函數(shù)圖象平移求解析式的統(tǒng)一方法：順減逆加

江蘇省蘇州市吳江區(qū)笠澤實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 張 良

函數(shù)圖象的平移有何規(guī)律？如何探究這個(gè)規(guī)律？從初一到高三，從一次函數(shù)到基本初等函數(shù)再到抽象函數(shù)，從中考到高考，很多函數(shù)的知識(shí)和考試熱點(diǎn)都涉及圖象平移，但對(duì)于學(xué)生掌握而言卻是很大的難題，關(guān)鍵在于每一個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)都會(huì)有一個(gè)或多個(gè)規(guī)律解決，部分老師在教學(xué)過程中也是一味強(qiáng)求學(xué)生死記硬背，或是妄用“左加右減，上加下減”的口訣解決平移問題，不考慮學(xué)生實(shí)際解決問題時(shí)的困惑，這樣達(dá)不到教學(xué)的目的，也無法讓學(xué)生熟練掌握，更解決不了實(shí)際問題。所以筆者就從現(xiàn)實(shí)教學(xué)中諸多數(shù)學(xué)老師的教學(xué)規(guī)律中總結(jié)出一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)律——“順減逆加”，這個(gè)規(guī)律能夠解決中學(xué)階段所有函數(shù)圖象平移求解析式的問題。對(duì)于這類問題，我們先從解決這類圖象平移問題的規(guī)律來探討“順減逆加”這種方法。

一、使用一般的平移規(guī)律時(shí)帶來的困惑

1.規(guī)律一：一次函數(shù)的圖象平移，其規(guī)律可由關(guān)系式來判斷和求解，圖象向右平移時(shí)，m增大；向左平移時(shí)，m減小。圖象向上平移時(shí)，b增大，向下平移時(shí)，b減小。反之亦然。

困惑一：對(duì)于這個(gè)規(guī)律，必須是的形式，許多老師在講解這個(gè)規(guī)律的時(shí)候并不注重強(qiáng)調(diào)函數(shù)形式，這就導(dǎo)致當(dāng)函數(shù)表達(dá)式形式發(fā)生變化時(shí)，問題也隨之而至。如：一次函數(shù)的圖象是直線，求直線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后的直線方程是什么？這個(gè)時(shí)候，學(xué)生就無法用上述規(guī)律解決。

2.規(guī)律二：二次函數(shù)的圖象平移，其規(guī)律可由其頂點(diǎn)式來判斷和解決。圖象向右平移時(shí)，h增大，向左平移時(shí)，h減??；圖象向上平移時(shí)，k增大，向下平移時(shí)，k減小，反之亦然，這其實(shí)就是我們耳熟能詳?shù)目谠E“左加右減，上加下減”。

困惑二：解決二次函數(shù)平移問題必須利用頂點(diǎn)式，但實(shí)際問題中我們發(fā)現(xiàn)最常見的是一般式，如每次都將一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，是不是很麻煩呢？對(duì)于一般式向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，有沒有什么快速求解的方法呢？

3.規(guī)律三：三角函數(shù)的圖象平移，其規(guī)律只是將正（余）弦函數(shù)平移，即將的圖象向左或向右平行移動(dòng)φ個(gè)單位長度，得到其他形式以此類推。

困惑三：在實(shí)際教學(xué)中，很多老師都是借用二次函數(shù)的平移口訣“左加右減，上加下減”，快速講授這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但實(shí)際問題中，學(xué)生遇到的是三角函數(shù)對(duì)于一些不會(huì)觸類旁通的學(xué)生而言，解決這個(gè)問題就很困難了。比如將向右平移個(gè)單位求解析式時(shí)，若不化簡成的形式，又該如何解決？

困惑四：該規(guī)律只針對(duì)基本初等函數(shù)的基本形式，若是遇到幾個(gè)初等函數(shù)的組合形式或是抽象函數(shù)的平移問題，就給學(xué)生制造了一個(gè)難題。例如：將函數(shù)向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位的表達(dá)式是什么？

二、利用“順減逆加”法，輕松解決四大困惑

上述這些規(guī)律涉及不同的知識(shí)點(diǎn)、不同的平移方法，而且每種方法都有自己的局限性，對(duì)于學(xué)生而言，在每次接觸此類新知識(shí)的時(shí)候，就必須重新學(xué)習(xí)新的平移方法，但作為教學(xué)工作者而言，這些規(guī)律解決的是同一類問題，那么有沒有統(tǒng)一的規(guī)律來解決這類問題呢？通過筆者長期的教學(xué)實(shí)際，總結(jié)出這樣的規(guī)律來統(tǒng)一解決這類圖象平移求表達(dá)式的問題，即順減逆加！

1.順減逆加法的理解：

順（逆）是表示沿著（逆著）坐標(biāo)軸的方向。

加（減）是需要在表示相應(yīng)平移的坐標(biāo)軸的字母上做加（減）運(yùn)算。

例1 將函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位后的解析式是什么？運(yùn)用上述“順減逆加”的方法這樣解：

（這個(gè)時(shí)候需要在所平移的坐標(biāo)軸表示的字母x上加2）（這個(gè)時(shí)候需要在所平移的坐標(biāo)軸表示的字母y上減1），故平移后的函數(shù)解析式是

事實(shí)上，“順減逆加”這一規(guī)律來源于坐標(biāo)系的平移。若原函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)移動(dòng)到，得到新圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)則那么故平移后的圖象所描述的函數(shù)解析式為其中，表示順著坐標(biāo)軸移動(dòng)，表示逆著坐標(biāo)軸移動(dòng)，因此，由這個(gè)理論支持的規(guī)律“順減逆加”是可以解決所有函數(shù)圖象的平移問題的。

用此方法解決上述幾個(gè)困惑如下：

2.困惑一的解決：例2：直線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后的直線方程是什么？

3.困惑二的解決：例3：一般式向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后的解析式是什么？

4.困惑三的解決：例4：

向右平移個(gè)單位求解析式時(shí)，若不化簡成的形式，又該如何解決？

5.困惑四的解決：例5：將函數(shù)向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位的表達(dá)式是什么？

三、“順減逆加”法在其他問題中的應(yīng)用

由此可見，學(xué)生在以上四種函數(shù)圖象平移問題中出現(xiàn)的困惑，均可用“順減逆加”這一方法解決，該規(guī)律不僅優(yōu)化了“左加右減，上加下減”的規(guī)律，也減輕了教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)上的重復(fù)性，更是統(tǒng)一了這類問題的解決方法。此規(guī)律不僅可用于解決函數(shù)圖象平移求解析式的難題，也可拓展到圓錐曲線的平移問題中。

例6 將圓向左平移1單位（即逆著x軸平移1個(gè)單位，則需在方程中的x上加1），再向上平移2個(gè)單位（即順著y軸平移2個(gè)單位，則需在方程中的y上減2），求得平移后圓的方程為整理得：

上例中只是例舉了圓的平移問題，對(duì)于圓錐曲線的其他圖形，如橢圓、雙曲線和拋物線均可使用。由此可見，“順減逆加”法的應(yīng)用非常廣泛！

“道可道，非常道”，很多人把數(shù)學(xué)看成是公式的堆積，把定理作為該背誦的教條，把講解說成形式邏輯的推演，把考試弄成死記硬背按標(biāo)準(zhǔn)答案不敢越雷池一步的生搬硬套，殊不知從實(shí)際事實(shí)中歸納，從歸納中總結(jié)，從總結(jié)中尋找規(guī)律，從規(guī)律中總結(jié)方法，采取螺旋式上升的學(xué)習(xí)方法，可以輕松解決日常學(xué)習(xí)中的困惑?！绊槣p逆加”就是筆者在實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中歸納總結(jié)出的規(guī)律，學(xué)生掌握后在實(shí)際問題的解決中也得心應(yīng)手，非常實(shí)用。日常的學(xué)習(xí)需要一點(diǎn)一滴的累積，一絲一毫的提高，由量變升華到質(zhì)變，這樣才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更好地掌握學(xué)習(xí)的技巧。