基于威布爾分布的電主軸加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)

鄭玉彬，楊 斌，王曉峰，申桂香，趙憲卓，秦猛猛

(1.吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022;2.吉林大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130026)

0 引 言

電主軸作為機(jī)床系統(tǒng)的關(guān)鍵部件之一，其性能和可靠性極大地影響了整臺(tái)機(jī)床的生產(chǎn)效率和精度。而獲取故障信息、故障數(shù)據(jù)以及進(jìn)行可靠性評(píng)估的首要前提是開展合理的可靠性試驗(yàn)。但目前機(jī)床電主軸樣品往往數(shù)量較少、成本高且壽命相對(duì)較長(zhǎng)，傳統(tǒng)的可靠性壽命試驗(yàn)難以滿足要求[1]。為此，開展電主軸加速壽命試驗(yàn)方面的研究勢(shì)在必行。

目前，國(guó)內(nèi)、外對(duì)電主軸可靠性試驗(yàn)技術(shù)研究得較多，如王平永等[2]針對(duì)銑削電主軸，經(jīng)模型假設(shè)、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等步驟建立了載荷譜的分布模型，并據(jù)此設(shè)計(jì)了五級(jí)試驗(yàn)加載譜。劉瀚文[3]利用所設(shè)計(jì)的電主軸試驗(yàn)臺(tái)，通過加載系統(tǒng)模擬真實(shí)工況的載荷譜，以功率為加速應(yīng)力，進(jìn)行恒應(yīng)力下電主軸加載試驗(yàn)，依據(jù)試驗(yàn)信息進(jìn)行可靠性評(píng)估，其與步進(jìn)應(yīng)力加速壽命相比[4]，試樣失效過程較為緩慢，且其開展試驗(yàn)所需的樣本量較大。朱德馨等[5]假設(shè)機(jī)床主軸的壽命服從威布爾分布且機(jī)床主軸的特征壽命與試驗(yàn)載荷之間滿足逆冪率方程時(shí)，以恒定應(yīng)力開展定數(shù)截尾試驗(yàn)，并采用最小二乘法確定其在基準(zhǔn)載荷應(yīng)力下的可靠性壽命特征。Teng和Yeo[6]假設(shè)壽命與應(yīng)力之間滿足對(duì)數(shù)線性關(guān)系，開展定數(shù)截尾試驗(yàn)，建立步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。以上表明，?dāng)前研究主要側(cè)重于恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ拖碌膲勖Ｐ蛥?shù)估計(jì)及預(yù)測(cè)精度分析，且主要集中于定數(shù)截尾加速試驗(yàn)的研究。

在實(shí)際試驗(yàn)中，產(chǎn)品往往受到多種應(yīng)力的復(fù)雜影響[7]，很難建立符合實(shí)際情況的加速模型，即難以確定壽命特征與應(yīng)力之間的關(guān)系，且機(jī)床電主軸價(jià)格較高，壽命相對(duì)來說較長(zhǎng)，所以定數(shù)截尾試驗(yàn)難以滿足要求[8]。

研究表明[9]，機(jī)床電主軸的可靠性壽命服從威布爾分布，故本文據(jù)此建立了電主軸首次故障時(shí)間分布模型，以可接受的可靠度所對(duì)應(yīng)的首次故障時(shí)間為基準(zhǔn)，建立了電主軸試驗(yàn)時(shí)間與樣本量的關(guān)系模型。結(jié)合修正后的Miner理論和程序載荷譜建立了加速因子模型，融入加速因子進(jìn)行機(jī)床電主軸試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)。最后，以某型電主軸為例，進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)，并基于故障率的先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布進(jìn)行本文方法的可信性驗(yàn)證。

1 基于威布爾分布的電主軸試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)原理

1.1 基本假設(shè)

設(shè)電主軸的首次故障時(shí)間服從二參數(shù)威布爾分布，其分布函數(shù)為：

(1)

式中：m為形狀參數(shù)，m>0；η為尺度參數(shù)，η>0；t為首次故障時(shí)間，t>0。

加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)基本假設(shè)：①在正常應(yīng)力水平和加速應(yīng)力水平下，所有試驗(yàn)樣本均服從二參數(shù)威布爾分布；②試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，加速應(yīng)力水平σa下n個(gè)試驗(yàn)樣本的失效時(shí)間為Tσai(i=1,2,…,n)，正常應(yīng)力水平σn下u個(gè)試驗(yàn)樣本的失效時(shí)間為tσnj(j=1,2,…,u)，為了方便表述，下文分別用T和t代替；③T和t是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。

則正常應(yīng)力水平下，電主軸可靠度函數(shù)為：

(2)

加速應(yīng)力水平下，電主軸可靠度函數(shù)為：

(3)

式中：T=Κ-1t，Κ為加速因子，通常Κ>1。

1.2 基于威布爾分布的電主軸試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)

(4)

假設(shè)試驗(yàn)電主軸的樣本量為n，在時(shí)間[0,t]內(nèi)的故障數(shù)為x，已知任一產(chǎn)品的首次故障時(shí)間的失效概率為F(x)，則電主軸的故障數(shù)x服從二項(xiàng)分布，即x～B(n,F(x))，則：

(5)

假定c為被試電主軸產(chǎn)品的判定最大允許故障數(shù)，則試驗(yàn)電主軸產(chǎn)品抽樣方案的可接受概率P為：

(6)

若在試驗(yàn)時(shí)間t內(nèi)n臺(tái)被試產(chǎn)品沒有發(fā)生故障，則故障數(shù)x=0，c=0，將x和c代入式(6)可得：

(7)

上述抽樣方案中，設(shè)置信度為C，工業(yè)上常設(shè)可接受概率P(tR)與置信度C相等，其中置信度C=1-γ=0.9，由式(7)可得：

(8)

式中：tR為平均首次故障時(shí)間MTTFF的檢驗(yàn)上限；γ為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)。

在《GJB899A—2009》[10]中對(duì)參數(shù)γ提前規(guī)定取值，通常為10%、20%和30%，具體取值根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行。根據(jù)式(8)可以建立試驗(yàn)時(shí)間與樣本量的關(guān)系模型，即：

(9)

1.3 基于Miner理論的加速因子計(jì)算

1.3.1 線性疲勞累積損傷理論及其計(jì)算

在載荷的作用下，材料不斷累積損傷，性能隨之持續(xù)降低，當(dāng)損傷累積到一定界限時(shí)，零部件發(fā)生疲勞破壞。在現(xiàn)有多種累積損傷理論中，Miner理論表達(dá)式簡(jiǎn)單、適用性廣泛，且在多數(shù)情況下，應(yīng)用該理論得出的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較為接近，目前在國(guó)內(nèi)、外應(yīng)用最為廣泛。

基于Miner理論，各級(jí)應(yīng)力的頻次與零件應(yīng)力-壽命(σ-N)曲線上的理論頻次之比的累積值即為零件的損傷量，則總損傷量D為：

(10)

式中：di為試件在σi下產(chǎn)生的損傷分量，σi為應(yīng)力循環(huán)特征r=i時(shí)的應(yīng)力；ni為試件在σi作用下的實(shí)際工作循環(huán)次數(shù)；Ni為在相應(yīng)零件材料的σ-N線上與σi對(duì)應(yīng)的疲勞極限壽命。

材料σ-N曲線的Basqwin關(guān)系式為：

(11)

式中：l、Q為與材料、試樣和加載有關(guān)的常數(shù)；σr為在給定應(yīng)力循環(huán)特征r下的應(yīng)力。

同時(shí)考慮對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力σ-1所對(duì)應(yīng)的疲勞極限壽命N0，可得：

(12)

式中：l=-1/b,b為σ-N曲線的斜率。

將式(12)代入式(10)，可得：

(13)

根據(jù)Miner理論，當(dāng)D=1時(shí)，材料就發(fā)生疲勞破壞。因此，結(jié)合各工況下的程序載荷譜就可以計(jì)算出電主軸在不同工況下的累積損傷。但是該理論沒有考慮在疲勞持久極限以下載荷對(duì)材料損傷的影響，若直接應(yīng)用Miner理論估計(jì)零部件的疲勞壽命，其結(jié)果與實(shí)際情況存在一定差距。有學(xué)者提出用強(qiáng)度系數(shù)指數(shù)α代替式(11)中的l[11]，其中α=0.81l～0.94l，通常取α=0.85l。則累積損傷的計(jì)算公式為：

(14)

在實(shí)際生產(chǎn)中，電主軸很少會(huì)出現(xiàn)滿載和超載的情況，本文將其分為輕載、輕中載、中載、中重載和重載5種情況，結(jié)合電主軸在設(shè)計(jì)上所能承受的最大載荷，進(jìn)而確定各級(jí)載荷的相對(duì)載荷范圍，編制程序載荷譜。這里引入相對(duì)切削力矩的概念進(jìn)行分級(jí)處理，統(tǒng)計(jì)并記錄各個(gè)分級(jí)區(qū)間內(nèi)的載荷大小及相應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。

相對(duì)切削力矩Tr是指切削力矩Tc與最大切削力矩Tmax的比值[12]，其表達(dá)式為：

Tr=Tc/Tmax

(15)

空運(yùn)轉(zhuǎn)或待機(jī)時(shí)按空載處理；相對(duì)切削力矩為0

對(duì)于多級(jí)程序載荷譜，各級(jí)載荷作用下的循環(huán)次數(shù)為：

(16)

式中：nt為各級(jí)載荷作用下的總循環(huán)次數(shù)，nt=∑ni；fi為σi應(yīng)力水平下的相對(duì)循環(huán)次數(shù)；ωi為程序載荷譜中對(duì)應(yīng)σi的循環(huán)次數(shù)。

將式(16)代入式(14)，可得：

(17)

根據(jù)Miner理論，當(dāng)D=1時(shí)即發(fā)生疲勞破壞，則壽命可按式(18)估算：

(18)

1.3.2 加速壽命試驗(yàn)加速因子評(píng)估

加速因子K是指在可靠性試驗(yàn)和實(shí)際使用中，產(chǎn)品在規(guī)定的試驗(yàn)條件下達(dá)到相同故障時(shí)，普通工況與可靠性強(qiáng)化工況下的試驗(yàn)時(shí)間之比，即產(chǎn)品在加速環(huán)境1和實(shí)際環(huán)境2下，達(dá)到相同損傷時(shí)的可靠性壽命nt2、nt1之比，按式(19)計(jì)算：

K=nt2/nt1

(19)

結(jié)合式(18)的壽命估算表達(dá)式，即可建立電主軸加速壽命試驗(yàn)加速因子的數(shù)學(xué)模型：

(20)

式中：nt1、nt2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中的估算壽命；σi1、σi2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中的各級(jí)應(yīng)力；ωi1、ωi2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中對(duì)應(yīng)σi1、σi2的循環(huán)次數(shù)。

(21)

(22)

式中：D1、D2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中的損傷因子統(tǒng)計(jì)量；ω1、ω2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中的總循環(huán)次數(shù)；fi1、fi2分別為試驗(yàn)和實(shí)際環(huán)境中的相對(duì)循環(huán)次數(shù)。

則加速因子為：

(23)

本文采用步進(jìn)應(yīng)力進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，基于輕載、輕中載、中載、中重載、重載進(jìn)行分級(jí)，并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到試驗(yàn)的程序載荷譜，代入式(21)即可求得試驗(yàn)中的損傷因子統(tǒng)計(jì)量。結(jié)合式(23)即可求得不同試驗(yàn)條件下的加速因子。

另外，若考慮各工況所占比例βi及各工況下的加速因子Ki，則在式(23)的基礎(chǔ)上可求組合工況下的加速因子KΣ為：

(24)

1.4 加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)及可信性驗(yàn)證

1.4.1 加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)

建立加速因子模型后，可以進(jìn)一步確定加速壽命試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)時(shí)間。加速壽命試驗(yàn)中不同加速因子下的試驗(yàn)時(shí)間T等于實(shí)際運(yùn)行情況下的試驗(yàn)時(shí)間t與相應(yīng)加速因子K之比，即：

(25)

若取樣本量n=1，且C=R=0.9時(shí)，有：

T=tR/K

(26)

1.4.2 加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)可信性驗(yàn)證

設(shè)n臺(tái)電主軸可靠性試驗(yàn)故障數(shù)據(jù)為t1,t2,…,tx，x≤n，試驗(yàn)中的故障數(shù)x服從二項(xiàng)分布，則：

(27)

式中：pi為電主軸的故障率。

結(jié)合共軛分布先驗(yàn)，二項(xiàng)分布對(duì)應(yīng)的共軛分布為貝塔分布B(a,b)，由于貝塔分布與二項(xiàng)分布具有相同形式的核，則故障率的后驗(yàn)分布也為貝塔分布，因此采用貝塔分布作為故障率的先驗(yàn)分布[14]，即：

π(pi)～B(a,b)∝θa-1(1-θ)b-1

(28)

若已知樣本量n和故障數(shù)x，只要確定先驗(yàn)分布的超參數(shù)值，就可求出同為貝塔分布的后驗(yàn)分布的參數(shù)，據(jù)此即可進(jìn)行可信性驗(yàn)證。

(29)

(30)

(31)

(32)

據(jù)此，由式(33)(34)可以求得B(a+x,b+n-x)分布的方差和后驗(yàn)分布故障率的方差，兩者之差的絕對(duì)值越小，說明試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)越合理。

(33)

(34)

2 案例分析

以某型電主軸為例，結(jié)合其在企業(yè)運(yùn)行期間采集的可靠性數(shù)據(jù)，分析并建立電主軸切削加工載荷譜，據(jù)此基于修正后的Miner理論進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)加速因子評(píng)估。下面以銑削加工為例展開計(jì)算，其載荷服從二參數(shù)威布爾分布，據(jù)此構(gòu)建五級(jí)程序載荷譜，如表1所示。

若主軸材料系數(shù)l=2.941，則α=0.85l=2.5。由式(21)可得試驗(yàn)損傷因子統(tǒng)計(jì)量D1=64913.79，由式(22)可得實(shí)際損傷因子統(tǒng)計(jì)量D2=31612.72；則加速因子K=D1/D2=2.05。

3 結(jié) 論

(1)假設(shè)電主軸試驗(yàn)樣本的壽命服從威布爾分布，以可接受的可靠度所對(duì)應(yīng)的首次故障時(shí)間為基準(zhǔn)，提出基于威布爾分布的試驗(yàn)時(shí)間與樣本量的關(guān)系模型。

(2)考慮到機(jī)床主軸加速壽命試驗(yàn)載荷與實(shí)際工作載荷存在一定差異，基于修正后的Miner疲勞累積損傷理論，建立了加速壽命試驗(yàn)加速因子模型。

(3)基于試驗(yàn)時(shí)間與樣本量的關(guān)系模型及加速壽命試驗(yàn)加速因子模型，進(jìn)行考慮加速因子的加速壽命試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)；并基于故障率的先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布進(jìn)行了可信性驗(yàn)證。

(4)以某型電主軸為例開展加速壽命試驗(yàn)，基于載荷分布模型建立程序載荷譜，定量地確定了加速因子，并考慮了可接受的可靠度所對(duì)應(yīng)的首次故障時(shí)間進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)，同時(shí)對(duì)其可信性進(jìn)行驗(yàn)證，因標(biāo)準(zhǔn)差為4.8%，故可認(rèn)為試驗(yàn)時(shí)間設(shè)計(jì)合理。

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