有限交換環(huán)上的Chowla定理

馬 寧， 彭國(guó)華

(四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064)

1948年,Vijayaraghavan等[1]證明了一個(gè)關(guān)于整數(shù)環(huán)上的完全剩余系的定理：設(shè)整數(shù)q>2，r1,r2,…,rn和s1,s2,…,sn分別是模q的兩組完全剩余系，則r1s1,r2s2,…,rnsn不是模q的完全剩余系．1954年，Coles等[2]利用數(shù)學(xué)歸納法又給出這一定理的一個(gè)簡(jiǎn)單證明．1987年，孫琦等[3]將這一定理推廣到了Dedekind整環(huán)中．本文將Chowla定理推廣到一般有限含幺交換環(huán)．為此，定義了M-環(huán)，還討論了這類有限交換環(huán)的基本性質(zhì)及判定的充要條件．

設(shè)R={r0,r1,…,rn-1}是一個(gè)有限含幺交換環(huán)，始終假定r0=0，相應(yīng)地r1,r2,…,rn-1是R中的全體非零元素．若s0,s1,…,sn-1是r0,r2,…,rn-1的任意一個(gè)排列且s0≠0, 則存在k≥1使得sk=0.此時(shí)r0s0=rksk=0，集合S={risi|0≤i≤n-1}至多含有n-1個(gè)元素，從而S≠R．這表明，只要R不是零環(huán)[4]，則總存在r0,r1,…,rn-1的一個(gè)排列s0,s1,…,sn-1，使得S≠R．對(duì)于集合

S={risi|0≤i≤n-1}，

是否總有S≠R成立？

定義一個(gè)有限含幺交換環(huán)R為M-環(huán)，如果對(duì)于R中全體元素的任意一個(gè)排列s0,s1,…,sn-1，總有

{risi|0≤i≤n-1}≠R．

假設(shè)s0=0且R=Fq是q元有限域，q為一個(gè)素?cái)?shù)的方冪，那么環(huán)R的乘法群

注意到方程Xq-1-1=0的解集為R×，有

所以q必為偶數(shù)．

若q為2的方冪，即R=F2m，m是正整數(shù)，則Frobenius映射σ(x)=x2是R上的自同構(gòu)．取si=ri，i=0,1,…,q-1，則有

這表明R不是M-環(huán)．

定理1有限域是M-環(huán)的充要條件是它的特征為奇數(shù)．

設(shè)R=R1⊕R2⊕…⊕Rm是有限含幺交換環(huán)R的一個(gè)直和分解．對(duì)0≤i≤n-1，可以令

ri=(ri1,ri2,…,rim)，si=(si1,si2,…,sim)，

其中,rij,sij∈Rj，1≤j≤m．所以S=R當(dāng)且僅當(dāng)

Sj={rijsij|0≤i≤n-1}=Rj

對(duì)每個(gè)1≤j≤m均成立．于是，有

定理2設(shè)R為有限含幺交換環(huán)，則R是M-環(huán)的充要條件是其直和因子中至少有一個(gè)是M-環(huán)．

如下的結(jié)構(gòu)性質(zhì)保障了可以將一般的有限交換環(huán)分解成一些小的環(huán)的直和．

引理1任意有限含幺交換環(huán)可分解為有限交換局部環(huán)的直和．

Pi∩Pj=PiPj．

另一方面，R的冪零根

所以R的Jacobson根

但Nil(R)中的每個(gè)元素均為冪零元，J(R)是冪零理想．因此存在正整數(shù)t使得

根據(jù)定理2和引理1，只需要討論有限局部交換環(huán)何時(shí)是M-環(huán)．

引理2若一個(gè)有限局部交換環(huán)不是域，則它是M-環(huán)．

證明設(shè)R={r1,r2,…,rn}是有限局部交換環(huán)．若R不是M-環(huán)，則存在r1,r2,…,rn的一個(gè)排列s1,s2,…,sn使得

S={risi|0≤i≤n}=R．

設(shè)P是R的唯一極大理想且|P|=k，則R恰有k個(gè)不可逆元，且Jacobson根J(R)=P為冪零理想．因此存在正整數(shù)n0使得Pn0=(0)．不失一般性，可設(shè)

r1,r2,…,rk∈P, rk+1,rk+2,…,rn∈R×,

則必有s1,s2,…,sk∈P且sk+1,sk+2,…,sn∈R×．否則，若存在j0>k，sj0∈P，則有

r1s1,r2s2,…,rksk,rj0sj0∈P

且這些元素兩兩不同.這與R恰有k個(gè)不可逆元的假設(shè)矛盾．于是

P={r1s1,…,rksk}?P2，

從而P=P2，故P=Pn0=(0)．這表明零理想是極大理想，R必為域，與假設(shè)矛盾．

定理3設(shè)R為有限含幺交換環(huán)，則R是M-環(huán)的充要條件是R不能分解為特征為2的有限域的直和．

證明由引理1，R=R1⊕R2⊕…⊕Rm，其中Ri(1≤i≤m)是有限交換局部環(huán)．若R不能被分解為特征為2的有限域的直和，則存在1≤i0≤m，使得Ri0不是域或者Ri0是奇特征的有限域．根據(jù)定理1和引理2，Ri0是M-環(huán)．再由定理2可知，R是M-環(huán)．

反之，若R是特征為2的有限域的直和，則由定理1和定理2可知，R不是M-環(huán)．

下面考慮定理3在置換多項(xiàng)式方面的應(yīng)用．環(huán)R上的多項(xiàng)式f(X)∈R[X]稱為R的置換多項(xiàng)式，如果對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)f:R→R誘導(dǎo)出R中元素的一個(gè)置換．有關(guān)有限交換環(huán)上的置換多項(xiàng)式及其應(yīng)用的討論，可參考文獻(xiàn)[5-10]．因?yàn)橐粋€(gè)置換多項(xiàng)式可以產(chǎn)生環(huán)中元素的一個(gè)置換，所以立即得到以下推論.

推論1M-環(huán)上的兩個(gè)置換多項(xiàng)式的乘積不再是置換多項(xiàng)式．

[1] VIJAYARAGHAVAN T, CHOWLA S. On complete residue sets[J]. Q J Math,1948,19(1)：193-199.

[2] COLES W, OLSON F. A note on complete residue systems[J]. Am Math Monthly,1954,61(9)：662-622.

[3] 孫琦，曠京華. 關(guān)于代數(shù)數(shù)域中的完全剩余系[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1987,30(2)：226-228.

[4] ATIYAH M, MACDONALD I. Introduction to commutative algebra[M]. New Jersey:Addison-Wesley,1969.

[5] BINI G, FLAMINI F. Finite commutative rings and their applications[M]. New York: Spring Science and Business Media,LLC,2002.

[6] 孫琦,萬(wàn)大慶. 置換多項(xiàng)式及其應(yīng)用[M]. 沈陽(yáng):遼寧教育出版社,1987.

[7] LIDL R, NIEDERREITER H. Finite Fields[M]. Encyclopedia Math Appl 20.Cambridge:Cambridge Univ Press,1997.

[8] COHEN S D. Permutation Group Theory and Permution Polynomials in Algebras and Combintorics[M]. Hong Kong:Springer-Verlag,1997.

[9] FRISCH S. Polynomial functions on finite commutative rings[M]. Lecture Notes in Pure and Appl Mathematics 205.New York:Dekker,1999.

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