近水面狀態(tài)有限長圓柱殼受迫振動的輸入功率流和聲輻射特性

王鵬 李天勻 朱翔 郭文杰

摘要： 基于聲固耦合模型，采用波傳播方法分析近水面狀態(tài)有限長圓柱殼受迫振動的輸入功率流和聲輻射特性，并考慮了自由液面的影響。通過與有限元仿真結果進行對比分析，驗證了該方法的正確性。當圓柱殼接近自由液面時，自由液面的存在致使水下圓柱殼輸入功率流和聲輻射特性的峰值頻率向高頻偏移，且響應幅值也略有增大。隨著潛深的增大，自由液面對圓柱殼輸入功率流特性的影響逐漸減小。當潛深大于5倍半徑時，自由液面對耦合系統(tǒng)輸入功率流的影響可以忽略，但其對耦合系統(tǒng)聲輻射特性的影響不可忽略。關鍵詞： 船舶振動； 近水面狀態(tài)圓柱殼； 自由液面； 輸入功率流； 虛源法

中圖分類號： U661.44； O427.1文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04059607

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.010

引言

自由液面廣泛存在于工程實際應用中。自由液面的存在將致使流場形成有限域，它對聲波的反射作用也會導致有限域內圓柱殼振動與聲輻射特性較無限域狀態(tài)存在明顯差異，且使得聲場分布特性更為復雜。因此，研究自由液面對圓柱殼振動與聲輻射特性的影響是十分重要的。

國內外許多學者已針對半無限域內圓柱殼的聲輻射特性進行了分析研究，但主要針對二維圓柱殼結構。Skidan[1]基于邊界積分方法分析推導了半無限域內圓柱殼的聲輻射特性，并分別考慮了自由液面和剛性壁面的影響。Chang[2]基于Flügge殼體理論和近似輻射條件，將半無限域內圓柱殼聲場耦合問題轉變成一個邊界值問題，并通過雙極子坐標變換求解了耦合系統(tǒng)的輻射聲壓。Ye[3]基于波傳播方法探討了存在剛性壁面條件下浸沒圓柱殼的特殊聲振特性。李天勻[4]基于波傳播方法分析推導了有限潛深狀態(tài)下二維圓柱殼輻射聲壓的近似表達式，并探討了自由液面對結構聲輻射特性的影響。

針對有限域內有限長圓柱殼的聲振特性，國內外學者也開展了相關研究。Ergin[5]基于三維水動力數(shù)學模型方法，分析了自由液面和剛性壁面對水下圓柱殼自振特性的影響。基于有限元方法，王宗利[6]對有限潛深狀態(tài)下圓柱殼的自振特性展開了數(shù)值分析，并計入了流體靜壓的影響?；谟邢拊浖嗀NSYS，劉佩[7]通過數(shù)值仿真分析了自由液面和剛性壁面對圓柱殼固有頻率特性的影響。王鵬[8]采用波傳播方法分析了近水面狀態(tài)下圓柱殼的固有振動特性，并探討了自由液面對圓柱殼模態(tài)頻率特性的影響。目前，針對有限域內有限長圓柱殼的聲振特性研究主要側重于圓柱殼的自由振動特性，較少涉及圓柱殼的受迫振動和聲輻射特性。

本文基于波傳播方法建立近水面狀態(tài)下有限長圓柱殼聲場耦合振動模型，并考慮自由液面的影響，進而分析圓柱殼受迫振動的輸入功率流和聲輻射特性。通過與有限元方法進行對比分析，對本文理論分析方法的正確性進行驗證，隨后探討了自由液面、潛深等對近水面狀態(tài)下有限長圓柱殼輸入功率流和聲輻射特性的影響。

1理論分析〖*4〗1.1研究對象近水面狀態(tài)下有限長圓柱殼結構如圖1所示。圓柱殼長度為2L，半徑為R，厚度為h。殼體材料的密度為ρs，彈性模量為E，泊松比為μ。圓柱殼軸線與自由液面平行，且距離為H，定義為潛深。流體密度為ρf。柱坐標系如圖1所示，z， θ， r分別表示圓柱殼的軸向，周向和徑向。圓柱殼兩端分別簡支在半無限長的剛性聲障板上。

圖1近水面狀態(tài)有限長圓柱殼結構示意圖

Fig.1Sketch of a finite cylindrical shell submerged near the free surface第4期王鵬，等： 近水面狀態(tài)有限長圓柱殼受迫振動的輸入功率流和聲輻射特性振 動 工 程 學 報第30卷1.2殼體振動方程

采用Flügge理論描述殼體振動方程Lu

v

w=1-μ2R2E′h0

0

fr-pr=R（1）式中E′=E（1+iξ），ξ為結構阻尼因子，L為微分算子矩陣，具體元素如下：

L11=R22z2+1-μ2（K+1）2θ2-ρsR2（1-μ2）E2t2，

L12=L21=1+μ2R2zθ，L13=L31=-KR33z3+

1-μ2KR3zθ2+μRz，L22=1-μ2（3K+

1）R22z2+2θ2-ρsR2（1-μ2）E2t2，L23=L32=

θ-3-μ2KR23z2θ，L33=1+K+KR44z4+

2KR24〖〗z2θ2+K4θ4+2K2θ2+ρsR2（1-μ2）E2t2。

厚度因子K=h2/（12R2），u， v， w分別表示軸向、周向和徑向的殼體位移。p|r=R是殼體表面的流體聲壓，反映了流體對結構的反作用力，fr表示外激勵力。當殼體受對稱載荷激勵時，殼體受迫振動響應是結構對稱模態(tài)響應的疊加，當圓柱殼受非對稱載荷激勵，則殼體振動響應應為對稱和非對稱模態(tài)響應的疊加。為簡化分析，考慮殼體受對稱載荷激勵，如圖1所示。

基于波傳播方法，可以假設圓柱殼位移具有如下展開式（略去時間簡諧項eiωt）：u=∑+∞m=0∑+∞n=0Umncos（nθ）sinkmz

v=∑+∞m=0∑+∞n=0Vmnsinnθcoskmz

w=∑+∞m=0∑+∞n=0Wmncosnθcoskmz（2）式中m， n分別為軸向和周向模態(tài)階數(shù)，km為軸向波數(shù)，可根據(jù)殼體邊界條件確定[9]。假設殼體兩端簡支，kmL=（2m+1）π/2。

1.3流體聲壓

假設流體為理想聲介質，則流體聲壓滿足聲學波動方程2p-1c2f2pt2=0（3）式中cf為流體聲速。

自由液面對聲波的反射作用使得聲場形成半無限域，也致使圓柱殼的聲場分布特性更加復雜，本文采用虛源法處理自由液面的影響，如圖2所示。忽略圓柱殼結構的聲散射效應，則流體中聲場包括兩部分：一部分是由于結構振動產生的輻射聲場，其聲壓用pr表示；另一部分是由于自由液面對聲波的反射所形成的反射聲場，即虛源的輻射聲場，其聲壓用pi表示。因而，在半無限域聲場中，流體聲壓可以表述為

圖2虛源法示意圖

Fig.2Sketch of the image methodp=pr+pi（4）

采用分離變量法求解式（3），可以得到流體聲壓的表達式pr=∑∞m=0∑∞n=0prmn（z）H（2）n（krr）cos（nθ）

pi=∑∞m=0∑∞n=0pimn（z）H（2）n（krr′）cos（nθ′） （5）式中kr為徑向波數(shù)，k2r=k2f-k2m，kf=ωcf。H（2）n（）為n階Hankel函數(shù)。r′和θ′為虛源坐標系的徑向和周向。

忽略流體的重力效應和自由液面的表面波動效應，則流體聲壓在自由液面處滿足聲壓釋放條件

pr，θ，zfree surface=0（6）

在自由液面上的任意一點，r=r′，θ′=π-θ。

基于graf加法定理[10]，可以建立虛源聲場與本體輻射聲場的映射關系H（2）n（krr′）cos（nθ′）=

∑a=-∞（-1）aH（2）n-a（2krH）Ja（krr）cos（aθ），r≤2H

∑a=-∞（-1）aJn-a（2krH）H（2）a（krr）cos（aθ），r≥2H（7）式中a為加法定理的級數(shù)下標，Jn（）表示n階第一類Bessel函數(shù)。

流體與圓柱殼結構始終保持接觸，則輻射聲壓與殼體徑向振速在交界面處滿足聲振連續(xù)條件-1iρfωpr〖〗rr=R=wt（8）將式（5）和（2）代入上式，并進行Fourier變換，可得rmn（λ）=ρfω2krH（2）′n（krR）m（λ）Wmn（9）式中mλ=∫L-Lexp（iλz）cos（kmz）dz。

1.4外激勵力

假設圓柱殼受徑向點激勵力作用，則外激勵力可以表述成fr=F0Rδ（z-z0）δ（θ-θ0）（10）式中F0為激勵力幅值，z0和θ0分別為激勵點的軸向和周向坐標，δ（）為狄拉克函數(shù)。殼體受如圖1所示的對稱載荷激勵，則z0=0，θ0=0。

依波傳播方法，對外激勵力做級數(shù)展開

fr=∑+∞〖〗m=0∑+∞n=0frmncosnθcoskmz（11）

式中frmn=εnFo/（2πLR）。當n=0時，εn=1；當n≥1時，εn =2。

1.5聲固耦合振動方程

將式（2），（4），（5），（11）代入殼體振動方程，消去軸向位移和周向位移并進行正交化處理，可得近水面狀態(tài)下圓柱殼聲場耦合振動方程

ZMmnWmn+∑+∞p=0ZmnpqWpn=frmn（12）

式中機械位移阻抗ZMmn=EhR2（1-μ2）II33，II33=（T11T22-T12T21）det（T），T為（m， n）階模態(tài)下的系數(shù)矩陣，其各元素為：

T11=-k2mR2-n21+K1-μ/2+Ω2，T12=

-kmRn1+μ/2，T21=T12，T13=-kmRν1-

Kk3mR3+n2KkmR1-μ/2，T31=-T13，T32=

-T23，T22=-k2mR2（1+3K）1-ν1/2-n2+

Ω2，T23=-n-Knk2mR23-μ/2，T33=1+K-

2Kn2+Kk2mR2+n22-Ω2，無量綱頻率Ω=ω/ωring，殼體環(huán)頻率ωring=ER2ρs1-μ2。輻射位移阻抗，Zmnpq=Zrmpn+Zimpn，體現(xiàn)了（m，n）階振動模態(tài)與（p，q） 階振動模態(tài)的耦合作用。Zrmpn和Zimpn分別表示輻射聲和反射聲的位移阻抗，Zrmpn=ρfω2πL·∫∞-∞H（2）n（krR）krH（2）′n（krR）m（λ）p（λ）dλ，Zimpn=ρfω2πL·

∑q=0∫∞-∞（-1）q+1ΔJn（krR）krH（2）′q（krR）m（λ）p（λ）dλ， Δ=

H（2）q-n（2krH）+（-1）nH（2）q+n（2krH）。Zrmpn體現(xiàn)了聲場圓柱殼耦合作用，而Zimpn反映了自由液面的影響。

1.6輸入功率流

根據(jù)輸入功率流的定義，點激勵力作用下近水面狀態(tài)有限長圓柱殼的輸入功率流可表述為pin=1〖〗2∫SRe（fr）ds（13）式中S為殼體外表面積。

為方便后續(xù)數(shù)據(jù)分析，對輸入功率流進行無量化處理Pin=pinF20πρsE（1-μ2）（14）1.7輻射聲功率

根據(jù)輻射聲功率的定義，可以得到近水面狀態(tài)下有限長圓柱殼流場耦合系統(tǒng)的輻射聲功率pv=∫Sp（wt）ds（15）式中（）表示復共軛，S表示殼體外表面積。

定義輻射聲功率級Lpv=10lg（pvC0）（16）式中C0為輻射聲功率的參考值，C0=0.67×10-18 W。

2方法驗證2.1流場圓柱殼耦合系統(tǒng)參數(shù)本文選取的聲場圓柱殼耦合模型參數(shù)如表1所示。表1有限潛深狀態(tài)下圓柱殼流場耦合模型參數(shù)

Tab.1Parameters for the coupled system of a cylindrical shell submerged near the free surface殼體殼體材料流體外力長度L/

m半徑R/

m厚度h/

m密度ρs/

（kg·m-3）泊松比

μ彈性模量E/

Pa阻尼因子

ξ密度ρf/

（kg·m-3）聲速cf/

（m·s-1） 幅值

F01.2840.180.00378500.32.06×10110.051025146012.2收斂性分析

輸入功率流參數(shù)的計算涉及對模態(tài)數(shù)m， n以及下標q的截斷，因此有必要進行理論方法的收斂性分析。假設對m， n和q的最大取值分別為M，N和A，外激勵力頻率f=150 Hz，圓柱殼潛深H=0.2 m，選取點（z=L/2， θ=π， r=R）的殼體位移級Lw作為評價指標，收斂性分析結果如圖3所示。位移級定義，Lw=20lg（w/w0）， w0=1×10-12 m。

圖3理論方法收斂性分析

Fig.3Convergence analysis of present method

假設M，N，A均相等且均為MN，然后采用控制變量法分別探討M，N，A對理論計算結果收斂性的影響。從圖3中可以看出，M=N=A=15足以保證計算結果收斂。

2.3理論方法驗證

目前尚無關于存在自由液面條件下有限長圓柱殼結構輸入功率流特性的研究，無法直接引用文獻驗證本文方法的正確性。依據(jù)輸入功率流的定義式可以知道，圓柱殼結構受迫振動的輸入功率流特性與殼體的受迫振動響應密切相關。因此，本文選取殼體振動位移為評價指標，并通過與基于有限元軟件Patran/Nastran[8]的計算結果進行對比分析以驗證本文方法的有效性。假設潛深H=0.5 m，選取點（z=L/2， θ=π， r=R）處的振動位移級進行驗證分析，結果如圖4所示。

從圖4中可以看出，本文計算結果與有限元結果整體吻合較好，殼體振動位移隨激勵頻率的變化規(guī)律一致，僅在峰值頻率點及共振峰值上略有偏差，但相對誤差較小。因此，本文提出的理論分析方法是正確的。

圖4本文方法與有限元方法對比驗證

Fig.4Validation of the present method3數(shù)值計算〖*3〗3.1自由液面對水下圓柱殼輸入功率流特性的影響為了探究自由液面對水下圓柱殼輸入功率流特性的影響，本文給出了潛深H=0.2 m時圓柱殼輸入功率流特性隨激勵頻率的變化關系，并與理想無限域中圓柱殼的輸入功率流進行對比分析，如圖5所示。

圖5自由液面對水下圓柱殼輸入功率流特性的影響

Fig.5Effect of free surface on input power flow from a submerged cylindrical shell

從圖5可以看出，當圓柱殼靠近自由液面時，自由液面的存在將致使耦合系統(tǒng)輸入功率流曲線的峰值頻率相應向高頻偏移，對共振幅值也略有影響。將流體對結構振動的影響等效為附連水質量，則自由液面的存在將致使水下圓柱殼的附連水質量減少，進而導致水下圓柱殼流場耦合系統(tǒng)的耦合模態(tài)頻率增大，也會導致圓柱殼受迫振動響應略微增大。上述結論與作者[8]研究自由液面對水下圓柱殼自由振動特性影響所得到的結論相一致，進一步說明了本文方法的正確性。

3.2潛深對近水面狀態(tài)圓柱殼輸入功率流特性的影響為了研究潛深對近水面狀態(tài)圓柱殼輸入功率流特性的影響，本文分別給出了H=0.2，0.3，0.5 m條件下圓柱殼輸入功率流隨激勵頻率的變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6潛深對近水面狀態(tài)有限長圓柱殼輸入功率流特性的影響

Fig.6Effect of immersion depth on input power flow from a submerged cylindrical shell

從圖6可以看出，不同潛深條件下圓柱殼輸入功率流特性隨激勵頻率的整體變化規(guī)律較類似，但在峰值頻率和共振幅值上存在差異。隨激勵頻率的增大，圓柱殼受迫振動的平均輸入功率流增大，并在耦合模態(tài)頻率點附近產生共振現(xiàn)象，即出現(xiàn)明顯峰值。隨著潛深H的增大，圓柱殼輸入功率流曲線的峰值頻率點向低頻偏移，且共振響應幅值也略有變化。因而，當圓柱殼接近自由液面時，隨著殼體潛深的增大，耦合模態(tài)頻率相應地逐漸減小。上述現(xiàn)象表明，隨著潛深的增大，自由液面對水下圓柱殼輸入功率流特性的影響逐漸減小。此外，潛深對耦合系統(tǒng)振動能量特性曲線不同共振頻率的影響程度（如峰值頻率偏移量和共振幅值變化量）不盡相同。

從式（12）可知，Zrmn反映了聲場圓柱殼耦合作用，而Zimn反映了自由液面的影響。為了探究自由液面對水下圓柱殼受迫振動響應特性的影響機理，本文給出了前五階模態(tài)下輻射阻抗比Zimn/Zrmn隨潛深比H/R的變化規(guī)律，如圖7所示。

圖7輻射阻抗比|Zimn/Zrmn|隨潛深比H/R的變化

Fig.7Variation of impedance ratio |Zimn/Zrmn| versus immersion depth ratio H/R當潛深較小時，各階彎曲模態(tài)下輻射聲阻抗比Zimn/Zrmn相對較大。此時，反射聲阻抗Zimn與輻射聲阻抗Zrmn大小相近，因而自由液面的影響不可忽略。此外，潛深較小時不同彎曲模態(tài)下的阻抗比值大小不一（低階模態(tài)下的阻抗比值較大，而高階模態(tài)下的阻抗比值則相對較?。@說明自由液面對耦合系統(tǒng)耦合模態(tài)頻率的影響程度不盡相同。隨著潛深比H/R的增大，耦合系統(tǒng)各階輻射阻抗比Zimn/Zrmn均減小并逐漸趨于0。輻射聲阻抗Zrmn與潛深H無關，則上述現(xiàn)象說明自由液面的影響隨著潛深的增大而逐漸減小。當潛深H≥5R時，耦合系統(tǒng)各階輻射阻抗比Zimn/Zrmn均已完全收斂于0。此時，反射聲阻抗Zimn較輻射聲阻抗Zrmn而言是一個小量，因而自由液面的影響可以忽略。此外，輻射聲阻抗比值Zimn/Zrmn是無量綱量，受結構幾何尺寸影響較小，因此本文結論具有一定的普遍性。

自由液面對水下圓柱殼受迫振動響應特性的影響也可以采用聲波衰減理論來解釋。反射聲阻抗Zimn可以反映自由液面的影響，且與虛源輻射聲場密切相關。圖7表明，隨著潛深H的增大，反射聲阻抗Zimn逐漸減小并趨于0。隨著潛深H的增大，虛源輻射聲波傳播距離增長，聲波衰減效應越來越明顯，虛源輻射聲波對耦合系統(tǒng)聲場的貢獻也逐漸減小，并最終可以忽略。

3.3自由液面對近水面狀態(tài)圓柱殼聲輻射特性的影響為了探究自由液面對近水面狀態(tài)下圓柱殼聲輻射特性的影響，本文給出了H=0.2，0.3，0.9，1.5 m條件下圓柱殼輻射聲功率隨激勵頻率的變化規(guī)律，如圖8所示。

從圖8可以看出，不同潛深條件下圓柱殼輻射聲功率（如峰值頻率點和共振響應幅值）存在明顯差異，這說明自由液面對耦合系統(tǒng)的聲輻射特性影響顯著。當潛深較?。℉≤5R）時，隨著潛深的增大，耦合系統(tǒng)輻射聲功率特性頻響曲線的峰值相應地向低頻偏移，且共振響應幅值也有明顯變化。該現(xiàn)象說明，隨著潛深的增大，耦合系統(tǒng)的耦合模態(tài)頻率相應減小，這也從側面印證了文獻[8]關于自由液面影響的結論。當潛深相對較大（H>5R）時，隨著潛深的增大，耦合系統(tǒng)輻射聲功率曲線的共峰值頻率基本不變，但是共振峰值略有下降。此外，隨著潛深的增大，一些高階模態(tài)頻率下的共振現(xiàn)象消失。這主要是因為，近水面狀態(tài)下圓柱殼的彎曲模態(tài)振型與無限域中的結構模態(tài)振型存在一定的差別[11]。隨著潛深的增大，近水面狀態(tài)下圓柱殼的模態(tài)振型逐漸趨近于無限域中結構對應的模態(tài)振型。因而，當在激勵點的位置與某一階彎曲模態(tài)振型的周向節(jié)點重合時，該階彎曲模態(tài)頻率下的共振現(xiàn)象會消失。

圖8自由液面對近水面狀態(tài)下圓柱殼輻射聲功率特性的影響

Fig.8Effect of the free surface on radiated sound power from a submerged cylindrical shell with the free surface nearby4結論

本文從理論推導角度分析了近水面狀態(tài)有限長圓柱殼的輸入功率流和聲輻射特性，并揭示了自由液面的影響機理。通過數(shù)值計算，得到以下結論：

（1）當圓柱殼接近自由液面時，自由液面的存在將致使聲場圓柱殼耦合系統(tǒng)的共振頻率增大；

（2）隨著潛深的增大，自由液面影響逐漸減弱，耦合系統(tǒng)的輸入功率流和輻射聲功率曲線的峰值頻率向低頻偏移；

（3）在本文研究中，當潛深H≥5R時，自由液面對水下圓柱殼輸入功率流特性的影響可以忽略，但是自由液面仍然會影響耦合系統(tǒng)輻射聲功率幅值；

本文的研究為進一步深入研究近水面條件下水下交個的聲振特性提供了理論基礎，也為后續(xù)工作研究多邊界條件下聲場圓柱殼耦合系統(tǒng)的振動與聲輻射特性提供參考。

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Research on input power flow and sound radiation from

a cylindrical shell immersed near the free surface

WANG Peng， LI Tianyun， ZHU Xiang， GUO Wenjie

（School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and

Technology， Wuhan 430074， China）

Abstract： The soundstructure interaction model is used to analyze the input power flow and sound radiation characteristics from a cylindrical shell immersed in fluid near the free surface， and the effect of free surface is considered. The accuracy of present method is verified through comparison with the FEM. When cylindrical shell is close to free surface， the existence of free surface will result in the reduction of resonance frequencies. When the immersion depth of shell increases， the influence of free surface will be reduced. Finally， the free surface effect on structure vibration characteristics is negligible， but it will still affect the response level of sound radiation characteristics of coupled system. Key words： vibration of ship； cylindrical shell immersed near the free surface； free surface； input power flow； the image method作者簡介： 王鵬（1989—），男，博士研究生。Email：paulwang@hust.edu.cn

通訊作者： 李天勻（1969—），男，博士，教授，博士生導師。Email：ltyz801@hust.edu.cn