基于GARCH模型的股票市場波動預測
——以滬深300指數(shù)為例

劉浩宇

（格拉斯哥大學，英國 格拉斯哥市 G12 8QQ）

一、研究背景和意義

股票市場是金融市場中比較重要的一個組成部分，它是已經(jīng)發(fā)行的股票轉(zhuǎn)讓、買賣和流通的場所，包括交易所市場和場外交易市場兩大類別。由于它是建立在發(fā)行市場基礎(chǔ)上的，因此又稱作二級市場。股票市場的結(jié)構(gòu)和交易活動比發(fā)行市場（一級市場）更為復雜，其作用和影響力也更大。股票市場最早存在于1602年荷蘭人在阿姆斯特河大橋上進行荷屬東印度公司股票的買賣，而正規(guī)的股票市場最早出現(xiàn)在美國。在中國存在上交所和深交所兩個股票交易場所。如今在中國就存在近兩億股民，股票的波動起伏會影響到許多產(chǎn)業(yè)和資產(chǎn)。人們就開始研究股票指數(shù)和波動，股票的波動看似毫無規(guī)律，其實內(nèi)在存在很多關(guān)系，比如長記憶性。這些特性可以用計量經(jīng)濟學，時間序列和隨機過程進行分析和預測。

計量經(jīng)濟學在從20世紀開始逐漸興起。Engle（1982）①提出了自回歸條件異方差模型ARCH，他運ARCH模型研究的是英國通貨膨脹率，隨后人們發(fā)現(xiàn)此類模型可以被運用到其他金融領(lǐng)域如股票市場。在之后的幾十年時間中，ARCH模型在不斷地進化。Bollersle（1986）對此模型進行了改進，提出了GARCH模型。Terasvirtaet al（2010）在討論會中提出了關(guān)于非線性時間序列的ARCH建模，借鑒了Krugman（1999）年提出的非線性計量模型在匯率中計算的理論。在模擬方面，基于十九世紀后半葉的蒲豐問題，有了比較成熟的模擬方法蒙特卡洛模擬法（MC法）。這是運用了隨機數(shù)和概率模型，將復雜的事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征簡化成數(shù)學方法加以模擬。蒙特卡洛模擬被廣泛的運用在諸多領(lǐng)域如教育，軍事和金融。股票市場存在隨機性，蒙特卡洛模擬正是隨機過程的一種模擬方法。

隨著近十年金融市場的快速發(fā)展，人們逐漸意識到金融市場的波動是可以預測和分析。然而在傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟學對時間序列的第二個假設(shè)中，時間序列變量的波動幅度（方差）是固定的。這當然是不符合實際的，股票收益的波動幅度是隨著時間變化而變化的，并不是一個常數(shù)。所以需要有新的模型進行解釋和分析這種波動。這篇文章運用GARCH模型和蒙特卡洛模擬分析對于具體的股票市場的波動率分析。并且進行運用此時間序列模型對股票波動進行合理的預測。

二、時間序列方法和模型

（一）時間序列的預處理

1.平穩(wěn)性檢驗

一個平穩(wěn)的時間序列過程的概率分布與時間的位移無關(guān)。如果從序列中任意取一組隨機變量并把這個序列向前移動h個時間，其聯(lián)合概率分布保持不變。

2.純隨機檢驗

檢驗一個時間序列是不是具有純隨機性的方法稱為純隨機檢驗。純隨機序列也成為白噪聲序列，他滿足各序列值沒有關(guān)系，γ（K）=0，∨K≠0。在某些情況中，自相關(guān)系數(shù)波動于0左右的時間序列是純隨機序列。②

3.單位根檢驗

當今，單位根檢驗方法為時間序列平穩(wěn)性檢驗的最常用方法。單位根檢驗是構(gòu)造單位統(tǒng)計量，通過檢驗特征根是在單位圓上(外)還是單位圓內(nèi)得出相應(yīng)結(jié)論。如果全部都在圓外表示數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，如果有一個在圓內(nèi)即表示數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性。GARCH模型雖然是廣義ARCH模型，可是仍然可以運用傳統(tǒng)的單位根檢驗進行檢驗。③DF檢驗只適用于低階AR模型，人們進行改進提出了增廣ADF檢驗可以檢驗高階AR模型。如果AR(p)序列存在單位根，那么其自回歸系數(shù)之和正好等于1。

4.信息準則

（1）AIC準則

AIC是衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的一種標準，由日本統(tǒng)計學家Akaika在1973年提出，它建立在熵的概念上，提供了權(quán)衡估計模型復雜度和擬合數(shù)據(jù)優(yōu)良性的標準。④通常將最優(yōu)模型定義為使AIC的值達到最小的模型。它是擬合精度和參數(shù)未知個數(shù)的加權(quán)函數(shù)：

AIC=2log（模型中極型中極大似然）+2（模型中未知參數(shù)個數(shù)）.

一般情況下，AIC準則擬合精度和參數(shù)個數(shù)的加權(quán)函數(shù)

（2）BIC準則

AIC準則也有不足之處：如果時間序列很長，相關(guān)信息就越分散，需要多自變量復雜擬合模型才能使擬合精度比較高。為了彌補AIC準則的不足，Akaike于1976年提出BIC準則。Schwartz在1978年根據(jù)Bayes理論也提出相同的準則，因此BIC準則又稱SBC準則。BIC準則的定義如下：

BIC=2log（模型中極型中極大似然）+log(n)（模型中未知參數(shù)個數(shù)）.

在實際操作中，將模型的AIC值和BIC值分別比較，選取值最小的為最佳模型。⑤本文會用大量有限的數(shù)據(jù)分析GARCH模型不同階數(shù)的AIC和BIC值，發(fā)現(xiàn)GARCH(1,1)模型的AIC和BIC值相對較小。故GARCH(1,1)模型更加符合本課題。

（二）GARCH模型

Bollerslev（1986）年根據(jù)ARCH模型又提出了GARCH模型，GARCH模型是一個專門針對金融數(shù)據(jù)所量體定制的回歸模型，除去和普通回歸模型的相同之處，GARCH模型對誤差進行了進一步的建模。該模型特別適用于波動性的分析和預測，對投資者的決策起到了重要的指導作用，因此被廣泛應(yīng)用于股票市場分析中。⑥

一般的GARCH(p,q)模型可以表示為：

其中ht為條件方差，ut為獨立同分布的隨機變量，ht與 ut互相獨立，ut為標準正態(tài)分布。（1）式稱為條件均值方程；（3）式稱為條件方差方程，說明時間序列條件方差的變化特征。

三、實例分析

在20世紀末中國開始有股票交易，如今中國存在兩大交易所即上海證券交易和深證證券交易所。本文研究的是滬深300指數(shù)，滬深300指數(shù)是由滬深證券交易所于2005年4月8日聯(lián)合發(fā)布的反映滬深300指數(shù)編制目標和運行狀況，并能夠作為投資業(yè)績的評價標準，為指數(shù)化投資和指數(shù)衍生產(chǎn)品創(chuàng)新提供基礎(chǔ)條件。滬深300指數(shù)計算方法如下：

報告期指數(shù)=報告期成份股的調(diào)整市值/基日成份股的調(diào)整市值×1000

從國泰君安數(shù)據(jù)庫里找到從2008年1月30日到2017年12月29號的數(shù)據(jù)（見表1）。以這些數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用R軟件對其進行時間序列分析和預測，分析股票波動。通過GARCH模型和蒙特卡洛模擬分析時間序列分析方法預測2017年的股票波動情況，將其與實際值比較。利用GARCH模型和蒙特卡洛模擬，預測出2018年滬深300指數(shù)波動情況。

表1 2008-2017年滬深300年平均指數(shù) （元）

從年滬深平均指數(shù)可以看書滬深300收盤指數(shù)總體存在一個上升的趨勢。本文研究是每天的日收盤價，因此選取2008-2017年10年間共計2434天的數(shù)據(jù)進行分析。

（一）GARCH模型

1.平穩(wěn)性檢驗與處理

繪制滬深300收盤價指數(shù)2434天的折線圖如下：

圖1 滬深300指數(shù)收盤價

由這個滬深300指數(shù)的趨勢圖可知，滬深300指數(shù)收盤價圍繞某個值在上下波動，可得出一個初步結(jié)論這個時間序列是平穩(wěn)時間序列。然后需要用軟件對其進行ADF單位根具體檢驗，結(jié)果如下：

圖2 ADF單位根檢驗

ADF中p值為0.01＜0.05,可知5%顯著性水平下拒絕原假設(shè)，認為序列滬深300指數(shù)是平穩(wěn)序列。只有當p值大于0.05時，才會認為該序列時非平穩(wěn)序列。

2.模型的識別和確定

對于GARCH(p,q)模型找到p和q的值，一般會取p=q=1，但這里還會選p=1,q=2和p=2,q=1來進行比較。

確定模型的階數(shù)后還需要進行參數(shù)估計和模型檢驗，以免模型可能存在有效性不足的情況。綜合AIC最小、BIC最小，調(diào)整最大等原則以及模型殘差不相關(guān)，對模型完成檢驗，確定最優(yōu)形式的GARCH模型，所得結(jié)果如下：

表2 各模型檢驗結(jié)果

經(jīng)過結(jié)果分析可知，所有形式的GARCH擬合模型的殘差都不具有序列相關(guān)性，即各模型都是顯著有效模型。經(jīng)比較選擇擬合度R2較大的，AIC和BIC較小的模型，即p=q=1時模型是最合適的。有參數(shù)估計和結(jié)果檢驗（如下圖3和圖4）知：

圖3 參數(shù)結(jié)果

圖4 ACF觀測值

從圖5可以看出滬深300指數(shù)的波動并不屬于季節(jié)性波動，屬于趨勢波動。在這個結(jié)果中知道參數(shù) :μ=3214.11343，ω=1690.85103，α1=0.95362，β1=0.05495,可是發(fā)現(xiàn)檢驗中β1的p值比較大，β1是和殘差相關(guān)的參數(shù)，可能在處理時會出現(xiàn)偏差，根據(jù)殘差圖和正態(tài)圖（如下），可以得出β1在這里是合理的。因為滿足正態(tài)分布，殘差也符合白噪聲序列，模型是合理的。

圖5 殘差圖

圖6 正態(tài)分布QQ圖

圖7 正態(tài)分布直方圖

3.模型的預測與評價

利用GARCH(1,1)模型對滬深300收盤價指數(shù)2018年第一個月（1月2日到1月29日）共計20天的數(shù)據(jù)進行預測，將2017年12月29日（最后一天）的滬深300指數(shù)收盤價4030元作為起始點進行分析，并將預測值與在國泰君安數(shù)據(jù)庫中收集到的真實值做對比，計算出預測的相對誤差，得到的結(jié)果如下：

表3 2018年一月滬深300指數(shù)實際值和預測值比較

續(xù)表3

圖8 GARCH預測值和實際值

通過觀察上述預測誤差計算結(jié)果可知，GARCH(1.1)模型的存在一定的預誤差，可能是由于數(shù)據(jù)預測有限，可但誤差都在5%以內(nèi)，短期預測值有一定的準確性，從繪制的折現(xiàn)圖也可發(fā)現(xiàn)實際值和預測值相，都有一個相同的趨勢，滬深300指數(shù)收盤價呈上升趨勢。因此這個模型可以作為分析和預測指數(shù)波動的良好工具。下面就會用蒙特卡洛模擬進行進一步的預測和分析。

（二）蒙特卡洛模擬

蒙特卡羅方法于20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計劃”計劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼首先提出。蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計模擬法、隨機抽樣技術(shù)，是一種隨機模擬方法，以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，是使用隨機數(shù)來解決很多計算問題的方法。

在金融領(lǐng)域，蒙卡洛模擬常被運用于期權(quán)定價。張峻華等（2014）⑦運用伊藤公式和蒙特卡洛模擬提出了股票波動符合幾何布朗運動。由幾何布朗運動可知一個運用蒙特卡洛模擬建立的模型：

t表示時刻，S表示價格，價格的漂移率為μS，其中μ為常數(shù)，運用伊藤引理可知：

在進行蒙特卡洛模擬前會運用（1），（2）兩式得到一天內(nèi)的預期收益率μ和收益標準差σ2。利用在國泰君安數(shù)據(jù)庫中獲得的2008年1月30日到2017年12月29號由GARCH(1,1)模型，計算出μ=0.052%和σ=1.21%。然后對ε～N(0，1)進行隨機抽樣，由于蒙特卡洛模擬存在一定的偶然性，因此需要多抽幾組數(shù)據(jù)。其中一組的數(shù)據(jù)如下：

圖9 ε的分布

根據(jù)直方圖發(fā)現(xiàn)ε近似標準正態(tài)分布與假設(shè)一致。在取得ε的樣本后，以2017年12月29日的滬深300指數(shù)收盤指數(shù)為S0=4030，每日指數(shù)波動為ΔS=0.052%S0+1.21%Sε

蒙特卡洛模擬操作如下：

表4 蒙特卡洛操作流程

從多次相互獨立的蒙特卡洛模擬中選擇一組結(jié)合GARCH模型分析圖，可以繪制如下滬深300綜指價格的波動曲線：

圖10 蒙特卡洛結(jié)合GARCH模型

根據(jù)上述蒙特卡洛模擬過程和折線圖可知，經(jīng)過蒙特卡洛模擬的預測檢驗和分析下，GARCH模型可以進行擬合滬深300收盤指數(shù)，并發(fā)現(xiàn)當GARHC模型結(jié)合蒙特卡洛模擬得到的預測結(jié)果（圖12中綠色的線）相對于只有GARCH模型預測結(jié)果（圖12中紅色的線）更加接近真實值。通過分析過去十年的數(shù)據(jù)，看似滬深300收盤指數(shù)波動沒有任何可尋規(guī)律，可是可以發(fā)現(xiàn)總體的趨勢是上升的，在2018年第一個月的分析中可以發(fā)現(xiàn)雖然有波動總體還是呈上升的趨勢。

四、總結(jié)

通過本文詳細的研究，GARCH模型在股票市場滬深300收盤指數(shù)的應(yīng)用中可以得到以下的結(jié)論：

（一）在研究GARCH模型時發(fā)現(xiàn)雖然GARCH模型存在眾多的階數(shù)，并且每種都可以進行滬深300指數(shù)預測分析，但是相比較而言當p=q=1時，即GARCH(1,1)模型的擬合預測效果是最好的。

（二）使用GARCH模型和蒙特卡洛模擬結(jié)合的預測比單純使用GARCH模型的預測值更加精確，以后進行股票收盤價的預測需要將兩種方法相結(jié)合，雖然蒙特卡洛模擬常用于期權(quán)定價，可是金融市場具有互通性，在這里蒙特卡洛模擬和GARCH相結(jié)合就完美的預測了滬深300收盤價指數(shù)的波動。

（三）GARCH模型可以很好的擬合和預測滬深300收盤指數(shù)的波動，因此投資人政府監(jiān)管機構(gòu)可以根據(jù)GARCH模型的預測結(jié)果進行合理的投資和監(jiān)管。

（四）滬深300收盤指數(shù)大體呈上升的趨勢，造成該現(xiàn)象的可能原因有1.近十年來越來越多的市民投生到股票市場中，推動了滬深300的發(fā)展；2.中國近十年經(jīng)濟發(fā)展迅速，強烈的刺激了股票市場，使股票市場呈現(xiàn)了上升的趨勢。3.當大盤指數(shù)不穩(wěn)定時，政府會適當對股票進行調(diào)控保持它們上升的趨勢。⑧

（五）滬深300指數(shù)的波動表明在中國這種具有弱式效應(yīng)的金融市場下，股票波動存在長記憶性，短期波動也具有相關(guān)性。

可是在研究的過程中仍然存在一定的問題和缺陷：

（一）GARCH模型不能解釋股票收益和收益變化波動之間出現(xiàn)的負相關(guān)現(xiàn)象。GARCH(p,q)模型假定條件方差是滯后殘差平方的函數(shù),因此,殘差的符號不影響波動,即條件方差對正的價格變化和負的價格變化的反應(yīng)是對稱的。然而在經(jīng)驗研究中發(fā)現(xiàn),當利空消息出現(xiàn)時,即預期股票收益會下降時,波動趨向于增大;當利好消息出現(xiàn)時,即預期股票收益會上升時,波動趨向于減小。GARCH(p,q)模型不能解釋這種非對稱現(xiàn)象。⑨

（三）本文選取的是近十年的數(shù)據(jù)，然而預測數(shù)據(jù)選取的僅僅是2018年一月份的預測，雖然分析中沒發(fā)現(xiàn)季節(jié)性波動，但是實際中會存在季節(jié)性問題，因此要想得出此模型是否可用于未來滬深300指數(shù)波動的結(jié)論還為時尚早，需要進行大量模擬預測分析。

（四）影響中國股票的因素較多，GARCH模型只是簡單的分析了波動，如果想要研究更加深入的話可能還需要分析更多的因素，這樣可能需要用其他方法例如主成分分析法和獨立成分分析法等方法來進行分析。

【注 釋】

①Engle.Robert F..Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of thevarianceof United Kingdom inflation[J].Econometrica,1982,50.987.1007

②劉毅睿.高斯白噪聲序列的檢驗 [D].中國科學技術(shù)大學,2004.

③鮮思東,彭作祥.具有GARCH(near-IGRACH)-normal誤差項時序的ADF單位根檢驗 [J].重慶工商大學學報 (自然科學版),2007(05):459-463.

④魯萬波,余競.用AIC準則識別最佳因子分析模型[J].成都大學學報(自然科學版),2003(02):28-32.

⑤陳曉鋒.AIC準則及其在計量經(jīng)濟學中的應(yīng)用研究[D].天津財經(jīng)大學,2012.

⑥魏潔,韓立巖.GARCH模型下基于偏最小二乘的歐式股指期權(quán)定價——來自香港恒生指數(shù)期權(quán)市場的證據(jù)[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2015,34(03):550-560.

⑦張峻華,戴倫,劉文浩.股票價格行為關(guān)于幾何布朗運動的模擬——基于中國上證綜指的實證研究[J].財經(jīng)界(學術(shù)版),2014(19):31-33.

⑧馬薇,張卓群.結(jié)構(gòu)性改革下政府調(diào)控對于股票市場的影響分析[J].河北經(jīng)貿(mào)大學學報,2016,37(04):92-97.

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⑩程聰.基于GARCH/SV模型的結(jié)構(gòu)非線性損傷識別[D].暨南大學,2013.

[1]程聰.基于GARCH/SV模型的結(jié)構(gòu)非線性損傷識別[D].暨南大學,2013.

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