半橢圓斷面渠道的水躍方程及其解法

馬子普，李書(shū)霞，郭曉明，趙蘇磊

(1.黃河水利委員會(huì)黃河水利科學(xué)研究院，鄭州 450003；2. 水利部堤防安全與病害防治工程技術(shù)研究中心，鄭州 450003;3.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院，北京 100038)

迄今為止，除矩形外，不同專家學(xué)者已經(jīng)得到了諸如梯形[1-4]、圓形[3-5,12]、三角形[6-9]、拋物線類[10,11]、馬蹄形[12,13]、蛋形[14]、U形[12,15]等多種不同的常見(jiàn)斷面形式的水躍方程，其相應(yīng)的求解方法也多種多樣，常見(jiàn)的有公式擬合法、試算法、迭代法、圖解法等。與U形斷面渠道在國(guó)內(nèi)干旱半干旱區(qū)的大規(guī)模推廣不同，預(yù)制混凝土半橢圓形渠道由于造價(jià)低、土地利用率低、便于運(yùn)行維護(hù)，在國(guó)外大型農(nóng)田灌溉網(wǎng)絡(luò)中得到了推廣應(yīng)用[16]。水躍共軛水深作為為渠道水力設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，目前并未有關(guān)于半橢圓斷面水躍方程及其解法的文獻(xiàn)，亟需推求其水躍方程并找到快速有效的解法。

半橢圓斷面水躍方程的共軛水深，不僅對(duì)躍前水深范圍有要求，躍前水深須大于臨界水深，同時(shí)躍后水深范圍也有要求，其躍后水深須不大于橢圓的垂向半徑，這意味著其躍前水深的范圍上下兩端均受到了限制，這是其不同于其他常見(jiàn)幾何形式的明渠水躍方程共軛水深的特點(diǎn)。為找到半橢圓斷面共軛水深的解法，首先推導(dǎo)出半橢圓斷面的水躍方程，接著重點(diǎn)確定了躍前水深的取值范圍，這是進(jìn)行躍前水深與躍后水深二者關(guān)系分析的前提。最后通過(guò)大量計(jì)算繪制了無(wú)量綱躍前水深與無(wú)量綱躍后水深的關(guān)系圖，應(yīng)用該關(guān)系圖可快速得到半橢圓斷面的共軛水深。

1 斷面水力要素與水躍方程推求

半橢圓斷面(見(jiàn)圖1)的幾何方程可表示為：

(1)

(2)

過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為：

(3)

(4)

對(duì)于過(guò)水?dāng)嗝嫘涡牡剿娴木嚯xhc，采用如下步驟計(jì)算：

(5)

(6)

(7)

圖1 半橢圓斷面示意圖Fig.1 Sketch maps of semielliptical channel cross-sections

棱柱體水平明渠的水躍方程為:

(8)

式中：α為動(dòng)量修正系數(shù)；Q為流量；g為重力加速度，通常取9.81 m/s2；A1、A2分別為水躍前、后過(guò)水?dāng)嗝婷娣e；hc1、hc2分別為水躍前、后過(guò)水?dāng)嗝嫘涡木嗨娴木嚯x。

以窄深式半橢圓渠道中的水躍(見(jiàn)圖2)為例來(lái)推求水躍方程。

(9)

(10)

則無(wú)量綱水躍函數(shù)J′為：

(11)

(12)

2 無(wú)量綱參數(shù)分析

欲分析η1與η2(即k1與k2)的關(guān)系，需首先分析ε及η1的取值范圍。

分析無(wú)量綱流量ε的取值范圍。

圖2 半橢圓斷面中的水躍示意圖(窄深式)Fig.2. Definition sketch map of hydraulic jump in a semielliptical channel(Narrow type)

(13)

(14)

(15)

(16)

再分析無(wú)量綱躍前水深η1的取值范圍。

對(duì)于躍前水深h1應(yīng)滿足h1min≤h1≤hk，其中h1min為h2=b時(shí)所對(duì)應(yīng)的躍前水深，hk為同流量下所對(duì)應(yīng)的臨界水深。換成無(wú)量綱形式，即η1min≤η1≤ηk。

半橢圓形斷面的無(wú)量綱臨界水深方程為：

(17)

文獻(xiàn)[16]通過(guò)對(duì)該方程的擬合得到無(wú)量綱臨界水深 的近似計(jì)算式為：

(18)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的半橢圓斷面臨界水深計(jì)算公式計(jì)算臨界水深，并計(jì)算η2=1時(shí)所對(duì)應(yīng)的η1min，可得到不同ε時(shí)所對(duì)應(yīng)的η1的取值范圍(見(jiàn)圖3)。

圖3 不同ε時(shí)η1的取值范圍 Fig.3 The depth range of η1 for different values of ε

在曲線ηmin與ηk之間的部分即為η1的合理取值范圍。

3 共軛水深的計(jì)算

共軛水深需根據(jù)式(12)計(jì)算。為清晰展示η2～η1的關(guān)系，針對(duì)不同的ε計(jì)算了大量不同η1(η1min≤η1≤ηk)所對(duì)應(yīng)的η2，而后繪制了可描述半橢圓斷面的無(wú)量綱共軛水深關(guān)系圖(見(jiàn)圖4)：

圖4 無(wú)量綱共軛水深η2～η1關(guān)系圖Fig.4 The relationship map of dimensionless conjugate depth η2～η1

根據(jù)圖4 ，不同ε值時(shí)半橢圓斷面的η1所對(duì)應(yīng)的η2，以及η2所對(duì)應(yīng)的η1均可查到或通過(guò)插值快速得到。

4 應(yīng)用實(shí)例

一半橢圓形斷面的形狀參數(shù)a=0.52 m，b=0.64m。若h1=0.2 m，試分別判定Q=0.25，0.5， 1 m3/s時(shí)，是否可能發(fā)生水躍，若可能發(fā)生則計(jì)算h2。

解法:(1)Q=0.25， 0.5， 1 m3/s，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱流量ε，得ε=0.180、0.719、2.876，因2.876>1.937 9， 故Q=1 m3/s時(shí)水躍不會(huì)發(fā)生在半橢圓斷面渠道中。

(3)ε=0.180，η1=0.312 5，可從圖4獲得無(wú)量綱躍后水深η2=0.87，則h2≈0.557。

5 結(jié) 語(yǔ)

基于半橢圓斷面的幾何特點(diǎn)推導(dǎo)了其無(wú)量綱水躍方程，接著深入分析了水躍方程中無(wú)量綱流量及躍前水深的取值范圍，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)大量的計(jì)算繪制出了無(wú)量綱躍前水深與無(wú)量綱躍后水深的關(guān)系圖。依據(jù)共軛水深關(guān)系圖可快速得到針對(duì)半橢圓斷面的共軛水深值，并通過(guò)實(shí)例展示了該方法的應(yīng)用過(guò)程。該方法簡(jiǎn)便直觀，足以滿足水利工程設(shè)計(jì)的精度需要。

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