載荷時(shí)變的雙層隔振系統(tǒng)自適應(yīng)滑模控制

崔明月 劉紅釗 屈重年 孫棣華

摘要： 針對(duì)實(shí)際應(yīng)用雙層隔振系統(tǒng)載荷時(shí)變的特性，設(shè)計(jì)了基于正交函數(shù)近似法的自適應(yīng)滑模控制器的振動(dòng)控制策略。首先，將系統(tǒng)的參考坐標(biāo)置于名義載荷下的靜態(tài)位移處，同時(shí)考慮到彈簧剛度的非線性特性，建立系統(tǒng)的非線性模型。其次，將系統(tǒng)的不確定部分用兩個(gè)未知時(shí)變函數(shù)來(lái)描述，應(yīng)用一系列加權(quán)正交函數(shù)的和來(lái)近似未知函數(shù)，基于滑模控制理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂坡?，結(jié)合Lyapunov直接法推導(dǎo)正交函數(shù)序列系數(shù)的自適應(yīng)更新律，同時(shí)可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與傳統(tǒng)PID控制的對(duì)比仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的自適應(yīng)滑?？刂撇呗阅軌蚋玫乜朔d荷時(shí)變的影響，提高了系統(tǒng)的控制性能。關(guān)鍵詞： 主動(dòng)控制； 雙層隔振系統(tǒng)； 正交函數(shù)近似法； 自適應(yīng)滑?？刂?/p>

中圖分類(lèi)號(hào)： O328； TP183文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 10044523（2017）04061010

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.012

引言

雙層隔振系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，在車(chē)輛工程、船舶工程、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。雙層隔振裝置能夠顯著降低機(jī)械設(shè)備振動(dòng)向外界的傳遞，是隔離振動(dòng)和結(jié)構(gòu)噪聲的有效措施。然而，傳統(tǒng)被動(dòng)式的隔振方式對(duì)于低頻振動(dòng)，尤其是隔振裝置自身固有頻率附近的振動(dòng)，難以進(jìn)行有效隔離[1]。主動(dòng)振動(dòng)控制需外界供給能量，它是利用外界能量產(chǎn)生控制振動(dòng)所需要的力。這種控制效果較好、原結(jié)構(gòu)改變不大、調(diào)整方便。目前，在阻振、吸振和隔振領(lǐng)域，均已開(kāi)展了相應(yīng)的主動(dòng)控制技術(shù)研究[13]。

楊鐵軍[3]等將CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與PID控制相結(jié)合設(shè)計(jì)了應(yīng)用于雙層隔振系統(tǒng)的復(fù)合控制器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明適用于不同低頻正弦激勵(lì)信號(hào)下的振動(dòng)控制。袁紹軍、楊鐵軍[4]等針對(duì)常規(guī)模糊控制器量化因子難以自適應(yīng)在線調(diào)整的問(wèn)題，提出一種量化因子模糊自調(diào)整控制策略，應(yīng)用于柴油機(jī)雙層隔振系統(tǒng)控制，顯著提高了隔振效果。C S Zhao[5]等將PID控制與模糊控制相結(jié)合應(yīng)用于雙層隔振系統(tǒng)控制。N Yagiz[6]針對(duì)七自由度汽車(chē)主動(dòng)懸架的控制問(wèn)題，運(yùn)用反步控制策略設(shè)計(jì)了振動(dòng)控制器。J M Rodriguez等[7]針對(duì)包含壓電制動(dòng)器的阻尼減振系統(tǒng)，基于微分平坦理論設(shè)計(jì)前饋控制律。然而，現(xiàn)有的振動(dòng)主動(dòng)控制方法通常只集中在削減有限模態(tài)的振動(dòng)，并基于理想化的數(shù)學(xué)模型，在工程實(shí)際中的適用范圍十分有限。隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的發(fā)展，自適應(yīng)控制技術(shù)在主動(dòng)振動(dòng)控制中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。在文獻(xiàn)[1]中，研究者應(yīng)用多點(diǎn)自適應(yīng)有源控制策略應(yīng)用于柴油機(jī)的雙層隔振系統(tǒng)控制。文獻(xiàn)[810]運(yùn)用自適應(yīng)控制理論進(jìn)行主動(dòng)控制研究，運(yùn)用最小誤差均方算法對(duì)系統(tǒng)誤差通道進(jìn)行在線辨識(shí)，取得了一定的控制效果。在文獻(xiàn)[11]中，將自適應(yīng)前饋補(bǔ)償方法應(yīng)用于機(jī)械耦合系統(tǒng)的振動(dòng)控制，效果明顯。遺憾的是，上述研究成果大都是以線性定常系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，且沒(méi)有考慮隔振系統(tǒng)載荷與參數(shù)的時(shí)變，這與工程實(shí)際中的系統(tǒng)特性并不相符。

第4期崔明月，等： 載荷時(shí)變的雙層隔振系統(tǒng)自適應(yīng)滑模控制振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第30卷由于滑?？刂破骶哂恤敯粜詮?qiáng)、可靠性高與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，已在主動(dòng)隔振系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。曾強(qiáng)洪等[12]提出應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制實(shí)現(xiàn)隔振系統(tǒng)和混沌系統(tǒng)投影同步的新方法，在保持原有隔振系統(tǒng)隔振性能的前提下有效地消除了線譜。劉延斌等[13]基于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，綜合運(yùn)用反演控制設(shè)計(jì)方法、自適應(yīng)以及滑?？刂萍夹g(shù)，制定了系統(tǒng)的低頻主動(dòng)控制策略。在文獻(xiàn)[14]中，針對(duì)帶有電流變液智能阻尼器的半主動(dòng)汽車(chē)懸架模型，運(yùn)用滑模變結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)了半主動(dòng)懸架滑?？刂破?。在文獻(xiàn)[15]中，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)逆模型與滑模控制策略相結(jié)合的車(chē)輛懸架主動(dòng)控制控制新方法。但是，上述研究都沒(méi)考慮系統(tǒng)載荷時(shí)變的影響，并且所設(shè)計(jì)控制器不具有自適應(yīng)性，這不利于其在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

鑒于此，針對(duì)實(shí)際工程中雙層隔振系統(tǒng)載荷時(shí)變的特性，建立系統(tǒng)的非線性模型，提出一種正交函數(shù)近似方法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的復(fù)合自適應(yīng)控制策略。運(yùn)用正交函數(shù)近似方法對(duì)系統(tǒng)的不確定部分進(jìn)行在線辨識(shí)，自適應(yīng)滑?？刂瓶刂破髟诰€產(chǎn)生控制力，并與常規(guī)PID控制算法進(jìn)行對(duì)比仿真研究，結(jié)果表明基于正交函數(shù)近似法的自適應(yīng)滑?？刂撇呗栽陔p層隔振系統(tǒng)主動(dòng)控制中具有更好的減振效果。

1問(wèn)題描述

利用柴油機(jī)作為初級(jí)振源，采用特殊中間質(zhì)量形式加入作動(dòng)器，構(gòu)建雙層隔振系統(tǒng)。圖1為雙層隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖。m1（t）為時(shí)變的隔振對(duì)象—柴油機(jī)的質(zhì)量，m2為中間質(zhì)量塊的質(zhì)量，F(xiàn)g為隔振對(duì)象工作時(shí)產(chǎn)生的豎直方向振動(dòng)激擾力，F(xiàn)k表示控制器產(chǎn)生的主動(dòng)控制力。整個(gè)模型的控制原理是通過(guò)位移傳感器測(cè)得m2的位移，送入控制器，然后通過(guò)控制器控制作動(dòng)器A使其產(chǎn)生滿(mǎn)足一定條件的主動(dòng)作動(dòng)力Fk來(lái)抵消m1的振動(dòng)，從而達(dá)到隔振的目的。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，在此僅考慮豎直方向的振動(dòng)，將雙層隔振系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)兩自由度的彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)。

圖1隔振系統(tǒng)模型

Fig.1Model of vibration isolation system

柴油機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)主要是由機(jī)座向外傳播，因此，只要根據(jù)中間質(zhì)量的振動(dòng)信號(hào)計(jì)算出使其振動(dòng)趨于零所需要的施加到中間質(zhì)量上的最優(yōu)控制力Fk，則向機(jī)座傳播的振動(dòng)就趨于零，從而達(dá)到隔振的目的。

選取隔振對(duì)象m1（t）與中間塊質(zhì)量m2坐標(biāo)分別為x1和x2，對(duì)于上層彈簧，采用一個(gè)非線性彈簧，其彈簧力位移之間關(guān)系為Fk1=k11（x1-x2）+k12×（x1-x2）3。k11與k12分別為彈簧k1的線性與非線性彈性系數(shù)，x1-x2為彈簧發(fā)生彈性形變的位移。

由牛頓定律可得雙層隔振系統(tǒng)的振動(dòng)方程：m1（t）1+c1（t）（1-2）+k11（x1-x2）+

k12（x1-x2）3=Fg+Fk-m1（t）g

m22-c1（t）（1-2）+c22-k11（x1-x2）-

k12（x1-x2）3+k2x2=-Fk-m2g（1）式中k2為下層彈簧的彈性系數(shù)，c1（t）為時(shí)變的上層阻尼器的阻尼系數(shù)，c2為下層阻尼器的阻尼系數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，被隔振對(duì)象的質(zhì)量往往是變化的，所以考慮載荷的時(shí)變性更具有工程意義。假設(shè)被隔振對(duì)象的質(zhì)量m1（t）有界，且其范圍可以估計(jì)。那么，m1（t）可以表示為m1（t）=m1m+Δm1（t），m1m表示m1（t）的名義值，Δm1（t）為m1（t）的不確定部分，假設(shè)其有界。定義中間質(zhì)量塊m2的參考位置為x2r=（-m2-m1m）g/k2（g為重力加速度），是名義載荷m1mg與中間質(zhì)量塊重力m2g引起的彈簧k2的位移。

定義隔振對(duì)象m1（t）的參考位置為x1r=x2r+δ0，δ0<0為靜態(tài)時(shí)彈簧變形。定義狀態(tài)變量1=x1-x1r，2=x2-x2r，則式（1）可變?yōu)椤ぁ?=1m1（t）[-k11（1-2）-k12[（1-2+

δ0）3-δ30]-c1（t）（·1-·2）-

Δm1（t）g+Fg+Fk]

··2=1m2[k11（1-2）+k12[（1-2+δ0）3-

δ30]+c1（t）（·1-·2）-c2·2-k22-Fk]（2）若取狀態(tài)變量為x=12〖〗·1·2T，系統(tǒng)輸出y=1，控制輸入u=Fk，則振動(dòng)方程（2）可寫(xiě)為：y…=f（x，t）+g（t）u

y=1（3）式中系統(tǒng)參數(shù)m1和c1是時(shí)變的，f（x，t）與g（t）是未知時(shí)變的函數(shù)，由式（2）與（3）可得f（x，t）與g（t）的表達(dá)式如下：f（x，t）=11（t）[-k11（1-2）-

k12[（1-2+δ0）3-δ30]-

c1（t）（·1-·2）-Δm1（t）g+Fg]+

1m1（t）[-k11（·1-·2）-k12[3（1-2+δ0）2·

（·1-·2）-δ30]-1（t）（·1-·2）-

c1（t）（··1-··2）-Δ1（t）g+g+k]

g（t）=11（t）-[m1（t）+m2]c1（t）m2m1（t）其中，f（x，t）表達(dá)式中的··1與··2由式（2）所決定。

由系統(tǒng)方程（3）可以看到，由于系統(tǒng)函數(shù)f（x，t）與g（t）是非線性函數(shù)，從控制角度看，系統(tǒng)輸出y=1與控制輸入u之間不滿(mǎn)足齊次性與疊加性原理，是典型的嚴(yán)格非線性關(guān)系。再者，系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)1與2之間不是獨(dú)立的，具有強(qiáng)耦合性，所以式（3）所描述的雙層隔振系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合與多變量系統(tǒng)，常規(guī)線性控制器已不能滿(mǎn)足其控制要求，這就要求設(shè)計(jì)一種魯棒性強(qiáng)，且具有自適應(yīng)能力的非線性控制器來(lái)克服系統(tǒng)函數(shù)時(shí)變的影響。同時(shí)，由于系統(tǒng)（3）中的函數(shù)f（x，t）和g（t）是時(shí)變未知的，不能直接利用式（3）進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。因此，必須對(duì)式（3）所映射的系統(tǒng)輸出y與控制輸入u之間的關(guān)系進(jìn)行辨識(shí)。

2正交函數(shù)近似方法的隔振系統(tǒng)辨識(shí)

要進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，必須對(duì)雙層隔振系統(tǒng)模型（3）中的未知函數(shù)f（x，t）與g（t）進(jìn)行在線辨識(shí)。下面論述利用正交函數(shù)近似法對(duì)f（x，t）與g（t）進(jìn)行在線辨識(shí)的方法。

正交實(shí)函數(shù)集合zi（t），i=1，2，…，n在區(qū)間t1，t2內(nèi)滿(mǎn)足以下條件∫t2t1zi（t）zj（t）dt=0，i=j

≠0，i≠j（4）進(jìn)一步地，如果此函數(shù)集合滿(mǎn)足∫t2t1z2idt=1，則稱(chēng)其為正則化函數(shù)集合。若定義在區(qū)間t1，t2內(nèi)的實(shí)函數(shù)集合zi（t），i=1，2，…，n滿(mǎn)足下式[16]∫t2t1ω（t）zi（t）zj（t）dt=0，i=j

≠0，i≠j（5）則zi（t），i=1，2，…，n在區(qū)間t1，t2內(nèi)為相對(duì)于加權(quán)函數(shù)ω（t）的正交函數(shù)集合。如果ω（t）>0，將正交函數(shù)集合的每一項(xiàng)均乘上ω（t），則任何相對(duì)于加權(quán)函數(shù)ω（t）的正交函數(shù)集合均可轉(zhuǎn)換為相對(duì)于1的正交函數(shù)集合。

任意函數(shù)h（t）在區(qū)間t1，t2內(nèi)，可被無(wú)限級(jí)數(shù)的正交函數(shù)集合zi（t），i=1，2，…，n展開(kāi)如下式h（t）=w1z1（t）+w2z2（t）+…+

wnzn（t）+…（6）此級(jí)數(shù)被稱(chēng)為廣義Fourier級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱(chēng)為h（t）相對(duì)于zi（t），i=1，2，…，n的Fourier系數(shù)。將h（t）乘以zn（t）并在區(qū)間t1，t2內(nèi)積分，同時(shí)考慮zi（t）的正交性，可得∫t2t1h（t）zn（t）dt=wn∫t2t1z2n（t）dt（7）由上式可得系數(shù)wn為wn=∫t2t1h（t）zn（t）dt∫t2t1z2n（t）dt（8）由式（7）和（8）可以證明函數(shù)h（t）在區(qū)間t1，t2內(nèi)滿(mǎn)足如下關(guān)系[16]limn→∞∫t2t1h（t）-∑ni=1wizi2dt=0（9）由式（6）～（8），函數(shù)h（t）可表示為h（t）=∑ni=1wizi（t）+ε（t）（10）式中ε（t）=∑∞i=n+1wizi為近似誤差。式（10）可表示為向量的形式h（t）=WTZ（t）+ε（t）（11）式中W=w1，w2，…，wnT為系數(shù)向量。假設(shè)選取的項(xiàng)數(shù)n足夠多，ε（t）→0，則式（11）可近似表示為h（t）≈WTZ（t）（12）在工程實(shí)際中，通常選取Fourier級(jí)數(shù)作為正交函數(shù)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的定義如下：

一個(gè)定義在區(qū)間[t0，t0+T]內(nèi)的函數(shù)h（t），若滿(mǎn)足Dirichlet條件，則函數(shù)h（t）可展開(kāi)為如下Fourier級(jí)數(shù)[17]：

h（t）=a0+∑∞n=1[ancos2nπt〖〗T+bnsin2nπtT]（13）

式中a0=1T∫t0+Tt0h（t）dt， an=2T∫t0+Tt0h（t）·cos2nπtTdt，bn=2T∫t0+Tt0h（t）sin2nπtTdt。

其中，a0，an，bn為Fourier系數(shù)。

在使用正交函數(shù)近似法設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模控制器時(shí)，將利用式（12）來(lái)近似估計(jì)雙層隔振系統(tǒng)（3）的不確定項(xiàng)f（x，t）與g（t），其中Z（t）為已知的時(shí)變向量，并結(jié)合未知常系數(shù)向量W來(lái)擬合未知函數(shù)。其中基底函數(shù)向量Z（t）選擇Fourier級(jí)數(shù)，亦即Z（t）=[1， cosω1t， sinω1t， cosω2t， sinω2t，…，

cosωnf， sinωnft]T（14）式中ωi=2πi/T；i=1，2，…，nf；nf為基底函數(shù)向量的個(gè)數(shù)。

應(yīng)用正交函數(shù)近似法可以將雙層隔振系統(tǒng)（3）中未知的時(shí)變函數(shù)f（x，t）和g（t）表示成未知常數(shù)與已知Fourier級(jí)數(shù)的組合函數(shù)，進(jìn)一步通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，可以推導(dǎo)出未知常數(shù)的更新律，就能夠達(dá)到運(yùn)用函數(shù)近似法在線辨識(shí)的目的。

3自適應(yīng)滑模控制律的設(shè)計(jì)3.1控制律的設(shè)計(jì)隔振系統(tǒng)的振動(dòng)控制的目的是根據(jù)質(zhì)量塊的振動(dòng)位移，計(jì)算出使其振動(dòng)趨于零所需要的施加到質(zhì)量塊上的最優(yōu)控制力Fk，使質(zhì)量塊的振動(dòng)趨于零從而達(dá)到隔振的目的。

在控制系統(tǒng)中，利用滑?？刂破髟诰€計(jì)算控制力Fk。根據(jù)第2節(jié)中的研究結(jié)果，先利用正交函數(shù)近似法對(duì)雙層隔振結(jié)構(gòu)模型的時(shí)變未知函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)?；诤瘮?shù)近似法的自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。該控制系統(tǒng)充分融合了滑?？刂破黥敯粜詮?qiáng)與正交函數(shù)近似法計(jì)算簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，達(dá)到對(duì)雙層隔振系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制的目的。

圖2函數(shù)近似法辨識(shí)的自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)

Fig.2Adaptive sliding mode control system based on function approximation method定義滑動(dòng)面s=+λ1+λ2y（15）式中λ1>0與λ2>0是設(shè)計(jì)參數(shù)，決定被隔振對(duì)象位移量x1在滑動(dòng)面上的收斂速率。上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得=y···+λ1+λ2（16）將式（3）代入式（16），得=f（x，t）+g（t）u+λ1+λ2=

g（t）[f（x，t）g-1（t）+u+

g-1（t）λ1+g-1（t）λ2]（17）采用指數(shù)趨近律=-λ3sgn（s）-λ4s（18）式中λ3>0，λ4>0為設(shè)計(jì)參數(shù)，sgn（s）為符號(hào)函數(shù)定義如下sgn（s）=-1，s<0

+1，s>0為使控制系統(tǒng)的輸出收斂至滑動(dòng)面，根據(jù)式（17）與式（18），可設(shè)計(jì)雙層隔振系統(tǒng)的滑?？刂坡扇缦聈=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-

λ3sgn（s）-λ4s]（19）式中f^（x，t）和g^（t）分別為f（x，t）和g（t）的估計(jì)值。

由式（19）可知，當(dāng)g^（t）接近于零時(shí)，控制量u會(huì)趨于無(wú)窮大，所以g^（t）必須有一個(gè)最小值的限制，假設(shè)g（t）>g>0，g為g（t）下限值。

令fa=f（x，t）g-1（t），將式（19）代入式（17），得

=g（t）[（fa-f^a）+λ1（g-1-g^-1）+

λ2（g-1-g^-1）-λ3g^-1sgn（s）-λ4g^-1s]（20）

式中g(shù)-1=1/g（t），f^a為fa的估計(jì)值。上式中函數(shù)fa，f^a，g-1及g^-1均假設(shè)為有界的未知連續(xù)函數(shù)且滿(mǎn)足Dirichlet條件，這些函數(shù)可應(yīng)用函數(shù)近似法表示如下：fa=WTfaZfa

f^a=TfaZfa

g-1=WTgZg

g^-1=TgZg（21）式中Wfa，W^fa，Wg，W^g∈Rn為時(shí)變系數(shù)向量，而Zfa，Zg∈Rn是基底Fourier函數(shù)向量。因此，式（20）可寫(xiě)為=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-

λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]（22）式中Tfa=WTfa-W^Tfa

Tg=WTg-W^Tg（23）3.2 系統(tǒng)的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

為證明雙層隔振控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及求得W^fa與W^g的更新律，選取如下的Lyapunov函數(shù)V（s，fa，g）=12s2+12g（t）（TfaQfafa+

TgQgg）（24）式中Qfa，Qg∈Rn×n為正定矩陣。

假設(shè)控制量增益g（t）是一個(gè)變化緩慢的函數(shù)，即（t）≈0。將式（24）所示的Lyapunov函數(shù)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得（s，fa，g）=s+g（t）（TfaQfa·fa+

TgQg·g）（25）因?yàn)閃fa及Wg為未知的常系數(shù)向量，由式（23）可知·Tfa=-W^·Tfa

·Tg=-W^·Tg（26）將式（22）與（26）代入式（25）可得（s，fa，g）=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]s-g（t）（TfaQfaW^·fa+

TgQgW^·g）=g（t）{[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ1W^TgZgsgn（s）-λ2W^TgZgs]s-TfaQfaW^·fa-

TgQgW^·g}=g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-W^TgZg（λ3s+λ4s2）}=

g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-（WTg-Tg）Zg（λ3s+λ4s2）}=

g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zg（λ1s+λ2s+λ3s+λ4s2）-QgW^·g]-WTgZg（λ3s+λ4s2）}（27）根據(jù)式（27），可選擇W^fa與W^g的更新律如下：fa= Qf-1aZfas（28）

W^·g=Q-1gZg（λs+λ1|s|+λ2s2），（t）>g>0

Q-1gZg（λ1s+λ2s+λ3|s|+λ4s2，

0>（t）≤g & λ1s+λ2s+

λ3|s|+λ4s2<0

0，0<（t）≤g & λ1s+λ2s+

λ3|s|+λ4s2≥0（29）在式（29）中，W^fa更新律的設(shè)計(jì)是為了確保g（t）的估計(jì)值g^（t）滿(mǎn)足g^（t）>g>0（g為g（t）的下界值）。如果選擇適當(dāng)?shù)膅，可保證式（19）中的控制量u趨于無(wú)窮大的情況不會(huì)發(fā)生。式（21）中各時(shí)變系數(shù)向量Wfa，W^fa，Wg，W^g可由式（28）與（29）來(lái)確定。

綜上所述，所設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破鞴ぷ鬟^(guò)程為：

步驟1：由實(shí)際檢測(cè)到的雙層隔振系統(tǒng)的被隔振對(duì)象的振幅y=x1-x1r，根據(jù)式（15）計(jì)算滑動(dòng)面函數(shù)s；

步驟2：由式（21），（28），29）來(lái)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)的估計(jì)值g^（t）和f^（x，t）；

步驟3：由滑?？刂坡桑?6）計(jì)算出作用于中間質(zhì)量上的最優(yōu)控制力：u=Fk。

3.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理：雙層隔振系統(tǒng)模型（3）在滑?？刂坡桑?9）及自適應(yīng)律（28）和（29）的作用下，隔振對(duì)象的豎直方向位移y=1收斂到零。

證明：將式（28）和（29）代入式（27）可得（s，fa，g）=-g（t）WTgZg（λ3s+λ4s2）=

-g（t）g-1（t）（λ3s+λ4s2）=

-（λ3s+λ4s2）≤0（30）Lyapunov函數(shù)V（s，fa，g）是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的單調(diào)非增函數(shù)，所以V（s，fa，g）≤V（0）<∞，由式（25）可知s∈L∞，fa∈L∞，g∈L∞。因?yàn)?/p>

（s，fa，g）=-（λ3s+λ4s2）≤-λ4s2（31）

根據(jù)定積分性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)積分，得∫∞0s2dt≤-1λ4∫∞0（s，fa，g）dt=

1λ4（V（0-V（∞））<∞（32）故s∈L2，所以s∈L2∩L∞。再者，由式（22）可知∈L∞，由Barbalat引理[18]，可知當(dāng)t→∞時(shí)，有s→0。由式（15）可知，當(dāng)t→∞時(shí)，有+λ1+λ2y=0（33）此時(shí)有y=c1exp（-λ1+λ21-4λ22t）+

c2exp（-λ1-λ21-4λ22t）（34）式中c1與c2是由y的初始值所決定的常數(shù)。由上式可知，當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)滿(mǎn)足λ21-4λ2>0時(shí)，當(dāng)t→∞時(shí)，y→0，即雙層隔振系統(tǒng)的隔振對(duì)象的豎直方向位移1→0。

在實(shí)際應(yīng)用中，為削弱抖振，用飽和函數(shù)sat（s，δ）代替符號(hào)函數(shù)sgn（s），飽和函數(shù)定義如下sat（s，δ）=-1，s<-δ

sδ，-δ≤s<δ

1，s≥δ（35）式中δ為飽和函數(shù)邊界層厚度。雙層隔振系統(tǒng)的滑?？刂坡桑?9）就變?yōu)閡=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-

λ3sat（s，δ）-λ4s]（36）4數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的雙層隔振系統(tǒng)主動(dòng)控制方法的有效性，在相同的條件下對(duì)設(shè)計(jì)的基于函數(shù)近似法的自適應(yīng)滑?？刂疲ˋSMC， Adaptive Sliding Mode Control）算法與常規(guī)PID控制算法進(jìn)行對(duì)比仿真。仿真所選取的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，ASMC控制器參數(shù)選擇如下：λ1=2.1，λ2=1.0，λ3=λ4=1.2，飽和函數(shù)邊界層厚度δ=0.06。反復(fù)試驗(yàn)后選擇一組最佳的PID控制參數(shù)：比例系數(shù)kp=1.4，積分系數(shù)ki=0.2，微分系數(shù)kd=0.06。正交函數(shù)的基函數(shù)項(xiàng)數(shù)選取對(duì)系統(tǒng)模型中的系統(tǒng)函數(shù)f（x，t）與g（t）的辨識(shí)精度會(huì)產(chǎn)生重要的影響，如果正交函數(shù)的基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)選的太少，運(yùn)算速度快，但辨識(shí)精度低；反之，如果項(xiàng)數(shù)選的多，辨識(shí)精度高，但是運(yùn)算速度慢，導(dǎo)致控制的實(shí)時(shí)性降低。

表1系統(tǒng)參數(shù)

Tab.1System parameters名稱(chēng)符號(hào)標(biāo)稱(chēng)值上層質(zhì)量塊m1（t）/kg50+9sint上層質(zhì)量塊不確定部分Δm1（t）/kg10中間質(zhì)量塊m2/kg105.42上層彈簧線性系數(shù)k11/（N·m-1）5.7×106上層彈簧非線性系數(shù)k12/（N·m-3）1.6×105下層彈簧系數(shù)k2/（N·m-1）1.90×106上層阻尼器系數(shù)c1（t）/

（N·s·m-1）0.1+

0.05e-0.1t下層阻尼器系數(shù)c2/（N·s·m-1）0.1靜態(tài)時(shí)彈簧變形δ0/m-0.165為了解決這個(gè)矛盾，只有在辨識(shí)精度與控制的實(shí)時(shí)性之間做一個(gè)折中，進(jìn)行反復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，找到二者之間一個(gè)最佳結(jié)合點(diǎn)。在仿真中，混合非隨機(jī)激勵(lì)的情況下，項(xiàng)數(shù)n=26，而偽隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)的情況下，項(xiàng)數(shù)n=32。

4.1混合非隨機(jī)激勵(lì)的振動(dòng)控制仿真

在工程實(shí)際中，常見(jiàn)的激勵(lì)信號(hào)有脈沖激勵(lì)、階躍激勵(lì)、三角波以及簡(jiǎn)諧激勵(lì)等，為驗(yàn)證文中提出的方法在各種常規(guī)激勵(lì)作用下的控制效果，采用一組由方波、三角波和簡(jiǎn)諧波組成的混合信號(hào)作為系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)[1920]Fg（t）=1000，t∈[2，4）

500（8-t），t∈[6，8）

1000sin0.2π（t-10），t∈[10，18）

0，其他隔振系統(tǒng)在混合非隨機(jī)激勵(lì)作用下的控制效果如圖3所示。

4.2偽隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)的振動(dòng)控制仿真

隨機(jī)激勵(lì)是振動(dòng)工程領(lǐng)域常見(jiàn)的激勵(lì)方式，在振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)中能夠充分激勵(lì)隔振系統(tǒng)的各種模態(tài)。在保持系統(tǒng)物理參數(shù)與控制器參數(shù)不變的情況下，得到如圖4所示的雙層隔振系統(tǒng)在偽隨機(jī)激勵(lì)作用下的控制效果。

由圖3（c）～（d）和4（c）～（d）可知，基于正交函數(shù)的辨識(shí)方法能夠很好地辨識(shí)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)與未知載荷，對(duì)未知函數(shù)f（x，t）與g（t）具有較強(qiáng)的估計(jì)能力。但是，系統(tǒng)對(duì)未知函數(shù)的估計(jì)精度隨著外激勵(lì)信號(hào)的不同而不同，隨機(jī)激勵(lì)由于前后時(shí)刻之間的信號(hào)不相關(guān)導(dǎo)致其估計(jì)精度比非隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)低。

由圖3（e）～（f）和4（e）～（f）可知，傳統(tǒng)PID控制方法對(duì)系統(tǒng)的控制效果十分有限，而基于正交函數(shù)近似方法的自適應(yīng)滑?？刂品椒梢允瓜到y(tǒng)控制后的位移由常規(guī)PID控制時(shí)的80%～85%降低到40%以?xún)?nèi)。同時(shí)，由圖3與4可以看出，系統(tǒng)的控制精度隨著外激勵(lì)信號(hào)的不同而有所不同，隨機(jī)激勵(lì)由于前后時(shí)刻之間的信號(hào)不相關(guān)導(dǎo)致其控制精度比非隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)要低一些。

圖3與4反映了雙層隔振系統(tǒng)未知載荷估計(jì)和控制效果，該系統(tǒng)分別受到規(guī)則簡(jiǎn)諧信號(hào)和隨機(jī)輸入信號(hào)的激勵(lì)作用，采用正交函數(shù)近似方法可以很好地估計(jì)出系統(tǒng)的不確定部分，辨識(shí)精度較高。由于控制系統(tǒng)具有不確定部分在線估計(jì)功能，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂品椒ǖ目刂菩Ч黠@優(yōu)于常規(guī)PID控制方法。圖3混合非隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)控制結(jié)果

Fig.3Vibration control results for mixed and nonstochastic excitation signal

圖4隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)控制結(jié)果

Fig.4Vibration control results for the stochastic vibration excitation5雙層隔振系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

雙層隔振主動(dòng)控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與結(jié)構(gòu)原理框圖如圖5所示。實(shí)驗(yàn)裝置主要有兩部分組成：一個(gè)是振源模擬單元，主要模擬振源產(chǎn)生的激振信號(hào)，也就是迫使隔振系統(tǒng)振動(dòng)的外激擾力；另一個(gè)是隔振系統(tǒng)的檢測(cè)與控制單元，主要是振動(dòng)信號(hào)檢測(cè)與控制力產(chǎn)生。由IPC工業(yè)控制計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的激振信號(hào)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器送入由電磁閥、液壓機(jī)與滾轉(zhuǎn)機(jī)組成的激振器，模擬初級(jí)振源的振動(dòng)。在未實(shí)施控制前，先由安裝于下層質(zhì)量的加速度傳感器測(cè)量并記錄下層質(zhì)量的響應(yīng)，以了解被動(dòng)隔振的情況。實(shí)施主動(dòng)控制時(shí)，由傳感器測(cè)得的位移與加速度信號(hào)

圖5雙層隔振系統(tǒng)控制模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

Fig.5Experiment platform of twostage vibration isolating system經(jīng)過(guò)低通濾波及A/D轉(zhuǎn)換后作為自適應(yīng)滑模控制器的輸入。控制器輸出分別驅(qū)動(dòng)兩個(gè)液壓缸作動(dòng)器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。控制器硬件由工業(yè)控制計(jì)算機(jī)IPC610H以及研華PCM3718高速智能數(shù)據(jù)采集卡構(gòu)成，控制軟件用C++語(yǔ)言編制。

在進(jìn)行振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)時(shí)，由振源模擬單元產(chǎn)生頻率為5 Hz的單位正弦信號(hào)作為初級(jí)振源輸入進(jìn)行主動(dòng)控制模擬試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)參數(shù)如下：上層質(zhì)量塊m1=105 kg，上層質(zhì)量塊不確定部分Δm1=10 kg，中間質(zhì)量塊m2=55 kg，上層彈簧線性系數(shù)k11=5.7×106 N/m，上層彈簧非線性系數(shù)k12=1.6×105 N/m3，下層彈簧系數(shù)k2=1.90×106 N/m，上下層阻尼器系數(shù)c1=c2=170 N·s/m。實(shí)驗(yàn)中，ASMC控制器參數(shù)選擇如下：λ1=2.0，λ2=1.0，λ3=λ4=1.5，飽和函數(shù)邊界層厚度δ=0.08。PID控制器參數(shù)：比例系數(shù)kp=2.5，積分系數(shù)ki=0.3，微分系數(shù)kd=0.08。正交函數(shù)的基函數(shù)項(xiàng)數(shù)n=20。兩種控制方法的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6振動(dòng)控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Fig.6Experimental results of the vibration control

由圖6可知，施加主動(dòng)控制后，應(yīng)用自適應(yīng)滑?？刂品椒軌蚴股舷聦淤|(zhì)量塊的振動(dòng)衰減量達(dá)75%～80%左右，采用常規(guī)PID控制可以使質(zhì)量塊的振動(dòng)衰減量達(dá)30%～35%左右。由此可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂撇呗詫?duì)雙層隔振系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)具有較強(qiáng)的抑制單頻信號(hào)的能力，控制效果明顯優(yōu)于常規(guī)PID控制，適用于工程應(yīng)用。

6結(jié)論

針對(duì)雙層隔振系統(tǒng)載荷與參數(shù)不確定的特性，提出了將正交函數(shù)近似方法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合應(yīng)用于雙層隔振系統(tǒng)有源控制的新方法。該方法利用正交函數(shù)近似法對(duì)系統(tǒng)的不確定部分進(jìn)行在線估計(jì)，通過(guò)自適應(yīng)滑模控制器在線計(jì)算控制力。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明這種自適應(yīng)滑模有源振動(dòng)控制策略是行之有效的。另外，系統(tǒng)誤差是評(píng)價(jià)一個(gè)振動(dòng)控制系統(tǒng)控制效果的重要指標(biāo)，其分析方法是振動(dòng)控制評(píng)價(jià)的重要研究?jī)?nèi)容，作者正在做振動(dòng)系統(tǒng)的誤差分析與減振效果評(píng)價(jià)等方面開(kāi)展相關(guān)研究。

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isolating system with timevarying loads

CUI Mingyue1，2， LIU Hongzhao1，2， QU Chongnian1，2， SUN Dihua3

（1.School of Mechatrionics Engineering， Nanyang Normal University， Nanyang 473061， China；

2.Oil Equipment and Intelligent Control Engineering Laboratory of Henan Province， Nanyang 473061， China；

3.College of Automation， Chongqing University， Chongqing 400044， China）

Abstract： An adaptive sliding controller is proposed in this paper for controlling a twostage vibration isolating system with timevarying loads. The reference coordinate is placed at the static position under the nominal loading so that the system dynamic equation is derived. Due to spring nonlinearities， the system property becomes asymmetric after coordinate transformation. Besides， in practical cases， system parameters are not easy to be obtained precisely for controller design. Therefore， in this paper， system uncertainties are lumped into two unknown timevarying functions. To estimate the unknown timevarying functions online， the orthogonal function approximation technique is employed to represent the unknown function as a finite combination of basis functions. The Lyapunov's direct method is used to derive adaptive laws for updating coefficients in the approximating series and to prove stability of the closedloop system. The simulation and experiment results demonstrate that the control performance of the present method for structure greatly compensates the effects of timevarying load sand parameter uncertainties and improves control effectiveness， in comparison with the conventional PID approach.Key words： active control； twostage vibration isolation system； orthogonal function approximation method； adaptive sliding mode control作者簡(jiǎn)介： 崔明月（1974—），男，博士，講師。電話(huà)：（0377）63525159；Email：cuiminyue@sina.com