混凝土板柱節(jié)點(diǎn)偏心沖切極限分析

易偉建，劉 彪

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

鋼筋混凝土板柱結(jié)構(gòu)是一種只由樓板和柱組成的結(jié)構(gòu)體系，這種結(jié)構(gòu)有施工簡(jiǎn)便、空間利用率高、布局靈活等諸多優(yōu)點(diǎn)，在停車(chē)場(chǎng)、住宅、倉(cāng)庫(kù)等建筑中有著廣泛的應(yīng)用.但是，板柱結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)容易發(fā)生脆性沖切破壞，而且一個(gè)節(jié)點(diǎn)的沖切破壞可能引起相鄰節(jié)點(diǎn)因過(guò)載而相繼破壞，進(jìn)而引發(fā)結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌.

對(duì)板柱節(jié)點(diǎn)抗沖切性能研究已有近百年的歷史，并積累了相當(dāng)豐富的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[1].特別是中柱節(jié)點(diǎn)在軸向荷載下受力性能的研究較為充分.現(xiàn)有的研究表明：板柱節(jié)點(diǎn)在不平衡彎矩地作用下其抗沖切承載力會(huì)有所下降，而板柱結(jié)構(gòu)在承受豎向荷載的同時(shí)由于重力荷載的偏心，橫向風(fēng)作用以及地震作用不可避免地會(huì)產(chǎn)生不平衡彎矩，進(jìn)而降低節(jié)點(diǎn)的承載力.不平衡彎矩下的沖切破壞機(jī)理較為復(fù)雜，相關(guān)的研究也相對(duì)較少，我國(guó)混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范也僅在附錄中列出了計(jì)算公式[2].

國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些板柱節(jié)點(diǎn)在不平衡彎矩作用下沖切承載力的計(jì)算方法或計(jì)算模型，如：1976年Islam和Park在屈服線理論地基礎(chǔ)上采用擬梁法建立了節(jié)點(diǎn)的承載力的計(jì)算公式[3-4]；1981年Dilger等人在低周反復(fù)荷載試驗(yàn)的基礎(chǔ)上運(yùn)用屈服線理論得到了不平衡彎矩作用下的荷載計(jì)算公式[5]；我國(guó)的馬元昌、呂西林于2001年在抗彎塑性鉸理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行極限分析得到了抗彎和抗剪相關(guān)方程的聯(lián)合計(jì)算公式[6]； 2007年Ying Tian基于試驗(yàn)研究和歷史數(shù)據(jù)庫(kù)提出以擬梁法為基礎(chǔ)的計(jì)算模型[7]；2013年洪小滔研究了混凝土強(qiáng)度、沖垮比、配筋率對(duì)偏載下板柱節(jié)點(diǎn)沖切強(qiáng)度的影響[8]；2014年Choi等人基于臨界截面應(yīng)變分布提出考慮不平衡彎矩作用下的計(jì)算模型[9].

在板柱節(jié)點(diǎn)抗沖切承載力的塑性極限分析方面，也取得相關(guān)的研究成果.1976年Braestrup等利用修正的Mohr-Coulomb理論求解出了軸對(duì)稱沖切問(wèn)題的最小上限解[10]；1986年蔣大驊等采用拋物線形的Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，使得圓柱節(jié)點(diǎn)的最小上限解的表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔[11].1993年周朝陽(yáng)在采用塑性分析方法研究板柱節(jié)點(diǎn)沖切承載力時(shí)提出考慮斜截面面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)的錯(cuò)動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合機(jī)構(gòu)[12]，相比于傳統(tǒng)的錯(cuò)動(dòng)模型能考慮徑向和環(huán)向配筋的影響；2002年，Salim W, Sebastian W M在蔣大驊的基礎(chǔ)上對(duì)極限分析做了一些修正[13]，2017年易偉建、劉彪提出基于塑性理論的鋼筋混凝土板沖切開(kāi)裂滑移模型[14].

1 混凝土的屈服準(zhǔn)則

對(duì)于軸對(duì)稱的板柱節(jié)點(diǎn)塑性極限分析，Braestrup等利用修正的Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則[10]，蔣大驊等采用拋物線型的Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則[11]，嚴(yán)宗達(dá)等采用雙剪強(qiáng)度理論[15]，魏雪英等采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論[16].拋物線型Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則能較好的反映混凝土在較大正應(yīng)力作用下剪力并非與正應(yīng)力成比例增加的現(xiàn)象，并且連續(xù)可導(dǎo)，便于運(yùn)算.本文采用文獻(xiàn)[11] 給出的拋物線形Mohr-Coulomb準(zhǔn)則：

圖1 混凝土的破壞準(zhǔn)則Fig.1 Failure criterion of the concrete

(1)

(2)

(3)

根據(jù)圖1可以求出拋物線外法線與τn軸夾角α與應(yīng)力之間的關(guān)系為

(4)

結(jié)合式(1)可以得到：

(5)

則應(yīng)力與夾角的關(guān)系為

(6)

將上式應(yīng)力代入到應(yīng)力圓中，可以求得其主應(yīng)力.

(7)

以及切向正應(yīng)力：

(8)

2 運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)及對(duì)應(yīng)的應(yīng)變與應(yīng)力

對(duì)板柱節(jié)點(diǎn)的沖切破壞進(jìn)行塑性極限分析時(shí)，將柱頭與未屈服區(qū)域的板視為剛體，外力作用下柱頭(沖切破壞錐)與板之間形成屈服面，達(dá)到塑性極限狀態(tài).當(dāng)沒(méi)有不平衡彎矩時(shí)，柱頭整體可能的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)只會(huì)發(fā)生向下平動(dòng).當(dāng)存在不平衡彎矩時(shí)，與軸向力和不平衡彎矩相對(duì)應(yīng)，柱頭整體在平動(dòng)的同時(shí)還會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，按圖2所示的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，可計(jì)算軸力和不平衡彎矩所做的功.

將軸向力和彎矩共同作用轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏心作用力，節(jié)點(diǎn)在偏載作用下發(fā)生沖切破壞.此機(jī)構(gòu)分為三部分，不動(dòng)剛體Ⅰ，運(yùn)動(dòng)的柱頭剛體Ⅱ以及塑性屈服區(qū)域Ⅲ，屈服域的厚度為δ.運(yùn)動(dòng)的柱頭剛體Ⅱ繞著點(diǎn)R(x0,z0)產(chǎn)生角速度為ω的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).柱的中心軸線的運(yùn)動(dòng)可分解為一個(gè)沿z軸的平動(dòng)-ωx0，和一個(gè)角速度為ω的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，將這種運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)稱為平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu).現(xiàn)假設(shè)破壞錐體屈服域?yàn)槿鐖D2所示坐標(biāo)中的一待求函數(shù)，可以在直角坐標(biāo)表示為

z=g(x,y)

(9)

圖2 運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)Fig.2 Collapse mechanism

由不平衡彎矩產(chǎn)生的偏心距為

(10)

在圖2所示的平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)下，錐體屈服域上任意一點(diǎn)的豎直方向的速率為u，水平方向的速率為v，正方向如圖2所示，則可求得運(yùn)動(dòng)速率：

(11)

屈服面上沿Y軸方向的運(yùn)動(dòng)速率為零，現(xiàn)假設(shè)屈服域的形狀函數(shù)能滿足：

(12)

則將運(yùn)動(dòng)速率分解為向屈服域的法線方向和切面上可以求得應(yīng)變速率：

(13)

塑性增量理論的假設(shè)為：在塑性變形過(guò)程中的任一微小時(shí)間增量?jī)?nèi)，瞬時(shí)應(yīng)力偏量與應(yīng)變?cè)隽砍杀壤?，即?/p>

(14)

式中，dλ為一與路徑有關(guān)的非負(fù)標(biāo)量.

應(yīng)力偏量：

sn=σn-(σ1+σ3)/2=2K

(15)

結(jié)合式(6)、(14)可以得：

(16)

由式(14)、(15)得：

(17)

(18)

3 虛功方程

(19)

屈服域的面積為

(20)

屈服域做的總內(nèi)虛功：

(21)

聯(lián)立式(13)、(20)、(21)可以求得屈服域內(nèi)力做的總內(nèi)虛功為

(22)

外力做的虛功為

WE=P(e0-x0)ω

(23)

根據(jù)外力和內(nèi)力虛功相等的原則，則有：

WE=WI

(24)

所以可以求得承載力：

(25)

4 承載力計(jì)算

4.1 最小上限解求解

承載力P為一泛函數(shù)，現(xiàn)在確定函數(shù)P的邊界條件，即屈服面在xy平面的投影，積分區(qū)域D的邊界條件Г由邊界Г1和邊界Г2兩部分組成，對(duì)于板的沖切問(wèn)題上邊界Г1一般認(rèn)為是沿著柱邊破壞的，即柱子的形狀邊界函數(shù)，是固定的；而對(duì)于板的下邊界Г2未知的，即邊界Г2為可變邊界.在特定機(jī)構(gòu)下的最小承載問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)含有一個(gè)可變邊界條件泛函數(shù)P的極值問(wèn)題，對(duì)于這類含有多元函數(shù)的泛函數(shù)的可進(jìn)行變分求解.現(xiàn)令：

(26)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]泛函數(shù)取得極值的必要條件是要求滿足歐拉方程：

(27)

同時(shí)，補(bǔ)充在可變邊界條件上，得：

(28)

對(duì)于一般的情況，要直接求出解析解存在一定的困難.現(xiàn)考慮沒(méi)有不平衡彎矩作用時(shí)的特殊情況.當(dāng)偏心距為零時(shí)柱的軸線不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，只有平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，得：

(29)

對(duì)于這種特殊的情況，式(25)簡(jiǎn)化為

(30)

同時(shí)，式(26)簡(jiǎn)化為

(31)

代入歐拉方程(27)得：

(32)

得出的結(jié)論與文獻(xiàn)[18]一致，即文獻(xiàn)[18]所求出的結(jié)論只是本文的一種特殊情況.若對(duì)于圓柱板軸對(duì)稱問(wèn)題可以對(duì)調(diào)和方程做一個(gè)柱坐標(biāo)變換，同時(shí)代入邊界條件Г1、Г2則可以求出圓柱板的沖切解析解.

現(xiàn)在假設(shè)板上表面沿著柱邊破壞，下表面破壞邊緣距離柱中心的距離為d1/2，屈服面g函數(shù)的邊界條件Г1、Г2為

(33)

求得：

(34)

當(dāng)：

?Pe0=0/?d1=0

(35)

可以取得最小值，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11] 一致.

4.2 最小上限解近似求解

對(duì)于最小上限解，當(dāng)求解析解存在一定困難時(shí)，可以采用類似于構(gòu)造形函數(shù)的方法求近似解，當(dāng)構(gòu)造的曲面函數(shù)合適時(shí)求出的最小解與解析解通常誤差會(huì)很小.所以本文擬采用構(gòu)造形函數(shù)的方法近似求解，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析得出實(shí)用的結(jié)論.

為便于分析對(duì)上文坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)體系，根據(jù)坐標(biāo)變換公式：

(36)

得到：

(37)

所以求得承載力：

(38)

上式中：

(39)

文獻(xiàn)[8]一共進(jìn)行了8塊板在偏載作用下的沖切試驗(yàn)(如圖3)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象表明破壞曲面在遠(yuǎn)離偏載側(cè)的沖切錐一般要略為平緩一些，同時(shí)曲面下凸，對(duì)于r是單調(diào)，所以可以根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象構(gòu)造屈服面函數(shù).

圖3 偏載下典型的沖切破壞面[8]Fig.3 Typical failure surface under eccentric load

圖4 破壞示意圖Fig.4 Diagram of failure surface

如圖4現(xiàn)在擬定屈服面g函數(shù)的邊界條件Г1、Г2為

(40)

邊界條件Г1沿柱邊，為固定邊界條件；邊界條件Г2中d1，b為待定量，為可變邊界條件.現(xiàn)假設(shè)曲面函數(shù)g沿在同一角度θ處為滿足邊界條件Г1、Г2二次多項(xiàng)式的曲線.根據(jù)這些假設(shè)可以構(gòu)造曲面函數(shù)：

(41)

式中，a為二次多項(xiàng)式待定參數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)，破壞面退化成圓臺(tái).

將式(41)代入(38)即可求得承載力P，為求得所有可以發(fā)生的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中的P的最小值，可以設(shè)計(jì)計(jì)算方法尋找P的最小值.

現(xiàn)在未定量為邊界條件變量d1、b，曲面二次多項(xiàng)式參數(shù)a，和旋轉(zhuǎn)中心R0(x0,z0)四個(gè)待定量.所以本文在確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍后采用多重搜索的方法求出P的最小值.根據(jù)試驗(yàn)現(xiàn)象一般可以大致確定一些參數(shù)的取值范圍.邊界條件中，d+h

現(xiàn)取m=100[13, 18]，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法可以求出式(38)的在偏載下的承載力，通過(guò)多重搜索可以找出承載力的最小值，其最小承載力與非偏載下的理論值式(34)中Pe0=0的比值如圖5中的點(diǎn)標(biāo)所示.可見(jiàn)承載力主要與參數(shù)d/h，e0/(d+h)有關(guān).為應(yīng)用方便，對(duì)計(jì)算的結(jié)果采用參數(shù)d/h、e0/(d+h)的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，圖5中的線標(biāo)為式(42)，可見(jiàn)擬合的公式與直接計(jì)算的結(jié)果是比較接近的.

(42)

圖5 計(jì)算與簡(jiǎn)化公式對(duì)比Fig.5 Comparison of calculation with simplified formula

5 本文與其它計(jì)算方法對(duì)比與評(píng)價(jià)

在工程應(yīng)用中板的厚度一般采用有效厚度h0，為保持一致，本文的計(jì)算方法中h視為板的有效厚度，e0=Munb/Pe0為偏心距.在計(jì)算方柱時(shí)采用等效圓柱直徑，根據(jù)面積等效的原則，d=1.13c.軸對(duì)稱條件下的承載力計(jì)算采用文獻(xiàn)[18]的公式：

(43)

式中，um同為距離柱邊h0的周長(zhǎng)，根據(jù)式(42)可以得到偏心作用下的沖切承載力.

我國(guó)規(guī)范[2]對(duì)于非預(yù)應(yīng)力板在不配置箍筋或彎起鋼筋時(shí)在集中反力作用下或者局部荷載的沖切承載力Fl計(jì)算應(yīng)該滿足式(44)，相關(guān)參數(shù)的含義詳見(jiàn)規(guī)范[2].

Fl≤0.7βhftηumh0

(44)

在偏心作用下，采用等效集中反力設(shè)計(jì)：

(45)

對(duì)于方柱截面邊長(zhǎng)為c中間板柱節(jié)點(diǎn)，代入相關(guān)公式，令其e0=Munb/Fl，可以計(jì)算得：

(46)

式(46)的等效集中荷載Fl,eq應(yīng)滿足式(44)，得到在偏載作用下的承載力計(jì)算公式：

(47)

文獻(xiàn)[19]對(duì)規(guī)范公式進(jìn)行了修正，給出了中柱節(jié)點(diǎn)在Vg和不平衡彎矩Munb聯(lián)合作用下的半經(jīng)驗(yàn)半理論承載力公式，對(duì)于柱尺寸為c的方柱，其計(jì)算化簡(jiǎn)后如下

(48)

F0=ξftumh0

(49)

ξ=1.4ρfy/(ff+ρfy)

(50)

式中：F0為板柱節(jié)點(diǎn)在沒(méi)有不平衡彎矩作用下的沖切承載力，e0=Munb/Vg為等效偏心距，ft為是混凝土軸心抗拉強(qiáng)度，fy是縱向鋼筋屈服強(qiáng)度值c是方柱的邊長(zhǎng)，h0為板的效高度，um為截面臨界周長(zhǎng).

所以在偏載作用下的承載力為

(51)

現(xiàn)在對(duì)文獻(xiàn)[19]公式、我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范考慮的偏心作用與本文的極限分析計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如圖6所示，文獻(xiàn)[19]公式和規(guī)范對(duì)中柱方形柱的偏心作用下的折減效應(yīng)是一致的.

由圖6可知，本文的極限分析計(jì)算的偏心對(duì)承載力的影響的折減效應(yīng)比規(guī)范和文獻(xiàn)[19]公式偏小，這可能是由于在偏載作用下所假設(shè)的曲面與理論的曲面存在偏差導(dǎo)致承載力偏高或者是由于混凝土并非理想的彈塑性材料，在復(fù)雜的偏心受力狀態(tài)下承載力相對(duì)于規(guī)范或其他基于試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得出的經(jīng)驗(yàn)公式的折減效應(yīng)偏小.在等效偏心距的坐標(biāo)下，規(guī)范和文獻(xiàn)[19]公式對(duì)于中間方柱板都沒(méi)有考慮柱尺寸和板厚度的比值對(duì)載力折減效應(yīng)的影響，而本文的極限分析結(jié)果表明柱尺寸和板厚度的比值對(duì)折減效應(yīng)有著較大的影響.

圖6 偏心效應(yīng)對(duì)承載力的折減效應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison of the effect of eccentricity on bearing capacity

文獻(xiàn)[20]整理了一共39個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，適用于本文公式計(jì)算的有效數(shù)據(jù)一共36個(gè)，對(duì)其試驗(yàn)值承載力和計(jì)算承載力的比值在c/h0的坐標(biāo)下所示，圖中虛線為回歸線.

圖7 試驗(yàn)與計(jì)算對(duì)比Fig.7 Comparison between experiment and calculation

由圖7可知，規(guī)范GB50010-2010和文獻(xiàn)[19]公式對(duì)于c/h0的影響趨勢(shì)都不太準(zhǔn)確，而本文的極限分析的結(jié)果對(duì)c/h0的影響的趨勢(shì)預(yù)測(cè)相對(duì)更為準(zhǔn)確，但極限分析計(jì)算得出的節(jié)點(diǎn)的承載力整體偏高，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本文的極限分析的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的計(jì)算公式如下：

(52)

圖8 調(diào)整后試驗(yàn)與計(jì)算對(duì)比Fig.8 Comparison of test and calculation after adjustment

調(diào)整后的計(jì)算值與試驗(yàn)的對(duì)比如圖8.此時(shí)平均值為1.028，變異系數(shù)為0.144，離散性以及對(duì)柱寬與板厚比值影響趨勢(shì)都明顯優(yōu)于規(guī)范GB50010-2010和文獻(xiàn)[19].

當(dāng)采用附加剪力表示彎矩對(duì)沖切承載力的不利影響時(shí)，將板柱節(jié)點(diǎn)的等效剪力設(shè)計(jì)值表示為

(53)

式中：Fl,eg為等效剪力設(shè)計(jì)值，應(yīng)小于非偏心沖切下的承載力的值；Fl為重力荷載設(shè)計(jì)值，e0=Munb/Fl為偏心距；h0為板的有效厚度；d為柱的直徑，為方柱時(shí)取為1.13倍的方柱邊長(zhǎng).此計(jì)算公式適用于存在不平衡彎矩的中柱板柱節(jié)點(diǎn)沖切承載力計(jì)算.

6 結(jié)論

(1)采用塑性極限分析方法，針對(duì)圓柱形板柱節(jié)點(diǎn)在軸向力和彎矩共同作用的受力條件，提出平動(dòng)-旋轉(zhuǎn)復(fù)合運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，通過(guò)推演得到板柱節(jié)點(diǎn)抗沖切承載力的上限解，物理含義明確.

(2)求出了求解上限解的方法，為簡(jiǎn)化計(jì)算，通過(guò)構(gòu)造的破壞曲面，采用數(shù)值算法求出了節(jié)點(diǎn)在偏載作用下的承載力，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)化，并與規(guī)范和其他的計(jì)算方法進(jìn)行了比較，試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明平動(dòng)-旋轉(zhuǎn)復(fù)合運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)模型相比與偏心剪應(yīng)力模型能更準(zhǔn)確的反映柱子與板厚的比值對(duì)承載力的趨勢(shì)影響.

(3)根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行了修正調(diào)整，調(diào)整后的計(jì)算公式與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，明顯的優(yōu)于規(guī)范及其它計(jì)算公式，可用于實(shí)際工程設(shè)計(jì).

(4)由于收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，方柱板邊長(zhǎng)與板厚度比值的影響還有待于更進(jìn)一步的研究.

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