基于過完備字典稀疏表示振動信號壓縮感知方法

石 斌, 郭俊鋒

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

在日常生活和工程實踐中，存在著大量的機(jī)械振動現(xiàn)象。機(jī)械振動信號包含著機(jī)械設(shè)備工作過程中所蘊含的大量的信息，利用這些振動信息人們可以更加深入地了解機(jī)械設(shè)備工作過程中的內(nèi)在機(jī)理和特征，為更好地開發(fā)利用機(jī)械設(shè)備提供理論和技術(shù)支持。傳統(tǒng)的且目前被廣泛采用的振動信號檢測與采樣系統(tǒng)為基于奈奎斯特采樣定理的采集系統(tǒng)，必然會產(chǎn)生大量的監(jiān)測數(shù)據(jù)。

近年來出現(xiàn)的壓縮感知采樣突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理，只要信號是可壓縮的或在某個變換域上是稀疏的，就可以基于壓縮感知理論對其進(jìn)行低速觀測，然后通過合適的重構(gòu)算法就可以實現(xiàn)信號的復(fù)原，給機(jī)械振動信號的采樣、存儲和處理帶來極大的方便。壓縮感知理論的一個重要的基礎(chǔ)和前提是信號足夠稀疏，因此信號的稀疏域的選擇就顯得尤為重要，只有選擇合適的包含振動信號信息的過完備字典才能保證信號的稀疏度，從而保證信號的重構(gòu)精度。

常用的正交基字典不能完整地包含振動信號的信息，振動信號在該稀疏方式下不夠稀疏，造成振動信號壓縮重構(gòu)精度較低。目前，經(jīng)典字典學(xué)習(xí)算法構(gòu)造相關(guān)信號的過完備字典被廣泛關(guān)注，由于這類字典靈活性好、自適應(yīng)強，較完整地包含了信號的信息和特征，所以在信號壓縮、去噪和特征提取等方面被大量采用。經(jīng)典字典學(xué)習(xí)算法有MOD算法[1]、K-SVD算法[2]和雙稀疏字典算法等[3]。本文提出基于過完備字典稀疏表示機(jī)械振動信號壓縮感知方法，重點研究適合機(jī)械振動信號的字典學(xué)習(xí)算法，用字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練適合機(jī)械振動信號的過完備字典，使得振動信號在該過完備字典上有較好的稀疏性，提高振動信號的壓縮率和壓縮重構(gòu)精度，并通過選用美國西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)驗證基于過完備字典稀疏表示機(jī)械振動信號壓縮感知方法的有效性。

1 壓縮感知

壓縮感知[4-6]的前提是Rn空間的信號f可稀疏表示為：

f=Θα

(1)

式中：轉(zhuǎn)換矩陣Θ=[φ1,φ2,…,φn]；系數(shù)向量α=ΘTf，其中α僅有k(k?n)個非零系數(shù)。對信號f進(jìn)行壓縮感知采樣得到觀測向量y：

y=Ψf

(2)

式中：Ψ為一個m×n的測量矩陣，與Θ不相關(guān)且m?n。當(dāng)α是k稀疏且k

min‖α‖0

s.t.y=Ψf=ΨΘα

(3)

然而，有些信號在上述正交變換基Θ下仍不稀疏或不夠稀疏，因此可以采用適合信號本身特征的過完備字典D對信號進(jìn)行稀疏表示。按照壓縮感知理論[7]，測量矩陣一般為高斯隨機(jī)矩陣，若存在某個變換D∈Rn×K使得f=Dα，則式(3)可寫為：

min‖α‖0

s.t.y=Ψf=ΨDα

(4)

式(3)和式(4)的求解方法是正交匹配追蹤算法(OMP)[8]，本文采用該算法來進(jìn)行振動信號的壓縮測量與重構(gòu)。

2 基于經(jīng)典字典學(xué)習(xí)算法的機(jī)械振動信號的過完備字典設(shè)計

2.1 MOD算法

(5)

式中：αi為A的第i列；T0為非零元的個數(shù)。字典D通常是過完備字典。MOD算法首先選取一個初始字典，然后通過初始字典和信號集求解稀疏表示系數(shù)矩陣，最后通過得到的稀疏表示系數(shù)矩陣求解更新字典。MOD算法描述如下。

1)初始化字典：建立D(0)∈Rn×K。

2)標(biāo)準(zhǔn)化：標(biāo)準(zhǔn)化D(0)的列。

稀疏分解階段：已知字典D與信號集X，根據(jù)式(6)用OMP算法逐列求解稀疏系數(shù)矩陣A。

(6)

字典更新階段： 用式(7)更新字典。

X(A(k))T(A(k)(A(k))T)-1

(7)

4)輸出：更新后的字典D。

2.2 K-SVD算法

2.3 雙稀疏字典算法

雙稀疏字典基本概念是將現(xiàn)有的過完備字典D的每一個原子在預(yù)先定義的基字典Φ上進(jìn)一步稀疏表示，其模型為：

D=ΦA(chǔ)

(8)

(9)

式中：t，p分別為信號和稀疏字典A原子的非零元素個數(shù)；Γi為系數(shù)矩陣Γ中第i個字典原子對應(yīng)的系數(shù)列向量；其算法具體步驟如下[9]。

1) 輸入：訓(xùn)練樣本X，基字典Φ，初始字典表示系數(shù)A0，字典原子稀疏性上限p，訓(xùn)練樣本稀疏性上限t，迭代次數(shù)J。

2) 初始化：A=A0。

3) while(迭代次數(shù)

①稀疏編碼：用OMP分解算法求解信號在當(dāng)前字典下的稀疏表示，其需滿足的模型為

其中γ為稀疏向量。

②字典更新：逐一對A中每列αj進(jìn)行更新。

forj=1,2,…,K

令I(lǐng)={應(yīng)用到αj原子表示的樣本索引}

對下式進(jìn)行基于基字典Φ的稀疏表示，即可求出更新后的αj：

令A(yù)j=αj

End for

End while

4)輸出：滿足迭代停止條件后，輸出A，然后與基字典Φ相乘就得到所需的字典D。

3 實驗與分析

本文采用相對誤差來衡量振動信號的重構(gòu)性能，采用壓縮率來衡量振動信號的壓縮度，其定義如下。

1)相對誤差( relative error)是指振動信號的絕對誤差與原始信號之比。其定義為

(10)

2)壓縮率CR(compression rate)，用其來衡量振動信號的壓縮度，CR越大，信號壓縮率越高。其定義為

(11)

式中：n為原始振動信號長度；m為壓縮測量信號長度。

為有效驗證本文所采用的算法，分別比較雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練所得過完備字典、K-SVD學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練的過完備字典、MOD學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練的過完備字典和固定字典DCT過完備字典4種不同稀疏方式下壓縮重構(gòu)的相對重構(gòu)誤差和重構(gòu)時間。

3.1 固定壓縮率下的振動信號重構(gòu)誤差和時間比較

采用雙稀疏字典算法構(gòu)造機(jī)械振動信號過完備字典時，基字典Φ選取為K-SVD學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練振動信號的過完備字典512×600，稀疏表示系數(shù)字典A是隨機(jī)選取樣本信號在基字典上稀疏分解后的系數(shù)矩陣600×750，p=5，t=2，J=4，N=1 000。當(dāng)測量矩陣Ψ為102×512，通過公式(11)得壓縮率為80%。在壓縮率CR為80%的情況下，選取西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫中的軸承外圈故障類型，故障直徑為0.007英寸、故障點位于6點鐘方向(OR007@6)的信號數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，該數(shù)據(jù)分別由電機(jī)驅(qū)動端和風(fēng)扇端12點鐘的位置的加速度傳感器采集所得。因該軸承外圈故障數(shù)據(jù)是周期信號，為了訓(xùn)練字典所要求的大數(shù)據(jù)量的需要，故將信號從0～121 991采樣點擴(kuò)展到0～731 946采樣點。驅(qū)動端和風(fēng)扇端數(shù)據(jù)的過完備字典生成訓(xùn)練都用0～716 800采樣點，壓縮感知測試信號用730 000～731 946采樣點。圖1和圖2分別為驅(qū)動端信號和風(fēng)扇端信號在不同過完備字典稀疏方式下的重構(gòu)效果圖。從圖1和圖2可以看出，基于雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法所得過完備字典的重構(gòu)振動信號比其他3種稀疏方式下的重構(gòu)信號更接近原始振動信號。不同振動信號和稀疏方式下的重構(gòu)誤差和時間見表1，由于DCT過完備字典稀疏方式下的重構(gòu)誤差太大，未能重構(gòu)原始信號，重構(gòu)精度較差，因此只給出雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練所得過完備字典、K-SVD過完備字典和MOD過完備字典3種稀疏方式下的重構(gòu)誤差和時間。從表中可以看出，基于雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練振動信號所得過完備字典稀疏方式下在驅(qū)動端和風(fēng)扇端重構(gòu)誤差為0.308 1和0.706 1，比其他稀疏方式下的重構(gòu)誤差都小，MOD稀疏方式下重構(gòu)時間相對較少，但是其重構(gòu)誤差大，重構(gòu)精度較差，在保證較高重構(gòu)精度和較短重構(gòu)時間的前提下，振動信號在雙稀疏字典稀疏方式下比在K-SVD稀疏方式下的重構(gòu)誤差小，重構(gòu)精度更高，重構(gòu)時間更短。

圖1 驅(qū)動端振動信號在不同稀疏方式下的重構(gòu)

圖2 風(fēng)扇端振動信號在不同稀疏方式下的重構(gòu)

3.2 不同壓縮率振動信號重構(gòu)誤差和時間比較

雙稀疏算法的參數(shù)設(shè)置與固定壓縮率下的參數(shù)設(shè)置相同，實驗時每個壓縮率下運行5次重構(gòu)誤差求平均值，如圖3和圖4所示。

圖3 驅(qū)動端振動信號在不同壓縮率和稀疏方式下的重構(gòu)

圖3為驅(qū)動端信號在壓縮率為60%～90%時4種稀疏方式下的壓縮重構(gòu)的相對誤差曲線，不同壓縮率下，基于雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法構(gòu)造過完備字典稀疏方式下相對重構(gòu)誤差均小于其他3種稀疏方式下的重構(gòu)誤差。驅(qū)動端信號在4種稀疏方式下的壓縮重構(gòu)誤差和時間見表2，基于DCT過完備字典和MOD過完備字典兩種稀疏方式下信號壓縮重構(gòu)時間較短，但是重構(gòu)誤差較大，振動信號失真度較大，在保證有較高的重構(gòu)精度的前提下，雙稀疏字典稀疏方式下的重構(gòu)誤差比K-SVD稀疏方式下的重構(gòu)誤差小，重構(gòu)時間也相對較少。

圖4 風(fēng)扇端振動信號在不同壓縮率和稀疏方式下的重構(gòu)

表2 驅(qū)動端信號的重構(gòu)誤差和時間

圖4為風(fēng)扇端信號在壓縮率為60%～90%時，基于雙稀疏字典學(xué)習(xí)算法構(gòu)造過完備字典稀疏方式下和其他3種稀疏方式下的壓縮重構(gòu)的相對誤差曲線，圖3與圖4具有相同的效果。風(fēng)扇端信號在4種稀疏方式下的壓縮重構(gòu)誤差和時間見表3，表3與表2具有相同的效果。

表3 風(fēng)扇端信號的重構(gòu)誤差和時間

4 結(jié)束語

針對常用的正交基字典不能夠靈活地表示振動信號的復(fù)雜性，振動信號在該稀疏方式下不能足夠稀疏，影響振動信號壓縮重構(gòu)精度，本文提出了基于過完備字典稀疏表示機(jī)械振動信號壓縮感知方法，該算法基于經(jīng)典字典學(xué)習(xí)算法構(gòu)建過完備字典，準(zhǔn)確稀疏表示機(jī)械振動信號，提高振動信號壓縮感知重構(gòu)性能。當(dāng)CR在60%～90%時，基于雙稀疏字典算法構(gòu)造的過完備字典壓縮重構(gòu)相對誤差比基于MOD算法和K-SVD算法都小。

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