關(guān)于抽樣分布定理的一個(gè)證明

馬朝忠　鄧西云　張巖

摘 要 利用實(shí)稱矩陣的性質(zhì)，根據(jù)化二次型為對標(biāo)準(zhǔn)形方法，采用代數(shù)中正交變換的方法對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)抽樣分布定理進(jìn)行了重新證明，并說明了每一步產(chǎn)生的理論依據(jù)和思想來源，使得這個(gè)定理的證明思路更加清楚，更易于接受。

關(guān)鍵詞 實(shí)對稱陣 二次型 標(biāo)準(zhǔn)形 抽樣分布

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.01.027

A Proof of Sampling Distribution Theorem

MA Chaozhong[1]， DENG Xiyun[2]， ZHANG Yan[1]

（[1] College of Science， PLA Information Engineering University， Zhengzhou， Henan 450001；

[2] Zhengzhou No.43 Middle School， Zhengzhou， Henan 450001）

Abstract According to the property of real matrix， a sample distribution theorem in probability theory and mathematical statistics is proved again by the method of quadratic form of the standard form and the method of orthogonal transformation in algebra， Theoretical basis and source of thought， making the proof of this theorem clearer and easier to accept.

Keywords symmetrical array； secondary type； standard form； sampling distribution

抽樣分布在概率論與推斷統(tǒng)計(jì)中具有承上啟下的作用，一方面，它把的抽象的概率理論實(shí)用化，成為一種可以應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)推斷的方法；另一方面，它是推斷統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)，使風(fēng)險(xiǎn)推斷具有科學(xué)的理論依據(jù)。同時(shí)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，抽樣分布定理也是區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷技術(shù)的理論根據(jù)。因此，厘清抽樣分布定理的證明思想和證明方法對于加深理解、增強(qiáng)記憶都有很大的幫助。

對于抽樣分布定理，文獻(xiàn)[1]和[2]都不同程度對給出了證明，但是在文獻(xiàn)[1]中，主要討論了期望為0的情況，文獻(xiàn)[2]則對正交化、單位化等方法的來源未作說明，同時(shí)，二者都是直接說可以通過一個(gè)正交變換來進(jìn)行證明，而把正交變換是如何得到的這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)省略了，導(dǎo)致定理的證明不易理解。針對這一問題，本文利用實(shí)稱矩陣的性質(zhì)，根據(jù)化二次型為對標(biāo)準(zhǔn)形方法，采用代數(shù)中正交變換的方法對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)抽樣分布定理進(jìn)行了重新證明，并說明了每一步產(chǎn)生的理論依據(jù)和思想來源，使得這個(gè)定理的證明思路更加清楚，更易于接受。

定理：設(shè)是來自總體 的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有

（1） ；

（2）與相互獨(dú)立。

思路：由，根據(jù)分布的定義，就是考察是否可以分解為個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和，據(jù)此，對進(jìn)行分解。

證明：設(shè)，則。

由（6）式知，是關(guān)于的二次型。由于矩陣A為實(shí)對稱陣，可知A必存在正交陣使得A可相似對角化，據(jù)此，以下利用化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換方法，化（6）式為標(biāo)準(zhǔn)形。

首先，寫出A的特征多項(xiàng)式，計(jì)算矩陣A的特征值。

得基礎(chǔ)解系，因?yàn)閷?shí)對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量必正交，所以只需要對單位化，得到。

然后，構(gòu)造正交陣P化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

令，則有。從而有使得

由于P為正交陣，則P可逆且，從而，即

亦即；又由于，，且相互獨(dú)立，所以它的線性組合也服從正態(tài)分布；根據(jù)期望的性質(zhì)，有，，因此，且相互獨(dú)立；由分布的定義，再結(jié)合（7）式可知，即。又由（3）式和（8）式有，再由（1）式可得，可以看出，只與相關(guān)。由（7）式知只與，而與相互獨(dú)立，所以 與相互獨(dú)立。

由此，文獻(xiàn)[1]，[2]中未明確指出的正交矩陣，在化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的過程中自然求得，從而使得正交陣的出現(xiàn)不再顯得突兀，也更有利于理解和接受。

參考文獻(xiàn)

[1] 梁之舜，鄧集賢等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（下）[M].北京：高等教育出版社，2003：16-19.

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[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008：111-134.