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    隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的正周期研究

    2018-06-04 06:44:39蒲曉琴
    關(guān)鍵詞:周期性測(cè)度全局

    蒲曉琴

    (中國(guó)民航飛行學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 四川 廣漢 618307)

    1 基礎(chǔ)知識(shí)

    經(jīng)典的Lotka-Volterra系統(tǒng)是通過(guò)下面的n維微分方程來(lái)描述物種間的相互制約的,

    n≥1,i=1,2,…,n,

    (1)

    其中,bi(t)、aij(t)(i,j=1,2,…,n)都是連續(xù)函數(shù).環(huán)境噪聲存在于人口系統(tǒng)中.事實(shí)上,許多學(xué)者已經(jīng)研究了人口系統(tǒng)受白噪聲干擾的問(wèn)題[1-17].對(duì)于確定性的人口系統(tǒng),有許多文獻(xiàn)對(duì)周期解的存在性進(jìn)行了研究.然而對(duì)隨機(jī)微分方程周期解的研究[17]還非常的少.

    文獻(xiàn)[17]考慮了如下n-維隨機(jī)人口系統(tǒng):

    n≥1,i=1,2,…,n,

    (2)

    其中,bi(t)、aij(t)和cij(t)(i,j=1,2,…,n)是周期為T>0的連續(xù)函數(shù).令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一完全概率空間{Ft}t≥0≥0,

    ω(t)=(ω1(t),…,ωn(t))T

    是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0≥0,P)上的n-維Brownian運(yùn)動(dòng).他們得到了對(duì)方程(2)漸進(jìn)穩(wěn)定周期解存在性的一些有趣結(jié)果.然而,文獻(xiàn)[18]所提出的一些結(jié)論是錯(cuò)的.下面列出一些例子.首先,文獻(xiàn)[18]中定理2.1的證明,把‖(u1,…,un)‖→∞對(duì)每個(gè)i有ui→∞或ui→-∞.因此,文獻(xiàn)[18]中定理2.1的條件并不能推出Lv→-∞,其中

    其次,文獻(xiàn)[18]中定理2.2的證明,有

    Lv=

    但是作者把公式弄錯(cuò)了,應(yīng)該是:

    Lv=

    因此,對(duì)方程(2)漸進(jìn)穩(wěn)定周期解存在性問(wèn)題依然未得到解決.本文得到了方程(2)周期解存在性和全局吸引性的充分條件.即使在特殊情況下,也改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果.

    注1.1隨機(jī)過(guò)程ξ(t)=ξ(t,ω),t∈R,如果其有限維分布是T周期性的,那么Rn也被認(rèn)為是T周期性的,對(duì)任意正整數(shù)m和任意時(shí)刻t1,…,tm,隨機(jī)變量ξ(t1+kT),…,ξ(tm+kT)的聯(lián)合分布與k(k=±1,±2,…)無(wú)關(guān).顯然,如果ξ(t)是周期為T的隨機(jī)過(guò)程,則其時(shí)刻也是以T為周期的.

    2 正解的存在性和唯一性

    Rn={x∈Rn:xi>0,1≤i≤n},

    令R+=[0,+∞),E[f]是指f的期望.

    為了方便起見(jiàn),記:

    其中f(t)為周期為T的連續(xù)函數(shù).對(duì)任意的常序列{δij}(1≤i≤n,1≤j≤n)定義

    假設(shè)(A) 設(shè)

    aii(t)>0,aij(t)≥0,

    i≠j,t≥0,i,j=1,2,…,n.

    證明首先考慮方程:

    (3)

    它的非負(fù)性可以由下面的式子得到:

    由假設(shè)(A)可得:

    因此有

    ELV(x)≤K.

    從上面和文獻(xiàn)[20]中的推論4可得τe=∞,證畢.

    3 正周期解的存在性

    E‖x(t,x0)‖p≤K,t≥0,

    其中p為某個(gè)正常數(shù).

    證明為了方便,記x(t)=x(t,x0).定義

    dV(x(t))=LV(x(t))dt+

    計(jì)算

    d(etV(x))=et(V(x(t))dt+dV(x(t))).

    因此可以得到:

    etEV(x(t))≤V(x0)+

    V(x0)+K(et-1),t≥0.

    這意味著

    EV(x(t))≤V(x0)e-t+K,t≥0.

    由引理3.1有

    E(‖x(t)‖p)≤

    證畢.

    其中θ為正常數(shù)且滿足

    d[(1+U(t))θ]=θ(1+U(t))θ-2J(t)dt-

    (4)

    其中

    不難估計(jì)

    (5)

    從(4)和(5)式可得

    d[eηt(1+U(t))θ]=ηeηt(1+U(t))θdt

    +eηtd[(1+U(t))θ]≤

    eηt(1+U(t))θ-2{η(1+U(t))2-

    eηtG(U)dt-θ(1+U(t))θ-1U2(t)×

    E[eηt(1+U(t))θ]=(1+U(0))θ+

    然后有

    E[Uθ(t)]≤E[(1+U(t))θ]≤

    設(shè)

    因此

    證明完畢.

    引理3.4[22]如果μn,n=1,2,…,n,μ是Rn上的測(cè)度,那么以下條件是等價(jià)的:

    (i) 測(cè)度μn序列弱收斂于μ;

    p(0,x0,x(t),A)=P(x(t)∈A|x(0)=x0),

    定理3.1在假設(shè)(A)和(B)下,方程(2)有一個(gè)正周期解.

    (6)

    由(6)式知,這個(gè)序列是弱收斂的.令Pnk為其子序列弱收斂于某一測(cè)度P0.如文獻(xiàn)[24]中的定理3.2.2,證明了測(cè)度P0滿足方程:

    因此定義了周期過(guò)程的初始分布.由引理3.3和Chebyshev不等式知道對(duì)任意0<ε<1,存在

    使得

    Pn(‖x(t,x0)‖≤δ)=

    引理3.4暗示P0(‖x(t,x0)‖≤δ)≤ε.因此,這個(gè)周期解是非平凡的.

    注3.1定理3.1意味著如果方程(2)具有至少一個(gè)有界解,則對(duì)于一些(通常是隨機(jī)的)的初始條件,方程(2)有周期解.對(duì)于n=1,也遵循Massera定理.當(dāng)然,這個(gè)結(jié)果不能保證方程(1)對(duì)應(yīng)的確定性方程周期解的存在性,因?yàn)橹芷谛噪S機(jī)過(guò)程不需要具有周期性的樣本函數(shù).

    4 正周期解的全局吸引性

    本節(jié)將獲得方程(2)的周期解的全局吸引性的充分條件.

    令x(p)(t)為方程(2)的一個(gè)正-T周期解.

    說(shuō)x(p)(t)是全局吸引的.

    引理4.2在假設(shè)(A)下,方程(2)的解x(t),t≥0,是一致連續(xù)的.

    證明記

    σij(t,x(t))=cij(t)xi(t),i,j=1,2,…,n,

    f(t,x(t))=(f1(t,x(t)),…,fn(t,x(t)))T,

    σ(t,x(t))=(σij(t,x(t)))n×n.

    計(jì)算

    從這個(gè)式子和引理3.2

    E(‖f(t,x(t)‖)p)≤K, ?p>0,

    (7)

    E(‖ρ(t,x(t))‖p)≤K, ?p>0.

    (8)

    結(jié)合(7)、(8)式和文獻(xiàn)[26]中的引理3.4,知道方程(2)的解是一致隨機(jī)連續(xù)的.

    注4.1文獻(xiàn)[26]中引理3.4的證明,若p=4,我們得到下面的不等式

    (9)

    換句話說(shuō),對(duì)指數(shù)γ,幾乎所有的樣本路徑都是局部的,但都是一致H?lder連續(xù)的.因此x(t)的幾乎每一個(gè)樣本路徑在t≥0時(shí)都是一致連續(xù)的.

    對(duì)任意常數(shù)v1,…,vn,令

    很容易看出hi(i=1,2,…,n)都是周期為T的函數(shù).

    介紹下面這個(gè)假設(shè):

    假設(shè)(C) 存在正常數(shù)v1,…,vn使得函數(shù)hi(i=1,2,…,n)在[0,T]為正的.

    定理4.1在假設(shè)(A)、(B)和(C)下,方程(2)的正T-周期解x(p)(t)是全局吸引的.

    因此,直接計(jì)算出函數(shù)V(t)的右上導(dǎo)數(shù)d+V(t)有

    將(10)式從0到t積分,得到

    V(0)<∞,

    這使得

    因此,從引理4.1和注4.1可得,

    這就完成了定理4.1的證明.

    文獻(xiàn)[8-9]考慮了隨機(jī)非自主邏輯方程

    dN(t)=N(t)[a(t)-b(t)N(t)]dt+

    α(t)N(t)dB(t),

    (11)

    其中B(t)為1-維標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng),a(t)、b(t)和α(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),a(t)>0,b(t)>0.

    很容易從定理4.1中得到以下推論.

    這就是注1.1中1/N*(t)或E[1/N*(t)]與周期T的關(guān)系.很明顯推論4.1改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果.

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