求距離的三種方法

文 /苗學(xué)軍

在現(xiàn)實生活中，常常遇到求距離的問題.下面介紹利用三角形求距離的三種方法,供你學(xué)習(xí)時參考.

一、利用等腰三角形的等角對等邊求距離

例1如圖1，上午8時，一艘輪船從A處出發(fā)以每小時20海里的速度向正北航行，10時到達(dá)B處，則輪船在A處測得燈塔C在北偏西36°，航行到B處時，又測得燈塔C在北偏西72°，求從B到燈塔C的距離.

解：AB=20×（10-8）=40（海里），

∵∠CBD=72°，∠A=36°，

∴∠C=∠CBD-∠A=72°-36°=36°，

∴∠C=∠A=36°，∴BC=AB=40（海里）.

∴從B到燈塔C的距離是40海里.

圖1

二、利用勾股定理或三角函數(shù)求距離

例2在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖2所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為_____cm．（結(jié)果保留π）

解：∵圓柱體的側(cè)面展開圖是矩形（如圖3），把圖3中的AE，E′C拼成一條線段，當(dāng)如圖4所示時，絲帶最短，其中AB為圓柱的底面圓周長的1.5倍，BC為圓柱的高.

∴AB=2π×1×1.5=3πcm，BC=3cm，

在Rt△ABC中，

圖2

圖3

圖4

填

例3如圖5，濕地景區(qū)岸邊有三個觀景臺A，B，C，已知AB=1400米，AC=1000米，B點位于A點的南偏西60.7°方向，C點位于A點的南偏東66.1°方向.

圖5

（1）求△ABC的面積；

（2）景區(qū)規(guī)劃在線段BC的中點D處修建一個湖心亭，并修建觀景棧道AD.試求A，D間的距離.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414）

解：（1）過點C作CE⊥AB，交BA的延長線于E，如圖6.

由已知可得，∠BAC=60.7°+66.1°=126.8°.

∴∠CAE=180°-126.8°=53.2°，

圖6

在Rt△ACE中，由

CE=1000×sin53.2°≈800（米），

（2）連接AD，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DF∥CE.

又因為D是BC的中點，所以

在Rt△ACE中，由得，AE=1000×cos53.2°≈600（米），

在Rt△ADF中，由勾股定理得

∴A，D間的距離是565.6米.

三、利用比例線段求距離

例4“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學(xué)《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖7獲得，則井深為（ ）

A．1.25尺. B．57.5尺. C．6.25尺. D．56.5尺.

解：依題意可得 BC∥ED，所以△ABF～△ADE，

∴ AB∶AD=BF∶DE，即5∶AD=0.4∶5，

解得AD=62.5，

∴BD=AD-AB=62.5-5=57.5（尺）．選B．

圖7