時滯變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的穩(wěn)定性及Hopf分支性質(zhì)

丁宇婷 蔣麗 蘇琳琳

摘 要：為研究一類人造板施膠過程中的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在原有線性化模型的基礎(chǔ)上考慮了時滯的影響及非線性因素，從而得到更符合實際的時滯變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的非線性微分方程。進(jìn)一步分析了該方程平衡點的存在性、穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性和穩(wěn)定性，并利用多時間尺度方法推導(dǎo)系統(tǒng)Hopf分支的規(guī)范型。利用Matlab軟件結(jié)合參數(shù)的實際意義給出數(shù)值仿真，展示了系統(tǒng)存在的穩(wěn)定平衡點及穩(wěn)定周期解，從而驗證理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)； 時滯； 穩(wěn)定性； Hopf分支； 多時間尺度

DOI：10.15938/j.jhust.2018.02.027

中圖分類號： O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）02-0149-06

Abstract：This paper considers the mathematical model of variable frequency water supply system in the process of applying glue to artificial board. On the basis of the original linear model， the effects of time delay and the nonlinear factors are considered. Then we get the delayed nonlinear differential equation of variable frequency water-supply system. Further， we consider the existence and stability of the equilibrium and the Hopf bifurcation in this equation， and derive the normal form of the Hopf bifurcation by using the multiple time scales method. Finally， by using Matlab software， we obtain numerical simulations under actual parameters， and we show the existence of stable equilibrium and stable periodic solutions of the system to verify the correctness of the theoretical analysis.

Keywords：variable frequency water-supply system； time delay； stability； hopf bifurcation； multiple time scales

0 引 言

近年來，國內(nèi)外人造板工業(yè)發(fā)展十分迅速，在不斷吸收國外先進(jìn)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，國內(nèi)人造板生產(chǎn)技術(shù)不斷優(yōu)化，質(zhì)量不斷提高，但在生產(chǎn)過程中仍難以擺脫對國外產(chǎn)品的仿制，創(chuàng)新部分不足。調(diào)施膠工藝是影響人造板生產(chǎn)的重要因素之一，該過程不僅具有多種約束條件、多變量、非線性、大時滯等特點，而且要求系統(tǒng)能夠在一定程度上具有克服動態(tài)不確定性的能力，并且具有較好的穩(wěn)定性[1-3]。

人造板調(diào)施膠系統(tǒng)由變頻電機(jī)、泵和管道組成，學(xué)者在研究過程中，更多的是側(cè)重調(diào)施膠工藝控制系統(tǒng)的研究，并且為了簡便，對于控制系統(tǒng)基于的變頻調(diào)壓的數(shù)學(xué)模型，往往使用一些理想的數(shù)學(xué)模型。這樣得到的模型在系統(tǒng)具有時間延遲，變量間具有非線性關(guān)系等非理想因素影響下，就會不準(zhǔn)確，然而很少有學(xué)者會研究具這兩類因素的數(shù)學(xué)模型[4-5]。

調(diào)施膠工藝中的變頻調(diào)壓供水過程對所產(chǎn)人造板質(zhì)量的優(yōu)劣有很大影響，在實際生產(chǎn)中通常使用工程上簡單實用的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[3，6]。為了簡化分析，學(xué)者們往往忽略時滯的影響，并進(jìn)行線性化處理，從而得到較為簡單的數(shù)學(xué)模型。但在變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)中轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速往往存在平方關(guān)系，時間上也會存在滯后；如果要提高人造板施膠的生產(chǎn)效率，則不能忽略非線性、時滯這些重要影響因素，否則會因為對異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速的估計誤差造成變頻器的供給頻率與實際所需頻率相差較大，進(jìn)而影響到系統(tǒng)的施膠量和人造板的生產(chǎn)質(zhì)量。

眾所周知，在生態(tài)學(xué)、工程學(xué)、醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域中，對于許多問題的研究都可以歸結(jié)為考慮微分方程的定性理論[7-14]。時滯微分方程既依賴于當(dāng)前時間的狀態(tài)，又依賴于過去時間的狀態(tài)，因而更能有效客觀的描述實際問題。時滯微分方程是具有無窮多個根的超越方程，分析平衡點的穩(wěn)定性及分支的存在性較為復(fù)雜，而在研究非線性動力系統(tǒng)時，特別是在考慮微分方程的穩(wěn)定性及分支性質(zhì)時，計算微分方程的規(guī)范型卻是極其重要的[15-17]。計算規(guī)范型一般有中心流形約化和多時間尺度兩種方法，文[18]對于幾個不同的滯后型微分方程用兩種方法推導(dǎo)出一致的約化到三階的Hopf分支規(guī)范型。由于多時間尺度方法不需要計算中心流形定理便可以直接運(yùn)用到微分方程中，因而是計算規(guī)范型的一種有效簡便的方法。本文將采取該方法推導(dǎo)時滯變頻調(diào)壓供水非線性方程的Hopf分支的規(guī)范型。

本文針對人造板調(diào)施膠過程的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型問題，在原有模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入非線性和時滯因素，建立更符合實際的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的非線性時滯微分方程，從而確保變頻器能夠準(zhǔn)確控制施膠流量。進(jìn)一步，我們分析了該系統(tǒng)的平衡點的存在性、穩(wěn)定性、Hopf分支的存在性及分支周期解的穩(wěn)定性。最后通過Matlab數(shù)值模擬驗證理論分析的正確性；可以看出改進(jìn)后的模型比原有模型更符合實際，具有更好的實用價值。

1 人造板施膠過程中變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 原始模型介紹

工程上簡單實用的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)鼠籠式電機(jī)的供電電源的電壓與頻率之比始終不變時，其小偏差線性化模型為[3]：

1.2 改進(jìn)后的模型

在實際變頻調(diào)壓供水過程中，對泵類負(fù)載，轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速的平方成正比[3]，即：

并且該供水過程存在時間延遲，即轉(zhuǎn)子角速度的變化率與ω（t-τ）有非線性關(guān)系，結(jié)合實際背景，我們得到如下改進(jìn)后的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)模型：

2 改進(jìn)后模型穩(wěn)定性分析

2.1 平衡點的存在性及穩(wěn)定性

令τ=0.02∈（0，τ（0）2），以4.5為初值，滿足定理3條件，則得到系統(tǒng)（3）的波形圖（見圖3），此時系統(tǒng)（3）的平衡點ω2仍是局部漸近穩(wěn)定的。

令τ=0.04>τ（0）2，Re（f）Re（g）<0，Re（f）δ>0，以4.5為初值，滿足定理4條件，則得到系統(tǒng)（4）的波形圖（見圖4），此時系統(tǒng)（4）從平衡點ω2分支出一個穩(wěn)定的周期解。

令τ=0.2>τ（1）2，以4.5為初值，則得到系統(tǒng)（4）的波形圖（見圖5），此時系統(tǒng)（4）從平衡點ω2分支出一個不穩(wěn)定的周期解。

該數(shù)值仿真的結(jié)果與定理2～4的結(jié)論完全一致。

4 結(jié) 論

本文研究了人造板施膠過程中的變頻調(diào)壓供水模型的動力學(xué)性質(zhì)，將線性化的原始模型引入非線性與時滯因素，改為更符合實際的時滯微分方程模型。并分析該時滯微分方程模型的平衡點的存在性、穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性。進(jìn)一步，利用多時間尺度方法推導(dǎo)出該系統(tǒng)的Hopf分支的規(guī)范型，從理論上說明引進(jìn)時滯和非線性項后，系統(tǒng)會產(chǎn)生穩(wěn)定的周期解。最后利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)會存在穩(wěn)定的平衡點，當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)歷Hopf分支后，平衡點的穩(wěn)定性改變，系統(tǒng)會分支出穩(wěn)定的周期解。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性。本文通過對實際變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的各個參數(shù)進(jìn)行調(diào)整來控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而改進(jìn)后的變頻調(diào)壓供水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可在實際生產(chǎn)中起到一定指導(dǎo)作用。

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（編輯：溫澤宇）