撥開云霧見月明

陳芳

摘要：新課標指出，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活中需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.因此，近年中考數(shù)學試題進行了大幅度改革，規(guī)律探索題頻頻出現(xiàn)在各地試卷中，異彩紛呈，成為熱點、創(chuàng)新題型之一.解規(guī)律探索題的關鍵是，準確找出題目中隱含的規(guī)律，即撥開云霧.一旦找對這個隱含的規(guī)律，問題就能迎刃而解，即見月明.

關鍵詞：初中數(shù)學規(guī)律探索題

新課標指出，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活中需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.因此，近年中考數(shù)學試題進行了大幅度改革，規(guī)律探索題頻頻出現(xiàn)在各地試卷中，異彩紛呈，成為熱點、創(chuàng)新題型之一.

規(guī)律探索題，設計獨特、新穎，蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法，沒有現(xiàn)成的模式可套用，需要學生先從已知的事物中找出規(guī)律，然后解答.規(guī)律探索問題符合人的認知規(guī)律，是訓練、考查學生思維的靈活性和深刻性的創(chuàng)新題型.解規(guī)律探索問題，能使學生感受數(shù)學文化、拓寬數(shù)學視野、提高數(shù)學修養(yǎng)，還能幫助學生實現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過程.

解規(guī)律探索題的關鍵是，準確找出題目中隱含的規(guī)律，即撥開云霧.一旦找對這個隱含的規(guī)律，問題就能迎刃而解，即見月明.

下面結合自己的教學實踐談談解探索規(guī)律題的幾種常用思路.

一、計算特殊情況，探索一般規(guī)律

探索數(shù)字規(guī)律，一般從運算入手，嘗試著做一些特殊情況下的計算，從所得出的結果中，分析符號、系數(shù)、字母、指數(shù)等方面與序號之間的關系，從而找出其中的規(guī)律.

例1化簡33…3n個3×33…3n個3+199…9n個9，并說明在結果中共有多少個奇數(shù)數(shù)字.

解析：本題粗看似乎無從下手，因為這里的n是一個不確定的數(shù).為了解決這個問題，我們可以先觀察n=1，2，3，4時的簡單情形：

n=1時，原式=3×3+19=28；

n=2時，原式=33×33+199=1288；

n=3時，原式=333×333+1999=112888；

n=4時，原式=3333×3333+19999=11128888.

在這些特例中，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

33…3n個3×33…3n個3+199…9n個9=11…1（n-1）個1288…8n個8，結果中奇數(shù)數(shù)字有（n-1）個.

點評：對于較復雜的圖形類規(guī)律題，常涉及各知識點的綜合運用，導致學生常常無從下手.對于這類題，可以根據(jù)相應知識點先算準初始情況下的基本數(shù)據(jù)，然后找出數(shù)據(jù)規(guī)律.

例2正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖1的方式放置.點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y=kx+b（k>0）和x軸上.已知點B1（1，1），B2（3，2），則An的坐標是，Bn的坐標是.

解析：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b，可得y=x+1.由計算易得A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），可推得An（2n-1-1，2n-1）.由圖可知，Bn的橫坐標與An+1的橫坐標一樣，Bn的縱坐標與An的縱坐標一樣，所以Bn的坐標是（2n-1，2n-1）.

點評：這里主要用到從特殊到一般的數(shù)學思想方法.通過對問題的簡單情形或特殊情況進行分析、實驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.

二、 抓住主要矛盾，提取有用信息

有些題目看上去很大、很復雜，實際上關鍵性的內容并不多.認真分析這類題目，并把其中關鍵的內容抽出來，題目的難度就會降低，問題也就容易解決了.

例3觀察下表.根據(jù)表中反映的規(guī)律，第n行第n列交叉點上的數(shù)應為.

第一列第二列第三列第四列

第一行1234

第二行2345

第三行3456

第四行4567

……………

解析：此題看上去數(shù)據(jù)比較多，實際上結合所求后我們會發(fā)現(xiàn)問題很簡單：只需把左上角至右下角對角線上的數(shù)依次抽取出來，即1，3，5，7，…可見，這是從1開始的奇數(shù)排列，于是問題便轉化成求第n個奇數(shù)的表達式.答案是2n-1.

三、善于比較鑒別，尋找異同點

“有比較，才有鑒別”.通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)事物的異同點，因而容易發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律.規(guī)律探索題，通常會先按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律.揭示的規(guī)律，常常與事物的序列號有關，所以把變量和序列號放在一起加以比較，就容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.

例4觀察下列各式.

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

猜想：13+23+33+…+103=.

解析：此題給出的都是等式.對于等式，我們要左右兩邊分別來考慮，需要進行比較的因素也比較多.從上到下觀察左邊，發(fā)現(xiàn)第n個等式的左邊就是從1到n這n個連續(xù)自然數(shù)的立方和；而右邊都是某個數(shù)的平方，關鍵是要發(fā)現(xiàn)這些底數(shù)的變化規(guī)律：僅將這些底數(shù)1，3，6，10，…與序列號相比較其規(guī)律表述不方便.換個角度，將右邊的這個底數(shù)與左邊的各加數(shù)的底數(shù)相比較，發(fā)現(xiàn)右邊的底數(shù)等于左邊的各加數(shù)的底數(shù)和.故13+23+33+…+103=（1+2+3+…+10）2=552.

四、找出關鍵變量，探究變化規(guī)律

規(guī)律探索題，一般都會涉及一個或者幾個變化的量.找出規(guī)律，在多數(shù)情況下，就是要找出變量的變化規(guī)律.抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵.

例5如圖2，探索n×n的正方形釘子板上（n是釘子板每邊上的釘子數(shù)），連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù).

當n=1時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與2，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數(shù)，則S=2；

當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，2，2，5，22五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5.

對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式.

解析：比較圖2中第1、2兩張圖，發(fā)現(xiàn)實際上第2張圖中包含有第一張圖，即深色的那一部分，所以數(shù)第2張圖中的線段種數(shù)只需數(shù)出不包含在深色部分的線段種數(shù)，即3種，再加上第1張圖中的2種，即有2+3=5種.再比較第2、3兩張圖，易見第3張圖比第2張圖多4種，故第3張圖共有2+3+4=9種；同樣，可知第4張圖共有2+3+4+5=14種.再利用上述講到的第二種比較的思路，可知對n×n的釘子板，S=2+3+…+（n+1）=n（n+3）2.

五、尋覓循環(huán)規(guī)律，計算具體位置

有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，問題就能迎刃而解.解決這類規(guī)律題，首先要找出一個循環(huán)節(jié)需要幾次變化，并清楚循環(huán)節(jié)內數(shù)或圖形的變化規(guī)律，其次要得到關于循環(huán)節(jié)節(jié)數(shù)的商和余數(shù)，最后由商和余數(shù)的實際意義作答即可.

例6把多塊大小不同的30°直角三角板按如圖3擺放在平面直角坐標系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點B3；…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點B2017的坐標為.

OB=OA·tan60°=1×3=3，

OB1=OB·tan60°=3×3=（3）2=3，

OB2=OB1·tan60°=（3）3，…

∵2017÷4=506…1，

∴點B2017的坐標為（0，-（3）2018）.

總之，“條條道路通羅馬”.解規(guī)律探索題的思路還有很多，這里只是簡單地總結了一些常用的解題思路.要讓學生快速、準確地解該類型的題，教師就要引領學生身臨其境，從不同的角度去觀察、分析、探索，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，使學生在深入思考、尋找本質規(guī)律的過程中提高解題能力，從而適應時代的發(fā)展.