F(t,z1),F(t,z2))p(t)|z2-z1|,z1,z2∈R,

以下的引理關(guān)于(2)的單值問題的解。

Dαx(t)=g(t),

(3)

存在唯一解

下面,將給出關(guān)于分數(shù)階微分包含邊值問題(2)解存在的Filippov型定理。

為方便起見,給出以下記號:

定理1假設(shè)(A1)-(A2)成立。若存在一個函數(shù)p∈L1(J，R+)，使得d(g(x(t))，F(xiàn)(t，x(t)))

則問題(2)至少存在一個解y(t)a.e.t∈(0,T),有|y(t)-x(t)|ρ0(t),并且

|Dαy(t)-g(t)|H0(t)p(t)+γ(t)。

其中

ρ0(t)=H0||Iαp||*+||γ||

并且

||γ||。

證明

令f0=g,y0(t)=x(t),

定義多值映射

U1：(0,T)→P(R),U1(t)=F(t,y0(t))∩(g(t)+γ(t)B(0，T))

因為g,γ是可測的,由[4]中定理III.4.1,球g(t)+γ(t)B(0,T)是可測的。

進而,F(t,y0(t))是可測的,我們要證U1是非空的。容易得

d(0,F(t,0))d(0,g(t))+d(g(t),F(t,y0(t)))+Hd(F(t,y0(t)),F(t,0))

|g(t)|+γ(t)+p(t)|y0(t)|,a.e.t∈(0,T),

(4)

因此,對于所有的ω∈F(t,y0(t)),有

|ω|d(0,F(t,0))+Hd(F(t,0),F(t,y0(t)))

|g(t)|+γ(t)+2p(t)|y0(t)|:=M(t),t∈(0,T),

這意味著

F(t,y0(t))?M(t)B(0,T),t∈(0,T),

由引理3,存在一個函數(shù)u是F(t,y0(t))的一個可測選擇,使得

|u(t)-g(t)|d(g(t),F(t,y0(t))):=γ(t),

則u∈U1(t)。我們推出多值算子U1是可測的,見[1]。由引理2,存在一個函數(shù)f→f1(t)是U1(t)。的一個可測選擇?？紤]

對于t∈(0,T),有

由文獻[6]中的引理1.4,F(t,y1(t))是可測的。由文獻[4]中的定理III.4.1,球{f1(t)+p(t)|y1(t)-y2(t)|B(0,T)}也是可測的。集合

U2(t)=F(t,y1(t))∩(f1(t)+p(t)|y1(t)-y0(t)|B(0，T))

是非空的。事實上,由于f1是一個可測函數(shù),由引理2,存在F(t,y1(t))的可測選擇u,使得

|u(t)-f1(t)|d(f1(t),F(t,y1(t)))。

由假設(shè)條件，有

|u(t)-f1(t)|d(f1(t),F(t,y1(t)))Hd(F(t,y0(t)),F(t,y1(t)))p(t)|y0(t)-y1(t)|。

即,u∈U2(t)。

由于多值算子U2可測(見[4]),存在一個可測選擇f2∈U2(t)。因此,

|f1(t)-f2(t)|p(t)|y1(t)-y0(t)|。

定義

則有

令

U3(t)=F(t,y2(t))∩(f2(t)+p(t)|y2(t)-y1(t)|)B(0，T)

類似對U2的討論,可證明U3是一個非空可測的;故存在一個可測選擇f3∈U3(t)。

接下來,定義

類似地有

|y3(t)-y2(t)|δζ2,

重復(fù)以上的過程n=0,1,2,3,...,我們得到下面的一個估計

|yn(t)-yn-1(t)|δζn-1,t∈(0,T),

(5)

如下用歸納法證明。假設(shè)(5)對于n成立,我們驗證(5)對于n+1成立。令

Un+1(t)=F(t,yn(t))∩(fn(t)+p(t)|yn(t)-yn-1(t)|)B(0,T)。由于Un+1非空可測集合,存在一個可測選擇fn+1∈Un+1,對于n∈N,定義

因此,t∈(0,T),我們得

于是,

|yn+1(t)-yn(t)|δζn,

綜上所述,(5)對于所有的n∈N都成立。我們斷言{yn}是PC=(C(0,T),R)中的一個收斂到y(tǒng)∈PC的Cauchy列,由{Un}的定義,我們得到

|fn+1(t)-fn(t)|p(t)|yn(t)-yn-1(t)|,a.e.t∈(0,T),

因此,fn(t)也是R中的一個Cauchy列,且?guī)缀跆幪幨諗坑赗中的某個可測函數(shù)f。另外,因為f0(t)=g可以得到

因此,

|fn(t)|H0p(t)+γ(t)+|g(t)|.

于是,我們得到

定義

由Lebesgue控制收斂定理,

|yn(t)-h*(t)|→0,n→。

因此，

是(2)的一個解,y∈S(0,T)(a),另外,a.e.t∈{0,T},

|x(t)-y(t)|

n→,取極限,有

|x(t)-y(t)|

以下,t∈{0,T},我們估計|Dαy(t)-g(t)|有

|Dαy(t)-g(t)|=|f(t)-f0(t)+|fn(t)-f0(t)|

當(dāng)n→,取極限,有

|Dαy(t)-g(t)|=H0(t)p(t)+γ(t)。

參考文獻:

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