數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其在課堂中的滲透

江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級(jí)中學(xué) 顧維維

回顧課程修訂的變化歷程，由“知識(shí)課程體系”到“能力課程體系”以及通過(guò)這幾年的不斷探索嘗試，再到現(xiàn)在的“素養(yǎng)為立意的課程體系”。課程的修訂是要結(jié)合各學(xué)科實(shí)際，將核心素養(yǎng)的踐行落實(shí)到各個(gè)學(xué)科，怎樣將這樣一個(gè)整體的教育思想落實(shí)到數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科上，怎樣將這一思想滲透到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是每個(gè)一線(xiàn)教育工作者亟待解決的問(wèn)題，以下就圍繞這一話(huà)題提出筆者的一些具體想法。

一、核心素養(yǎng)概念的界定

素養(yǎng)，可以理解為素質(zhì)與修養(yǎng)的結(jié)合，是指在先天的基礎(chǔ)上通過(guò)后天環(huán)境影響和教育訓(xùn)練所獲得的內(nèi)在的穩(wěn)定的身心特征及品質(zhì)結(jié)構(gòu)，是對(duì)知識(shí)、行為習(xí)慣、能力等人格特征的綜合反映。核心素養(yǎng)從字面可理解為“關(guān)鍵的”“必要的”“基本的”“重要的”，居于核心地位的素養(yǎng)。綜合世界各國(guó)和地區(qū)對(duì)核心素養(yǎng)概念的界定，同時(shí)考慮到不同學(xué)科的角度對(duì)核心素養(yǎng)的研究以及我國(guó)的現(xiàn)實(shí)需求和教育實(shí)際，林崇德教授對(duì)核心素養(yǎng)作了如下界定：核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。它是關(guān)于學(xué)生知識(shí)、技能、情感、態(tài)度及價(jià)值觀等多方面要求的結(jié)合體。

具體到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，王尚志、史寧中等專(zhuān)家根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及教育部研制的學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)劃，并結(jié)合學(xué)生認(rèn)知和發(fā)展特點(diǎn)及學(xué)科特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作了如下界定：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展及社會(huì)發(fā)展需求的具有數(shù)學(xué)基本特征的關(guān)鍵能力和必備品格。對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：

第一，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，不是具體的知識(shí)技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。

第二，它可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合能力。

第三，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性。

具體概括起來(lái)包括六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

二、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指摒棄所研究對(duì)象的所有物理屬性，得到的數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析、比較、歸納總結(jié)提煉出“共性”或“本質(zhì)屬性”，舍去非本質(zhì)屬性，由感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變成抽象的規(guī)定，即用專(zhuān)業(yè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)或圖形來(lái)表示。

比如數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程就是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，以橢圓的概念為例，創(chuàng)設(shè)以下抽象思維過(guò)程：

1.回顧圓的概念。

2.若將圓定義中的“一個(gè)定點(diǎn)”改為“兩個(gè)定點(diǎn)”，那么得到的點(diǎn)集又是什么？

3.利用提前準(zhǔn)備好的材料（兩個(gè)圖釘和一根細(xì)繩），學(xué)生分組動(dòng)手完成這個(gè)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生有個(gè)感性認(rèn)識(shí)。

4.教師通過(guò)幾何畫(huà)板不斷改變動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)有何規(guī)律，這是一個(gè)直觀理性感受的過(guò)程。

5.能用數(shù)學(xué)式子概括上述規(guī)律嗎？試著用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，在學(xué)生概括的基礎(chǔ)之上，給出抽象定義。

6.思維再抽象：不斷改變繩長(zhǎng)或者兩圖釘之間的距離，得到的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否一定是橢圓？

學(xué)生在上述問(wèn)題的引導(dǎo)下進(jìn)行自主觀察、分析、比較、總結(jié)概括，整個(gè)過(guò)程是學(xué)生自主完成的，由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)進(jìn)而抽象出橢圓概念的本質(zhì)屬性的整個(gè)過(guò)程事實(shí)上就是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高的過(guò)程。

類(lèi)似的，以橢圓概念為類(lèi)比對(duì)象，通過(guò)展示“拉鏈”動(dòng)畫(huà)，同樣讓學(xué)生抽象概括出雙曲線(xiàn)的定義，前面橢圓作了鋪墊，對(duì)于雙曲線(xiàn)定義的抽象概括就會(huì)容易一些，讓學(xué)生再次領(lǐng)會(huì)這種數(shù)學(xué)抽象思維過(guò)程。

我們都知道，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是重中之重，而數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程又是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的絕佳“機(jī)會(huì)”，因此概念教學(xué)不能“直講”概念，只要教師在教學(xué)中給予足夠重視，采取以學(xué)生為主的自主探究方式，逐步滲透，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象就能在學(xué)習(xí)中得到培養(yǎng)，并為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果除了可以用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表示以外，還可以用圖形或符號(hào)表示，比如糖水問(wèn)題：從含有a克糖的b克糖水中加入c克糖，糖水變甜，其中從數(shù)學(xué)的角度解釋這一現(xiàn)象可以用一個(gè)不等式表示：

這也是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，對(duì)于上述現(xiàn)象，也可以用圖形語(yǔ)言表示，如下圖所示：

又如立體幾何，首先以實(shí)際背景為依托給出三個(gè)公理并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，再以此為基礎(chǔ)推出線(xiàn)與線(xiàn)、線(xiàn)與面、面與面的位置關(guān)系，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，建立了數(shù)學(xué)符號(hào)體系，進(jìn)而推出線(xiàn)面和面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，建立了一套統(tǒng)一性、完整性、整體性的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想體系。在具體課堂中，可以很自然、很有條理地進(jìn)行教學(xué)調(diào)控和滲透，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

三、直觀想象

直觀想象指的是依據(jù)空間想象和幾何直觀來(lái)感知事物的變化或形態(tài)，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。具體包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化；利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，并構(gòu)建相應(yīng)的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。

下面從平面幾何和立體幾何兩方面各取一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明這一概念及如何逐步滲透在課堂中。

例1 已知直線(xiàn)l：圓C：（x-2）2+（y-1）2=1，p是l上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值和最大值。

解析：在同一直角坐標(biāo)系中作出該直線(xiàn)和圓，由題意可知線(xiàn)段PQ取得最值需要保證PQ所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，而滿(mǎn)足這一條件的線(xiàn)段有無(wú)數(shù)個(gè)，如何確定符合題意的P點(diǎn)和Q點(diǎn)？此時(shí)要有一定的教學(xué)等待，放慢教學(xué)的節(jié)奏，不能簡(jiǎn)單給出結(jié)果，要給學(xué)生留有足夠的時(shí)間，適當(dāng)引導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的直觀想象。在這樣一個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：過(guò)圓心C向直線(xiàn)l作垂線(xiàn)，垂足即為所求的P點(diǎn)，與圓的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)，不妨設(shè)圓心C到直線(xiàn)的距離為d,那么有：

擴(kuò)展：設(shè)P,Q分別是圓C：和橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，求PQ長(zhǎng)的最大值。解析：由題意作出相應(yīng)圖形，如下圖所示：那么學(xué)生根據(jù)上題的解題經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合具體圖形，發(fā)揮直觀想象，教師再適當(dāng)適時(shí)引導(dǎo)一下，便可得到PQ長(zhǎng)度的最大值可轉(zhuǎn)化為圓心C到動(dòng)點(diǎn)Q的距離的最大值加上圓C半徑，即求兩動(dòng)點(diǎn)間的最大值轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)距離的最大值，那么這樣一來(lái)，本題的關(guān)鍵就已解決，剩下的步驟可根據(jù)Q在橢圓上，設(shè)參數(shù)坐標(biāo)解決。

例2 用膠水可以將若干個(gè)完全相同的小立方體作出積木模型。

嘗試1：需要多少個(gè)小立方體才能作出如圖所示的積木模型？

嘗試2：想用比實(shí)際少的小立方體來(lái)作出如圖所示的積木模型，可以用膠水黏出一個(gè)外部相同但內(nèi)部是中空的模型，需要多少個(gè)小立方體？

嘗試3：現(xiàn)在想做一個(gè)6個(gè)小正方體長(zhǎng)，5個(gè)小正方體寬，4個(gè)小立方高的積木模型。假如用最少的小立方體，并在內(nèi)部留出可能最大的空心空間，最少需要幾個(gè)小立方體？

解析：本題的原型是一道(國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目)數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試題，在學(xué)習(xí)立體幾何初，此題就可以應(yīng)用到我們的課堂上，它是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，不通過(guò)實(shí)際動(dòng)手做模型也可以很好解決，在課堂上，教師只需用PPT展示這樣一個(gè)3階立體圖形，這個(gè)像魔方一樣的積木模型首先會(huì)引起學(xué)生的研究興趣，通過(guò)逐步深入分析，學(xué)生借助空間想象和基本立體理論知識(shí)建立了形與數(shù)的聯(lián)系，最終可以很自然地解決這樣一個(gè)問(wèn)題。

“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)往往是教學(xué)中最容易忽視的。比如有些教師在處理一些作業(yè)或例題時(shí)，認(rèn)為某些結(jié)果是很自然的，就忽視了學(xué)生的感受，學(xué)生并不是“很自然”，那么由這樣一個(gè)“不自然”到“很自然”的過(guò)程就是“直觀想象”這種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程。

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)逐步的長(zhǎng)期的過(guò)程，教師應(yīng)堅(jiān)守這一過(guò)程并重視起來(lái)，首先應(yīng)重視自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，學(xué)習(xí)新的教學(xué)知識(shí)和教學(xué)理念，為學(xué)生創(chuàng)造良好的教育環(huán)境；其次是重視學(xué)生，尤其在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要敢于創(chuàng)新，不妨精心選取或設(shè)計(jì)一些合適案例，采取以學(xué)生為主、全程參與的探究方式開(kāi)展教學(xué)，聚焦核心問(wèn)題，深入探討。在教學(xué)中通過(guò)這種逐步滲透的方式，便能在一定程度上取得逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效果。