浮體的平衡與穩(wěn)定性研究分析

王宏飛 曾昕萌 劉 濤 李株丹

(華北水利水電大學， 河南 鄭州 450046)

0 前言

人類對浮體的平衡和穩(wěn)定問題很感興趣，在古歐洲文明中阿基米德就在其論著中對浮體在液體中的平衡和穩(wěn)定性作了系統(tǒng)的研究，斯蒂文也曾判定浮體排開液體的重心和浮體的重心應該在一條直線上，但錯誤判斷為排開液體的重心應該在浮體的重心之上，否則就會翻轉(zhuǎn)180度，惠更斯用數(shù)學方法對浮體的平衡性和穩(wěn)定性進行了研究，認為浮體位置發(fā)生變化而轉(zhuǎn)換到另外一個位置時，其重心和浮心的高度差將減小。歐拉和柏努力也都對浮體的穩(wěn)定和平衡性作過細致的研究，并重新定義了小擾動和力矩恢復的概念，布格則在世界上首次對定傾中心作了定義，在現(xiàn)代科學領(lǐng)域定傾中心已經(jīng)成為判定浮體穩(wěn)定和平衡的一個重要參數(shù)，并在水利工程設(shè)計中得到了大范圍的應用。

1 浮體的平衡和穩(wěn)定性分析

在實際應用中，在一些科技文獻中對定傾中心的概念定義比較模糊，例如，有的科技工作者認為浮體一旦發(fā)生細微變化，浮軸和浮力的作用線在一個固定點上相交，也有的科學家認為只有在實驗室中上述兩條直線才可能在一個固定點上相交；另外，用力系簡化方法研究分析定傾高度的方法也不夠科學嚴謹，有人甚至對穩(wěn)定性的判定條件分析都出現(xiàn)了錯判，帶著這些問題作者翻閱了大量的中外科技文獻，并結(jié)合了具體的案例對定傾中心概念作了明確的定義，對浮體的穩(wěn)定性和平衡性作了判別，最終提出了用定傾高度判定浮體是否穩(wěn)定的科學依據(jù)。

假設(shè)浮體的比重一旦低于水的比重，那么就會發(fā)生有的物體部分露出水面同時漂浮在水中，滿足這些條件這種物體則稱為浮體，浮體在水中平衡則要滿足兩個條件：第一、浮心和浮體的重心的連線和水平面相垂直。第二、浮體的重量等于水的浮力。如圖1（a）所表現(xiàn)，浮體平衡位置也要能夠保證一些穩(wěn)定條件。如圖1（b）所示，一個長方形的物體在豎立和平衡位置時，外界因素對其進行了干擾，左邊物體的重力和浮力阻礙了物體失衡的因素，因此平衡沒有被打破，而重力和浮力導致右邊的物體發(fā)生偏移，因此其平衡是不穩(wěn)定的，以下對浮體平衡和穩(wěn)定的條件進行研究分析。

圖1 浮體的平衡

假設(shè)浮體有一個虛擬的對稱面，受外界因素干擾平衡位置會發(fā)生變化，浮體上每一個點相對于對稱面作平行運動，浮體不受鉛直擾動的干擾，而水平運動則會干擾浮體，如果考慮浮體穩(wěn)定性會受到轉(zhuǎn)動方向的影響，那么就可以把浮體在平衡狀態(tài)下與水平面的相交面定義為浮面，并可以記作S。如圖2所示可以建立一個浮體坐標系，并把浮面的重心定義為原點，并把浮面與對稱面的相交直線定義為浮線，并定義為X軸。浮軸Y軸垂直向上，Z軸與X軸、Y軸正交，圖2中陰影部分微元體的體積分：

因為Z軸是通過S形心的主軸，所以（1）式成立，即浮體圍繞Z軸發(fā)生動作時，浮體排開水的體積不發(fā)生改變，其受到的作用力也不發(fā)生變化。

平衡位置一旦受到外界干擾發(fā)生細小的變化，水覆蓋浮體的位置也會受到影響而發(fā)生變化，受到的浮力也會發(fā)生改變，浮心的位置也會發(fā)生變化，杜賓定律表明，過D點的水平線是浮心曲線在這個點的切線，浮力作用線是浮心曲線在該點的法線，當D點和于Do點無限接近時，浮力作用線和直線Z的交點接近于該直線上的一個固定點，這個點被定義為定傾中心，如圖1（b）所示，若浮體重心在定傾中心之下，浮力和重力形成了一個恢復力矩，浮體平衡穩(wěn)定，若浮體重心在定傾中心之上，他們的力矩是排斥的，則不能保持穩(wěn)定。如圖2所示，定傾中心和浮力重心的高度差被定義為定傾高度，當高度為正時，浮體平衡保持穩(wěn)定，若高度為負時，浮體失衡。

圖2 定傾中心與浮心

如圖2所示，以Do為坐標原點，建立直角坐標系，其中X1軸、Y1軸和X軸、Y軸平行且方向相同，則D點坐標如下：

其中，Iz為平衡時的慣性矩，V為排開水的體積，由式（2）得

其中，do為浮心曲線的弧長，得

例1如圖3（a）所示，在水面上漂浮一個正方形，可以嘗試判定浮體是否平衡

解法1：假設(shè)木塊達到平衡后的吃水深度為b,由平衡條件（i）得

由式（5）得

由式（6）得

2 浮心曲線研究

如果正方形有兩個點被水覆蓋時，浮心曲線是一條拋物線H（圖4），曲率中心的運動軌跡有一個頂點M，浮體的重心到浮心曲線任一條法線對應一個平衡點，對某一平衡位置而言，假設(shè)浮體重心在浮心和定傾中心之間，浮體排開水的勢能為最小值，則平衡是穩(wěn)定的，假設(shè)浮體重心在浮心和定傾中心之外，浮體排開水的勢能為最大值，則平衡是不穩(wěn)定的，浮心曲線是封閉的，浮心曲線到浮體重心法線可以判定浮體是否穩(wěn)定，在這種環(huán)境下兩者之間的距離為一個極限值，每一個浮體都會有一個穩(wěn)定和一個不穩(wěn)定的狀態(tài)，并且是相互分離的。

3 結(jié)論

上文所研究的僅僅是浮體一個方向晃動穩(wěn)定性的問題，如果研究的是海上船只這種三維浮體，在把環(huán)境因素考慮進去，那么這就形成了一個復雜的問題。這些問題已然成為非線性動力學所探究的層次，我們對附體研究可以說是忠實的粉絲，這個探究從未中斷過。而且方法和興趣絲毫沒有減弱，不僅僅增加了人類對大自然的認知，而且也加大了對大自然的掌控。

[1]劉德剛.非粘性流體力學.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社,2012.

[2]魏小青.浮體的力學研究》.上海：復旦大學出版社,1999.