基于尖點(diǎn)突變模型的采空塌陷地表裂縫形成機(jī)理

于秋鴿，張華興，鄧偉男

(1.煤炭科學(xué)研究總院開采研究分院，北京 100013；2.天地科技股份有限公司開采設(shè)計(jì)事業(yè)部，北京 100013)

0 引言

深部煤層開采，當(dāng)基巖采厚比>30時，地表一般呈現(xiàn)連續(xù)變形特點(diǎn)[1]；隨著我國東部煤炭資源枯竭，煤炭開采重心逐步向西部轉(zhuǎn)移，西部煤層開采具有淺埋深大采高特點(diǎn)，開采強(qiáng)度較大，采動影響容易直接波及到地表，造成地表裂縫。地表裂縫是造成土地生產(chǎn)能力下降、引起山區(qū)滑坡的主要原因之一，是采煤沉陷對地表環(huán)境損害最直觀的表現(xiàn)形式[2-3]。為了研究不同地質(zhì)采礦條件下地表裂縫形成的機(jī)理及其規(guī)律，吳侃通過建立實(shí)用裂縫深度發(fā)育模型，從理論上推導(dǎo)出了裂縫發(fā)育的深度[4]；胡振琪等[5]研究發(fā)現(xiàn)風(fēng)積沙區(qū)地表裂縫分為永久裂縫和動態(tài)裂縫，動態(tài)裂縫具有自我修復(fù)功能；李永樹等[6]通過土體剪切實(shí)驗(yàn)分析了厚沖擊層條件下的地表裂縫形成機(jī)理得到裂縫寬度與水平變形之間的關(guān)系；胡青峰等[7]通過現(xiàn)場實(shí)測研究了厚煤層開采時地表裂縫形成的機(jī)理，發(fā)現(xiàn)厚硬基巖對采動引起的應(yīng)力應(yīng)變傳遞具有消減作用。

工作面上覆巖層由基巖和松散層兩部分組成，在開采過程中，隨著工作面的推移，靠近工作面的上方軟弱巖層直接斷裂垮落，比較堅(jiān)硬巖層產(chǎn)生彎曲下沉，支撐上方巖層的大部分重量，在堅(jiān)硬巖層斷裂之前，地表下沉值比較小，當(dāng)工作面推進(jìn)長度達(dá)到一定值后，堅(jiān)硬巖層突然發(fā)生斷裂，地表下沉急劇增加，當(dāng)松散層厚度無法消減地表不均勻沉降時，將會在地表產(chǎn)生裂縫。本文把斷裂前的關(guān)鍵層近似為固支彈性梁，把斷裂后的巖層近似為“砌體梁”，建立地表沉降的尖點(diǎn)突變模型，研究了地表塌陷型裂縫與關(guān)鍵層斷裂步距之間的關(guān)系。

1 尖點(diǎn)突變理論

突變思想是在1972年由法國數(shù)學(xué)家Thom提出的，后來由英國數(shù)學(xué)家Zeeman將其定義為“突變理論”。突變理論提出以后很快應(yīng)用到各個學(xué)科，如生物學(xué)、巖石力學(xué)、心理學(xué)等，并很好的解釋了自然中的各種突變現(xiàn)象。突變理論的特點(diǎn)是控制變量連續(xù)變化而結(jié)果不連續(xù)。在我們所處的四維時空中，當(dāng)控制變量小于等于4時，最多有7種突變形式[8-9](表1)。

表1 突變形式分類表

在這七種突變形式中最常用的為尖點(diǎn)突變模型，見圖1。

圖1 平衡曲面和控制變量平面Fig.1 The equilibrium curved surface and control variable plane

應(yīng)用尖點(diǎn)突變模型處理工程問題時的步驟為：

(1)根據(jù)工程結(jié)構(gòu)建立力學(xué)模型，進(jìn)行受力分析；

(2)根據(jù)工程結(jié)構(gòu)變形情況，求出系統(tǒng)的總勢能，并將其轉(zhuǎn)化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)形式：

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

(3)對V(x)求導(dǎo)，得到平衡曲面M的方程：

(2)

(4)對平衡曲面M的方程進(jìn)行求導(dǎo)，從圖1中可以看出：當(dāng)u≤0時，平衡曲面M分為上、中、下三葉。在上葉、下葉上有12x2+2u>0；在中葉上有12x2+2u<0。在平衡曲面上作出M的所有垂直切線，與控制變量平面C相交，相交得到的點(diǎn)集為分差集。平衡曲面M上能夠垂直向下作切線的點(diǎn)集滿足方程：

(3)

聯(lián)立(2)、(3)式消去x得到控制變量平面上的分叉集方程：

8u3+27v2=0

(4)

由上述分析可知：在平衡曲面M的上葉和下葉上，勢函數(shù)V(x)取極小值，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)；在中葉上，勢函數(shù)V(x)取極大值，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于上葉和中葉過渡位置時，稍微受外界擾動，系統(tǒng)平衡位置就會立即變到下葉的某一處，使系統(tǒng)重新處于新的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)由上葉的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)為下葉的平衡時，會在中葉處產(chǎn)生一個尖點(diǎn)，這也是尖點(diǎn)突變的由來，同時可以得到系統(tǒng)發(fā)生尖點(diǎn)突變的充分條件應(yīng)滿足式(4)。

2 關(guān)鍵層斷裂突變模型

2.1 關(guān)鍵層初次斷裂突變模型

煤層采出以后，工作面上方軟弱巖層直接垮落，在關(guān)鍵層斷裂前，關(guān)鍵層可以近似看成寬度為單位1的固支梁[10]。固支梁上部承受上覆巖層重量，相當(dāng)于均布載荷q=γH0；下部由于軟弱巖層已經(jīng)垮落，不在承受力的作用；固支梁兩端承受水平壓力Fs，垂直向上的支撐力Fr。堅(jiān)硬巖層所承受的水平壓力主要來自于上覆巖層重力產(chǎn)生側(cè)向壓力，雖然堅(jiān)硬巖層下方巖石已垮落，堅(jiān)硬巖層下方巖層中的原巖應(yīng)力受到破壞，但是在堅(jiān)硬巖層斷裂前，堅(jiān)硬巖層及其上方覆巖中的應(yīng)力沒有得到釋放，可近似認(rèn)為堅(jiān)硬巖層兩端的水平壓力是由上方巖層重力產(chǎn)生的側(cè)向應(yīng)力引起，受力示意圖如圖2所示。

圖2 固支梁模型Fig.2 Clamped beam model

根據(jù)受力平衡，可知：

(5)

式中：Fs——水平擠壓力/kN；

Fr——垂直向上支撐力/kN；

λ——側(cè)壓系數(shù)；

H0——堅(jiān)硬巖層所處深度/m；

h——堅(jiān)硬巖層厚度/m；

γ——堅(jiān)硬巖層上方巖層的平均容重/(kN·m-3)。

在力的作用下，固支梁將產(chǎn)生彎曲，梁彎曲的撓線方程可近似為[11]：

(6)

式中：L梁——梁長/m；

δ——x=L梁/2處的撓度。

在尖點(diǎn)突變理論中需要建立模型的總勢能函數(shù)，根據(jù)彈性力學(xué)中應(yīng)變能和梁的彎曲理論的相關(guān)知識，推導(dǎo)出梁彎曲的應(yīng)變能[12]為：

(7)

式中：E——巖梁彈性模量/Pa；

I——慣性矩/m4。

水平擠壓力Fs做功為：

(8)

垂直向上的支撐力Fr做功為：

(9)

均布載荷q做功為：

(10)

從而可以得到巖梁彎曲總的勢能函數(shù)為：

(11)

在尖點(diǎn)突變理論中，系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)滿足(1)式，從而得到：

(12)

根據(jù)(4)式得到關(guān)鍵層初次斷裂的充分條件為：

(13)

2.2 關(guān)鍵層周期性斷裂突變模型

當(dāng)關(guān)鍵層初次斷裂后，斷裂巖塊與未斷裂巖層互相鉸接，隨著工作面推進(jìn)，關(guān)鍵層周期性斷裂，形成“形如梁而實(shí)質(zhì)為拱”的“砌體梁”結(jié)構(gòu)(圖3)。

圖3 “砌體梁”模型Fig.3 Voussoir beam model

根據(jù)尖點(diǎn)突變理論求出砌體梁結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的充分條件為[13]：

(14)

式中：K——巖塊擠壓變形剛度系數(shù)；

K′——冒落矸石變形剛度系數(shù)；

h——巖塊厚度/m。

3 地表裂縫與關(guān)鍵層斷裂步距之間關(guān)系

對于淺埋厚煤層而言，工作面上覆巖層結(jié)構(gòu)簡單，關(guān)鍵層的斷裂將引起關(guān)鍵層上方巖層的整體垮落，在地表形成塌陷型裂縫。塌陷型裂縫與關(guān)鍵層斷裂之間的關(guān)系見圖4。

圖4 塌陷型裂縫與關(guān)鍵層斷裂示意圖Fig.4 Diagram of relationship between collapsing ground fissure and failure of critical layer

根據(jù)圖4可知裂縫滯后距d和滯后角γ滿足：

(15)

由式(15)可知：由于巖層破斷角的影響，塌陷型裂縫一般滯后于工作面一定距離，隨著關(guān)鍵層的周期性斷裂，也周期性形成塌陷型裂縫，裂縫間距為關(guān)鍵層周期性垮落步距；關(guān)鍵層距煤層距離越大，塌陷型裂縫滯后距越大，滯后角γ越大。

4 實(shí)例驗(yàn)證

神華集團(tuán)大柳塔礦12208工作面平均埋深37.5 m，煤層傾角1°～3°，工作面走向長度1 538 m，傾斜長度154 m，采高7 m，平均日進(jìn)尺10 m。工作面上覆巖層分別為：泥巖、砂質(zhì)泥巖組成的偽頂，平均厚度0.21 m；泥巖、粉砂巖組成的直接頂，平均厚度5.5 m；細(xì)粒砂巖為基本頂，平均厚度11.2 m；地表松散層厚度為7.2 m。煤層開采過程中，在工作面中部地表產(chǎn)生塌陷型裂縫，裂縫滯后角為0.38°[14](圖5)。

圖5 12 208工作面地表裂縫分布圖Fig.5 Distribution of collapsing ground fissures above face 12 208 of Daliuta colliery

根據(jù)文獻(xiàn)[15]判定細(xì)粒砂巖為關(guān)鍵層，關(guān)鍵層下方巖層垮落碎脹系數(shù)取1.2，由于1.2×(0.21+5.5)=6.852<(0.21+5.5+7)=12.71，可知巖層跨落后不能充滿采空區(qū)，故而公式(14)中K′=0。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]K取70 kPa，代入公式(14)求得周期斷裂步距為14.9 m，據(jù)現(xiàn)場礦壓觀測，周期來壓步距為12～15 m，在工作面中間位置，裂縫平均間距為13.7 m，與利用尖點(diǎn)突變理論計(jì)算所得周期斷裂步距相差不大，說明采用尖點(diǎn)突變分析關(guān)鍵層初次斷裂步距和周期斷裂步距是合理的。

5 結(jié)論

(1)關(guān)鍵層斷裂是造成地表塌陷型裂縫的主要原因，關(guān)鍵層斷裂步距決定了塌陷型裂縫之間距離。

(2)地表塌陷型裂縫滯后于工作面一定距離，關(guān)鍵層距煤層距離越大，塌陷型裂縫滯后距越大，滯后角越大。

(3)利用尖點(diǎn)突變理論得到關(guān)鍵層斷裂步距，與現(xiàn)場礦壓實(shí)測關(guān)鍵層斷裂步距及地表裂縫間距相符。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄧喀中,張冬至,張周權(quán). 深部開采條件下地表沉陷預(yù)測及控制探討[J]. 中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2000，29(1):52-55.

DENG Kazhong, ZHANG Dongzhi, ZHANG Zhouquan. Study on prediction and control of surface subsidence in deep mining[J]. Journal of China University of Mining and Technology,2000，29(1):52-55.

[2] 郭文兵. 煤礦開采損害與保護(hù)[M]. 北京:煤炭工業(yè)出版社, 2013.

GUO Wenbing. Coal mining damages and protection[M]. Beijing: China Coal Industry Press, 2013.

[3] 劉輝, 劉小陽, 鄧喀中，等. 基于UDEC數(shù)值模擬的滑動型地裂縫發(fā)育規(guī)律[J]. 煤炭學(xué)報(bào),2016，41(3):625-632.

LIU Hui, LIU Xiaoyang, DENG Kazhong, et al. Developing law of sliding ground fissures based on numerical simulation using UDEC[J]. Journal of China Coal Society,2016，41(3):625-632.

[4] 吳侃, 周鳴, 胡振琪. 開采引起的地表裂縫深度和寬度預(yù)計(jì)[J]. 阜新礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1997,16(6):649-652.

WU Kan, ZHOU Ming, HU Zhenqi. The prediction of ground fissure depth and width by mining[J]. Journal of Fuxin Mining Institute,1997，16(6):649-652.

[5] 胡振琪, 王新靜,賀安民. 風(fēng)積沙區(qū)采煤沉陷地裂縫分布特征與發(fā)育規(guī)律[J]. 煤炭學(xué)報(bào),2014，39(1):11-17.

HU Zhenqi, WANG Xinjing, HE Anmin. Distribution characteristic and development rules of ground fissure due to coal mining in windy and sandy region[J]. Journal of China Coal Society,2014，39(1):11-17.

[6] 李永樹, 王金莊, 周竹軍. 厚沖積層條件下開采沉陷地區(qū)地表裂縫形成機(jī)理[J]. 河北煤炭,1996(2):8-9.

LI Yongshu, WANG Jinzhuang, ZHOU Zhujun.The mechanism of urface crack under condition of thick alluvium in mining subsidence area[J]. Hebei Coal, 1996(2):8-9.

[7] 胡青峰, 崔希民, 袁德寶，等. 厚煤層開采地表裂縫形成機(jī)理與危害性分析[J]. 采礦與安全工程學(xué)報(bào), 2012，29(6):864-869.

HU Qingfeng, CUI Ximin, YUAN Debao, et al. Formation mechanism of surface crack caused by thick seam mining and hazard analysis[J]. Journal of Mining & Safety Engineering,2012，29(6):864-869.

[8] 高謙,楊志強(qiáng),楊志法. 地下大跨度采場圍巖突變失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測[J]. 巖土工程學(xué)報(bào),2000(5):523-527.

GAO Qian, YANG Zhiqiang, YANG Zhifa. Instability forecast and risk evaluation of surrounding rock masses for a large space stope[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2000(5):523-527.

[9] 白晨光, 黎良杰, 于學(xué)馥. 承壓水底板關(guān)鍵層失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型[J]. 煤炭學(xué)報(bào), 1997，22(2):149-154.

BAI Chenguang, LI Liangjie, YU Xuefu. Cusp catastrophe model for instability of key stratum in floor with water inrush [J]. Journal of China Coal Society,1997，22(2):149-154.

[10] 楊桂通.彈性力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 1998.

YANG Guitong. Elastic mechanics[M]. Beijing: Higher Education Press,1998.

[11] 穆成林, 裴向軍, 黃潤秋，等. 基于尖點(diǎn)突變理論的層狀圍巖失穩(wěn)判據(jù)研究[J]. 煤礦安全, 2016，47(11):36-40.

MU Chenglin, PEI Xiangjun, HUANG Runqiu, et al. Study on instability criterion of layered rock mass failure based on cusp mutation theory[J]. Safety in Coal Mines,2016，47(11):36-40.

[12] 中國生, 江文武, 徐國元. 底板突水的突變理論預(yù)測[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2007，26(2):216-218.

ZHONG Guosheng, JIANG Wenwu, XU Guoyuan. Prediction of water inrush from floor based on catastrophe theory[J]. Journal of Liaoning Technical University,2007，26(2):216-218.

[13] 尹光志, 王登科, 黃滾. 突變理論在開采沉陷中的應(yīng)用[J]. 礦山壓力與頂板管理, 2005，22(4):94-96.

YIN Guangzhi, WANG Dengke, HUANG Gun. The application of catastrophe theory in mining subsidence[J]. Ground Pressure and Strata Control,2005，22(4):94-96.

[14] 劉輝, 何春桂, 鄧喀中,等. 開采引起地表塌陷型裂縫的形成機(jī)理分析[J]. 采礦與安全工程學(xué)報(bào), 2013，30(3):380-384.

LIU Hui, HE Chungui, DENG Kazhong,et al. Analysis of forming mechanism of collapsing ground fissure caused by mining[J]. Journal of Mining & Safety Engineering,2013，30(3):380-384.

[15] 錢鳴高, 石平五, 許家林. 礦山壓力與巖層控制[M]. 徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2010.

QIAN Minggao, SHI Pingwu, XU Jialin. Mining pressure and strata control[M]. Xuzhou:China University of Mining and Technology Press, 2010.