交互作用Fock空間l2(Γ)上的湮滅算子和增生算子

周玉蘭, 趙丹丹

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

在20世紀(jì)90年代,由于量子概率的發(fā)展,出現(xiàn)了一種描述粒子系統(tǒng)的新結(jié)構(gòu)——交互作用Fock空間[1].交互作用Fock空間來源于量子電動力學(xué)的隨機(jī)極限,文獻(xiàn)[2]給出了其公理化的定義,它主要應(yīng)用于交互量子領(lǐng)域、中心極限定理和非交換概率[3-8]研究.

設(shè)K=L2(X,μ)是復(fù)Hilbert空間,記

則稱Γ(K)為有關(guān)交互因子{λn}n∈N的交互作用Fock空間，其中Kn是K?n關(guān)于內(nèi)積

〈Fn,Gn〉n=

的完備化,即Kn為n-粒子空間[9].由于粒子可能增生或者湮滅,而在一個系統(tǒng)中粒子總數(shù)是固定不變的,因此用增生算子和湮滅算子來描述粒子可能出現(xiàn)的情況.在文獻(xiàn)[10-11]中,Wang等研究了量子Bernoulli泛函空間L2(Ω),即

其中

1 預(yù)備知識

定義1[9]設(shè)K=L2(X,μ)是復(fù)Hilbert空間,對于任意n∈N,K?n表示K的n次張量積,則K?n也是一維的,λn是Xn上的n元函數(shù),在K?n上引入內(nèi)積

〈Fn,Gn〉n=

Fn,Gn∈K?n.

K?n關(guān)于上述內(nèi)積的完備化記為Kn,則稱

為交互作用Fock空間,其中〈·,·〉n是n-粒子空間的內(nèi)積,且{λn}n∈N滿足條件

λn(xn,…,x1)=0?λn+1(x0,xn,…,x1)=0.

注1[9]1) 若對于任意n∈N,λn不是常數(shù),則該空間稱為一般交互作用Fock空間.

2) 若對于任意n∈N,λn是常數(shù),則該空間稱為單模交互作用Fock空間.特別地,若λn=1,則該空間稱為自由Fock空間或者完全Fock空間.

定義2對于任意n≥1,任意f∈K,任意F∈Kn,A*(f)F=f?F∈Kn+1,Φ表示真空向量,即

Φ=1⊕0⊕0⊕…,

A*(f)Φ=f,

稱A*為在f處的增生算子.

對于任意n≥1,任意G∈Kn,g∈K,

A-(g)G(x0,xn-1,…,x1)=

A-(g)Φ=0,

稱A-為在g處的湮滅算子.

引理1[12]設(shè)(M,μ)和(N,ν)為測度空間,且L2(M,μ)和L2(N,ν)可分,則:

1) 存在唯一同構(gòu)關(guān)系

L2(M,μ)?L2(N,ν)?L2(M×N,μ×ν),

使得f?g對應(yīng)于f(x)g(y);

2) 對任意可分Hilbert空間K,存在唯一同構(gòu)關(guān)系

L2(M,μ)?K?L2(M;K),

使得f?h對應(yīng)于f(x)h.

引理2[12]設(shè)H1和H2為2個Hilbert空間,若{ej}j∈N和{fk}k∈N分別為H1和H2的正交基,則{ej?fk}j,k∈N為H1?H2的正交基.

接下來,定義基于l2(N)的交互作用Fock空間l2(Γ).它是一個非單模交互作用Fock空間,但它與單模交互作用Fock空間非常接近,其特殊性體現(xiàn)在交互因子{λn}n∈N上.

設(shè)Γ是自然數(shù)集N的有限冪集,記

Γ(n)={σ|σ?N,(σ)=n},

l2(N)是實值平方可和函數(shù)所構(gòu)成的Hilbert空間,對任意f,g∈l2(N),其內(nèi)積為

集合{f?n|f∈l2(N)}關(guān)于內(nèi)積

〈f?n,g?n〉n=

f(xn)g(xn)λn(x1,x2,…,xn)

的完備化構(gòu)成Hilbert空間,記為l2(Γ(n)),其上范數(shù)記為‖·‖n,其中

λ0=1,

λn(x1,x2,…,xn)=

定義3設(shè){l2(Γ(n)),〈·,·〉n},n=0,1,2,…為上述Hilbert空間,記

在l2(Γ)中引入內(nèi)積

?F={fn},G={gn},

fn,gn∈l2(Γ(n)),

l2(Γ)為關(guān)于該內(nèi)積的完備化Hilbert空間,稱為關(guān)于交互因子{λn}n∈N的交互作用Fock空間.這里約定l2(Γ(0))=R.

對任意n∈N,任取σ∈Γ(n),記

δσ=

Sn(δa1?δa2?…?δan)=

則

δσ∈l2(Γ),

其中,δai∈l2(N),ai∈N,i=1,2,…,n,G為{1,2,…,n}的n階置換群.

命題1集合{1,δσ|σ∈Γ}為l2(Γ)的正交基.

證明由{δa|a∈N}為l2(N)的標(biāo)準(zhǔn)正交基及引理2易得.

根據(jù)定義2,在l2(Γ)上可定義一列點態(tài)增生和湮滅算子.

定義4任取

F={fm}∈l2(Γ),

對任意n∈N,有

AnF=

(0,…,1{x1,…,xm}(x)〈δn,f〉f?(m-1),…),

Anδσ(τ)=(1-1τ(n))δσ(τ∪n),

當(dāng)n?τ時有

Anδσ(τ)=δσ(τ∪n)=
δn(n)·δvaluen)(τ)=δvaluen)(τ)

;

而當(dāng)n∈τ時,Anδσ(τ)=0,即

Anδσ(τ)=(1-1τ(n))δvaluen)(τ),

又

2 主要結(jié)果

任取F={fm}m≥0,對任意n∈N,有

f2(xm-1)λm-1(x1,…,xm-1)≤

‖F(xiàn)‖2<+∞,

特別地,取F=(0,δn,0,…)∈l2(Γ),則

‖(0,1{x1}(x)〈δn,δn〉,0,…)‖2=1.

?F,G∈l2(Γ).

證明任取F={fm}m≥0,G={gm}m≥0.對于任意n∈N,有

〈AnF,G〉=

(g0,g1,…,gm+1,…)〉=

f(xm)g(xm)g(n)λm(x1,…,xm),

其中,xi≠n,i=1,2,…,m;

〈(f0,f1,…,fm,…),(0,…,1{x1,…,xm}(y)×

〈δn,g〉g?m,…)〉=

f(xm)g(xm)g(n)λm(x1,…,xm),

其中,xi≠n,i=1,2,…,m.因此

由文獻(xiàn)[13],并結(jié)合定理1和定理2,可以得到推論1.

推論1任意n∈N,湮滅算子An為l2(Γ)上的有界線性算子,且‖An‖=1.

在一般交互作用Fock空間中,即使是單模交互作用Fock空間,增生算子和湮滅算子也只有不同態(tài)的交換關(guān)系,即

下面定理3表明:在l2(Γ)上所定義的這一列增生算子和湮滅算子,除了點態(tài)不同時具有交換關(guān)系外,在點態(tài)相同時還具有反交換關(guān)系.

定理3設(shè)k、l∈N,則

且

其中I是在l2(Γ)中的恒等算子.

證明對任意F={fn}∈l2(Γ),其中fn=f?n,f∈l2(N),n=0,1,2,…,對任意k、l∈N,

AkAl(F)=Ak(Al(…,f?n,…))=

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))(1-

(…,(1-1{x1,…,xn}(y))(1-

Al(Ak(…,f?n,…))=AlAk(F).

由于{F={f?n},?f∈l2(N)}是l2(Γ)中的稠密子集,又Ak、Al是l2(Γ)上的有界線性算子,從而Ak、Al可交換,即

AkAl=AlAk，

(…,1{x1,…,xn}(x)1{x1,…,xn}(y)〈δl,f〉×

〈δk,f〉f?(n-2),…)=

(…,1{x1,…,xn}(y)1{x1,…,xn}(x)〈δk,f〉×

〈δl,f〉f?(n-2),…)=

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))1{x1,…,xn}(y)〈δl,f〉×

Ak(…,1{x1,…,xn}(y)〈δl,f〉f?(n-1),…)=

(…,1{x1,…,xn}(y)(1-1{x1,…,xn}(x))〈δl,f〉×

AkAk(F)=Ak(Ak(…,f?n,…))=

(…,0,…)=0,

(…,0,…)=0,

Ak(…,1{x1,…,xn}(x)〈δk,f〉f?(n-1),…)=

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))〈δk,δk〉f?n,…)+

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))f?n,…)+

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))f?n,…)+

(…,(1-1{x1,…,xn}(x))f?n,…)+

(…,1{x1,…,xn}(x)f?n,…)=

(…,f?n,…)=I(…,f?n,…),

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