改進(jìn)點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)的策略研究

吉 蕾

(晉中學(xué)院數(shù)理學(xué)院，山西晉中030600)

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多分支中，點(diǎn)集拓?fù)涫且婚T基礎(chǔ)學(xué)科，同時也是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，它的理論和方法在數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科中應(yīng)用廣泛，同時也為其他一些相關(guān)學(xué)科提供了研究方法和語言。點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)有助于構(gòu)建學(xué)生的學(xué)科知識結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、提高其分析問題和解決問題的能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究近代數(shù)學(xué)奠定必要的基礎(chǔ)。作為一門理論性較強(qiáng)的學(xué)科，點(diǎn)集拓?fù)鋬?nèi)容抽象難懂，學(xué)生普遍反映這門課程概念難以理解，內(nèi)容枯燥乏味，方法不易掌握。加上近年來由于教學(xué)計劃和課程體系不斷改進(jìn)，其課時數(shù)也在逐漸減少。因此如何在課堂上充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，如何讓學(xué)生掌握該課程的理論與方法，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，是我們亟待解決的現(xiàn)實(shí)問題。本文從教學(xué)存在的問題出發(fā)，針對我校點(diǎn)集拓?fù)涞膶?shí)際教學(xué)情況，提出了幾點(diǎn)改進(jìn)意見。

1 點(diǎn)集拓?fù)涞慕虒W(xué)現(xiàn)狀

點(diǎn)集拓?fù)涫窃趯W(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和能力之后開設(shè)的一門理論性較強(qiáng)的課程，一般安排在大三第二學(xué)期或大四第一學(xué)期開設(shè)，它和數(shù)學(xué)系本科專業(yè)的其他課程不同，基本沒有可計算的內(nèi)容，知識點(diǎn)高度抽象，邏輯性較強(qiáng)。學(xué)科內(nèi)容上先介紹基本概念，然后是對相關(guān)定理、推論及證明的學(xué)習(xí)，教材舉例也較少，即使舉例也較抽象，遠(yuǎn)離實(shí)際生活。國內(nèi)大部分院校都采用講授法，基本上以教材和講解為中心，學(xué)生學(xué)習(xí)知識比較被動，形式古板，方法單一，課堂氣氛不活躍，師生之間缺少互動，這樣必然導(dǎo)致學(xué)生“上課抄講義，下課背講義”“考試背筆記，考后全忘記”。通過對我校學(xué)生的調(diào)查走訪，大部分學(xué)生對這門課程不感興趣，學(xué)習(xí)熱情不高。他們對課程內(nèi)容理解不深，只學(xué)會了具體的知識，并沒有系統(tǒng)掌握點(diǎn)集拓?fù)涞乃枷敕椒霸?。學(xué)生們覺得這門課程概念太抽象、難以理解，即使聽懂了也是一知半解，對于課后題目更無從下手，有時為了應(yīng)付考試只能死記硬背，覺得學(xué)無所用，更談不上知識的應(yīng)用和能力的培養(yǎng)，教與學(xué)嚴(yán)重分離，更遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離教學(xué)目標(biāo)。

2 改進(jìn)教學(xué)現(xiàn)狀的策略研究

2.1 切實(shí)提高學(xué)科趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)點(diǎn)集拓?fù)涞呐d趣

俗話說：“興趣是最好的老師。”學(xué)生一旦有了興趣，就會產(chǎn)生學(xué)好點(diǎn)集拓?fù)涞闹苯觿恿?。首先，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師起關(guān)鍵作用。教師是課堂活動的組織者、引導(dǎo)者，教師在課堂上應(yīng)體現(xiàn)對這門課程的感情，充分體現(xiàn)對知識的認(rèn)識和追求，以此感染學(xué)生。教師在課堂上若全身心投入，富有激情的講課取代照本宣科，學(xué)生就會被教師的情緒所感染，隨著問題深入所產(chǎn)生的喜悅感油然而生，學(xué)習(xí)興趣也逐漸增強(qiáng)。其次，要以學(xué)生為主體，根據(jù)具體學(xué)情來設(shè)計課程。比如富于啟迪的“緒論課”。由于這門課程比較抽象難懂，而且“拓?fù)鋵W(xué)”這個詞學(xué)生之前雖然聽過但并不了解，所以，一開始并不要急于介紹課本上的理論知識，而應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，上一堂富于啟迪的“緒論課”，可起到事半功倍的效果。緒論課上，通過幾個有趣的例子，比如一筆畫、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想、Euler數(shù)[1]等，讓學(xué)生思考并聯(lián)系過去學(xué)過的幾何問題，討論其不同點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)分析總結(jié)這類問題的特點(diǎn)，進(jìn)而提出這門課程的研究對象及中心任務(wù)。緊接著介紹拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷程、拓?fù)鋵W(xué)的分支學(xué)科等，通過科學(xué)史的介紹，不僅使學(xué)生了解了拓?fù)鋵W(xué)的由來和發(fā)展趨勢，而且培養(yǎng)了他們的歷史意識和發(fā)展意識。以這樣的方式開始點(diǎn)集拓?fù)涞膶W(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生有一個初步的感性認(rèn)識，避免了恐懼心理，而且增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的主觀能動性。

2.2 注重概念的形成過程，提高學(xué)生的抽象思維能力

2.2.1 利用對比和類比法突出概念的本質(zhì)與聯(lián)系

概念是抽象思維的起點(diǎn)，點(diǎn)集拓?fù)涞拿恳粋€定理、推論、性質(zhì)都是在概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過推導(dǎo)而獲得的。所以在這門課程的教學(xué)中，應(yīng)注重概念的講解。如果直接介紹概念，學(xué)生會認(rèn)為這門課內(nèi)容空洞乏味。但若對比已有的知識來提出新概念，學(xué)生會認(rèn)識到點(diǎn)集拓?fù)涞母拍畈皇翘焐贤蝗坏粝聛淼?，而是由于解決問題的需要，并在已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上自然而然引入的，是合情合理的。

例如，在學(xué)習(xí)度量空間之間映射在一點(diǎn)連續(xù)的定義時，我們不妨從數(shù)學(xué)分析中函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義出發(fā)，即對任意的，存在使得當(dāng)時，有經(jīng)由度量概念抽象為實(shí)數(shù)空間的球形鄰域的形式，即對于任意的存在時，便有進(jìn)而把這種形式推廣到任意兩個度量空間之間，這樣，度量空間之間映射在一點(diǎn)連續(xù)的定義自然推得，同時也易于學(xué)生的接受。

又如，可以通過對比數(shù)學(xué)分析中數(shù)列的性質(zhì)，來進(jìn)行拓?fù)淇臻g中序列的學(xué)習(xí)。通過分析共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，學(xué)生便理解了為什么在一般的拓?fù)淇臻g中需要通過開集來刻畫映射的連續(xù)性，而不能用序列收斂的性質(zhì)，即極限來刻畫。通過這種形式，學(xué)生感受到點(diǎn)集拓?fù)渲懈拍畹男纬蛇^程，理解了它們都是從實(shí)數(shù)空間出發(fā)，通過不斷抽象而形成的，不會再覺得這些概念無中生有，理解起來也游刃有余，大大提高了學(xué)習(xí)的積極性。

2.2.2 抽象思維與形象思維相結(jié)合，充分體現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)涞膸缀涡?/p>

作草圖是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的手段和方法，在教學(xué)中為了更好地解釋所講的概念和內(nèi)容，可以用作草圖的方式來進(jìn)行講解。比如拉格朗日中值定理、定積分的定義等都可以借助直觀圖形來講解，這樣學(xué)生不僅能深刻理解和掌握所學(xué)知識，同時抽象思維與形象思維相結(jié)合又能提高學(xué)生的邏輯思維能力。由于高度的抽象性，點(diǎn)集拓?fù)浯蟛糠指拍罨騼?nèi)容不能通過直觀圖形來描述，盡管它是一門幾何學(xué)，但是我們可以“把某個概念或內(nèi)容看作或想象成某圖形”[2]，這樣學(xué)生可以通過具體圖形來建立相關(guān)概念，同時還能克服厭學(xué)情緒，提高學(xué)習(xí)積極性。

例如在講凝聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)概念時，可以借助歐氏平面上相應(yīng)的圖形來直觀的解釋。開集的概念可使用開圓來作例子，講到同胚概念時可以形象地說成是一塊橡皮泥X在不允許隔斷的情況下捏成另一塊橡皮泥 Y。同時還可借助數(shù)學(xué)軟件展現(xiàn)一些圖形，例如圓柱面、環(huán)面、Mobius帶、Klein瓶等，從而解決有些學(xué)生因缺乏空間結(jié)構(gòu)意識和空間想象力而造成的理解困難，提高了課堂效率。點(diǎn)集拓?fù)渲庇^形象的教學(xué)手段受到其課程特點(diǎn)的限制，如何使其多樣化，需要我們在具體教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)和發(fā)現(xiàn)。使得當(dāng)

2.2.3通過舉例深刻理解概念的本質(zhì)和內(nèi)涵

由于點(diǎn)集拓?fù)渌婕暗母拍罘浅３橄?，在講完概念之后大多數(shù)學(xué)生只了解其內(nèi)容并沒有理解其本質(zhì)。在教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生聽懂了所講的內(nèi)容但不會做題的現(xiàn)象，這直接影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，究其根本原因還是沒有對所講概念充分理解。例如，在介紹拓?fù)浜屯負(fù)淇臻g的概念時，如果只講定義，學(xué)生只知其然不知其所以然，教材上雖有例子但都是特殊拓?fù)淇臻g的例子，學(xué)生聽后會感覺這個概念好像是憑空想象出來的，例子是為了澄清概念而構(gòu)造出來的。其實(shí)“拓?fù)洹笔怯啥攘靠臻g中開集的性質(zhì)出發(fā)抽象而來的。在講完定義后舉例：設(shè)集合z={a，b，c}，令容易驗(yàn)證T1，T2都為集合 X 上的拓?fù)?，?X,T1)，(X,T2)作為拓?fù)淇臻g是不同的。通過這個簡單的例子，學(xué)生不僅學(xué)會了如何驗(yàn)證一個集合的子集族是否為這個集合的拓?fù)?，而且對“拓?fù)淇臻g”這個概念有了更深刻的認(rèn)識：同一個集合，賦予不同的拓?fù)渚蜆?gòu)成不同的拓?fù)淇臻g，其開集也就不同，所以在涉及拓?fù)淇臻g時，關(guān)鍵是拓?fù)洹?/p>

又如在講“關(guān)系”及相關(guān)概念時，學(xué)生一開始對這種表述形式可能有些茫然，沒有真正理解其涵義，可以通過分析例題“設(shè)集合試求R(A),R-1(B)，R的值域和R的定義域[3]”來加深學(xué)生對相關(guān)概念的理解。除此之外還可舉一些實(shí)際例子來解釋所講內(nèi)容，比如覆蓋魚身上的鱗片再多也是有限的，可以形象地來說明“緊致性”這個概念。教學(xué)過程中恰當(dāng)?shù)呐e例不僅可以幫助學(xué)生有效地理解和掌握所學(xué)的內(nèi)容，同時還可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，保證教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。

2.3 注重課程的實(shí)用價值，高觀點(diǎn)地指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

點(diǎn)集拓?fù)涫抢砉た葡嚓P(guān)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，這門課程通常是內(nèi)容多、課時短。如何在有限的課時內(nèi)既讓學(xué)生學(xué)到了知識，又培養(yǎng)了能力，為其在日后工作中學(xué)有所用，是值得思考的問題。在一般師范類院校講授點(diǎn)集拓?fù)鋾r不需要像綜合性大學(xué)，特別是重點(diǎn)大學(xué)那樣深奧，內(nèi)容也不必很多，但是要體現(xiàn)師范的特色，即建立點(diǎn)集拓?fù)渑c中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。大部分學(xué)生包括有些老師可能會認(rèn)為點(diǎn)集拓?fù)渑c中學(xué)數(shù)學(xué)沒有聯(lián)系，其內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中基本用不上，似乎只是為繼續(xù)深造的學(xué)生開設(shè)的。事實(shí)上，點(diǎn)集拓?fù)涞哪承┧枷胍讶谌氲街袑W(xué)數(shù)學(xué)教材中，一些課外讀物中也會出現(xiàn)關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的通俗知識，例如中學(xué)解析幾何的一些變換本質(zhì)上是拓?fù)鋵W(xué)中的同胚；凸多面體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系其實(shí)是拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉示性數(shù)問題；在原始社會古人為了捕到獵物把獵物圍在中間，只要獵物不沖出包圍圈就一定會被捕獲，其實(shí)是約當(dāng)曲線問題，等等。所以在講授這門課程時不能只是一味地推理證明，而應(yīng)多加思考，把中學(xué)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)思想的內(nèi)容穿插在相應(yīng)的地方介紹，這樣不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且使學(xué)生能夠用較高的觀點(diǎn)來探討分析類和幾何類中的若干問題，對日后的教學(xué)工作具有指導(dǎo)性的意義。

2.4 改革成績評定方式，注重過程性考核，全面提高學(xué)生的綜合能力

我系采取“平時成績×30%+期末成績×70%”的方式評定學(xué)生成績，且平時成績的評定隨意性較大，主要依據(jù)作業(yè)情況和出勤情況給出，基本形成期末考試定成績的局面。這就導(dǎo)致很多學(xué)生平時不加強(qiáng)學(xué)習(xí)，期末時靠死記硬背來應(yīng)付考試，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離綜合素質(zhì)培養(yǎng)的目標(biāo)和要求。因此有必要對成績評定方式加以改革，注重過程的考核，促進(jìn)學(xué)生知識、能力、素質(zhì)的全面提高。例如可以加重平時成績的比例，由30%上升為40%，考核方式也可以多樣化，除了作業(yè)完成情況和到課情況外，還可分章節(jié)設(shè)計單元測驗(yàn)，布置撰寫小論文或課程報告，組織課堂討論(也稱課堂隨機(jī)口試)，進(jìn)行有限開卷考試等?？傊瑧?yīng)從改革成績評定方式入手，注重過程的考核、能力的考核，鼓勵學(xué)生以各種方式展示自己的學(xué)識和才能，使學(xué)生把握好學(xué)習(xí)過程的每一個細(xì)節(jié)，同時作為教師，應(yīng)積極投身考試改革，不斷探索新的理論課程考核評估方式。

點(diǎn)集拓?fù)涫且婚T抽象的理論課程，如何增強(qiáng)學(xué)科趣味性，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)是值得我們深入思考的問題，這個永恒的話題，需要我們在實(shí)踐中不斷總結(jié)、豐富和完善。