微孔道內(nèi)滲透現(xiàn)象的數(shù)值模擬

崔海航，張永波，張靜剛，張鴻雁, 陳 力

(西安建筑科技大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，陜西 西安，710055)

滲透現(xiàn)象指兩種不同濃度的溶液隔以理想半透膜(允許溶劑分子通過，不允許溶質(zhì)分子通過的膜)，水分子或其它溶劑分子從低濃度的溶液通過半透膜進入高濃度溶液中的現(xiàn)象.滲透現(xiàn)象[1]于1748年由法國人Abble Nollot首次發(fā)現(xiàn).1885年，Van′t Hoff根據(jù)Preffer的實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)稀蔗糖溶液滲透壓與溶液濃度的關(guān)系，并由此提出Van′t Hoff方程[2]:π=RTCS，式中CS表示溶質(zhì)的摩爾濃度.現(xiàn)有文獻不斷嘗試引入動力學(xué)模型來解釋這一現(xiàn)象，主要有：優(yōu)先吸附-毛細(xì)管流動模型[3]、溶解-擴散模型[4]、溶劑張力理論[5]等.由于微觀狀態(tài)下水分子的復(fù)雜運動，其在微納孔道中的傳遞機理仍存在諸多爭議，從而使得滲透現(xiàn)象的應(yīng)用受到諸多制約.

從溶液中溶質(zhì)和溶劑的角度來說，滲透現(xiàn)象中溶質(zhì)和溶劑(通常情況是指水)的跨膜運輸模型主要包括單參數(shù)模型(溶質(zhì)滲透性)、經(jīng)典兩參數(shù)模型(溶質(zhì)和溶劑的滲透性)以及三參數(shù)模型(溶質(zhì)、溶劑的滲透性和反射系數(shù)，即K -K模型)[6].其中K-K模型引入了溶質(zhì)與溶劑的相互作用參數(shù)，即反射系數(shù)，適用于溶質(zhì)與溶劑共用輸運通道的情況，使得該模型成為廣泛應(yīng)用的唯象學(xué)模型，能夠很好地反映通量的變化規(guī)律.

對于描述自然界中普遍存在的管流而言，K-K模型的不足之處在于反射系數(shù)的物理意義不明確，同時包含了溶質(zhì)組分、溶質(zhì)分子量、溶劑分子量、系統(tǒng)熵等多個因素的綜合影響[7]，反射系數(shù)的引入使得對模型的理解更加困難，且易誤解[8].此外，K-K模型對滲透現(xiàn)象不能給出清晰地描述，最突出一點就是不能體現(xiàn)出壓強分布，而理解與壓強相關(guān)的問題是滲透現(xiàn)象不可或缺的一部分.如Leraand和Kiil通過超聲技術(shù)測得水力壓差與滲透壓作用下孔壁的位移情況，表明水力壓差對孔壁位移影響明顯，而滲透壓作用則無明顯偏移[9]；Soodak等認(rèn)為孔道中大部分軸向長度內(nèi)壓力梯度為一定值，只在靠近孔道開口處壓力梯度存在突變[10]；材料溶脹的力學(xué)性能也與孔內(nèi)壓強分布有關(guān).

在新的研究領(lǐng)域中，出現(xiàn)大量利用滲透現(xiàn)象的微納器件，但其流動形式完全不同于管流，使得K-K模型對于這類流動形式難以描述.如K-K模型對于植物體內(nèi)水分的輸運[11]、基于化學(xué)勢驅(qū)動的微泵技術(shù)[12]、自驅(qū)動馬達(dá)/顆粒[13,14]等，滲透現(xiàn)象很難進行宏觀現(xiàn)象和微觀機理的解釋.本文通過建立微納尺寸的單孔道，結(jié)合層流流動控制方程和物質(zhì)傳遞控制方程，采用邊界滑移條件來模擬納米孔道中的滲流.旨在表明在微觀滲流中考慮邊界滑移條件的必要性，同時分析孔道中溶質(zhì)沿孔道軸向分布引起孔道內(nèi)流場的變化以及孔壁受力情況.

基于Comsol Multiphysics多物理場耦合軟件，對于滲透現(xiàn)象開展微納孔道數(shù)值模擬，通過孔道中流體流動的通量、流速及壓強分布等物理量來探索邊界滑移條件對微納孔道傳輸性能的影響.其結(jié)果不但能夠反映K-K模型結(jié)論，而且給出了更多微觀細(xì)節(jié)，如流場、壓力場分布.這一方法不僅有利于與現(xiàn)有宏觀尺度下膜組件中滲透現(xiàn)象的CFD模擬進行跨尺度耦合，并且有助于對滲透現(xiàn)象，特別是與壓強相關(guān)現(xiàn)象的理解.此外，還能夠通過此方法對材料所受應(yīng)力進行分析，從而理解材料的溶脹機理，為滲透現(xiàn)象在相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用提供借鑒.

1 物理模型

1.1 K-K模型

對于滲透現(xiàn)象而言，采用基于多孔介質(zhì)條件下非平衡熱力學(xué)的半經(jīng)驗K-K模型，是非常有效的唯象模型.滲透過程中，溶質(zhì)摩爾通量JS、溶劑體積通量JW、溶質(zhì)反射系數(shù)σ可用以下方程表示：

JW=A(-ΔP+σΔπ)

(1)

JS=-wRTΔc+(1-σ)JWc0

(2)

式中：R指普適氣體常量，8.314 J/(K·mol)；T指溶液溫度，K；ΔP和Δπ分別指進出口兩側(cè)水力壓差和溶質(zhì)摩爾濃度差；A表示滲透系統(tǒng)的純水滲透系數(shù)；σ指高濃度側(cè)溶質(zhì)分子數(shù)占溶液分子總數(shù)的比例，即滲透系統(tǒng)對溶質(zhì)的反射系數(shù)，σ=[ΔP∞/Δπ∞]JW=0=[JW/AΔπ∞]ΔP∞=0；w指溶質(zhì)滲透系數(shù); 是指初始時高濃度側(cè)溶液摩爾濃度.

2.2 CFD模型

在滲透現(xiàn)象的CFD模擬中考慮物質(zhì)傳遞作用.對于宏觀現(xiàn)象而言，滲透和對流在“形式”上基本無差別，但在微觀領(lǐng)域，并不能將滲透簡單地與對流等同.在單孔道模型中，研究孔徑在納米級范圍內(nèi).此時，流體微團在孔道內(nèi)流動所受的粘性力遠(yuǎn)大于其所受的慣性力，則表征流體粘性影響的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)Re?1，因此在Comsol Multiphysics多物理場耦合軟件中僅需要考慮層流作用且可忽略慣性力作用，孔道內(nèi)流體流動呈不可壓縮流.其控制方程如下：

(3)

(4)

式(3)為穩(wěn)態(tài)條件下低Re流體流動方程，包括N-S方程、連續(xù)性方程.

2 幾何模型及邊界條件

從宏觀尺度到微觀尺度，隨著尺寸的減小，水力阻力急劇增大，流體系統(tǒng)極大的表面積與體積比，使得表面現(xiàn)象成為影響流動的主導(dǎo)因素.目前就滲透現(xiàn)象研究而言，都是基于無滑移邊界條件假設(shè)進行的.而研究表明，宏觀尺度下邊界滑移通常不易發(fā)生，即邊界滑移對宏觀尺度現(xiàn)象影響微不足道.但對于微、納米尺度下，邊界滑移對流動性能將產(chǎn)生重要影響[15-17].當(dāng)前已有的部分分子動力學(xué)模擬[18-19]表明，隨著固液界面性質(zhì)的改變，固液界面上的液體分子可以在無滑移、部分邊界滑移以及在固體表面直接發(fā)生邊界滑移等幾種狀態(tài)之間變化.因此，宏觀尺度流動中普遍認(rèn)可并應(yīng)用的速度無滑移假設(shè)在微納系統(tǒng)中不再適用[20]，液體在固體表面納米量級的滑移將會對流體輸運產(chǎn)生重要影響[21].對于微尺度下滲透現(xiàn)象的研究，應(yīng)當(dāng)考慮邊界滑移對滲透體系的影響.

流體流動中邊界滑移是對固液界面處流體同固體間運動速度的數(shù)學(xué)近似處理，其可理解為：(1)沿固液界面軸向方向上物理梯度作用的存在(如濃度梯度)使得流體在微觀界面處產(chǎn)生滑移長度；(2)界面處流體的滑移進而驅(qū)動流體運動，該情況下通常采用滑移長度b定量刻畫[22].界面驅(qū)動現(xiàn)象對流體流動的增大作用受因數(shù)[1+(b/d)]控制.其示意圖見圖1.

圖1 滲透現(xiàn)象中的壁面滑移示意圖Fig.1 Schematic diagram of wall slip in osmosis

文獻[22]中給出滑移產(chǎn)生的微觀機理，并運用Navier平衡條件推導(dǎo)出邊界滑移速度表達(dá)式：

(5)

(6)

式中，c表示壁面處溶質(zhì)濃度，認(rèn)為界面滑移速度正比于當(dāng)?shù)貪舛忍荻?由此在Comsol Multiphysics多物理場耦合軟件層流模塊下壁面邊界條件選用滑動壁，其壁面滑移速度定義為：υs=cslip(cztz+crtr)，(cztz+crtr)表征濃度梯度在壁面方向上的投影，式中，cz、cr分別表示沿壁面處溶質(zhì)濃度梯度在膜孔徑向和軸向方向上的分量，tz、tr分別表示沿壁面處溶質(zhì)濃度梯度在膜孔徑向和軸向方向上的單位矢量.

研究表明，在液體特征尺度大于10 nm情況時，連續(xù)介質(zhì)方程依然有效，而特征尺度小于10 nm時，其流動控制方程將以離散化的方程為主[23].但在實驗方面，Isrelachvili[24]曾測量了2 nm的水膜，發(fā)現(xiàn)仍具有連續(xù)介質(zhì)的擴散性質(zhì).同樣，Bocquet等[25]在其綜述中對已有結(jié)果進行了分析，認(rèn)為在大于1 nm的尺度(即5倍的水分子直徑)下，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的結(jié)論仍能適用.因此，本研究所建立幾何模型為二維軸對稱模型，模型中孔道半徑R=1～10 nm、孔道長度L=10～100 nm，選用水作為工作介質(zhì).本研究僅考慮化學(xué)勢和水力壓強差對水通量的影響，暫不考慮溶質(zhì)類型等因素.幾何模型中入口、出口處分別設(shè)置壓強Pinlet、Poutlet和物質(zhì)濃度cinlet、coutlet.對所建幾何模型，采用自由剖分三角形網(wǎng)格，同時對局部物理量變化劇烈的區(qū)域進行加密處理，其網(wǎng)格平均單元質(zhì)量為0.992 6，通過對網(wǎng)格進行無關(guān)性驗證，確保網(wǎng)格剖分合理.幾何示意圖見圖2.

圖2 幾何模型Fig.2 Geometric model

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

對于公式(1)，當(dāng)進出口兩側(cè)溶液只有水力壓強差而無濃度差(ΔP≠ 0，Δc=0)時，其宏觀物理現(xiàn)象為進出口兩側(cè)溶液水頭不同、但溶液濃度相同，此時水分輸運的推動力來自于ΔP，可根據(jù)此時水通量計算純水滲透系數(shù)A；當(dāng)進出口兩側(cè)溶液Δc≠0，而ΔP=0時，其宏觀物理現(xiàn)象為進出口兩側(cè)溶液水頭相同、但溶液濃度不同，此時水分運輸?shù)耐苿恿碜杂跐B透壓差Δπ，根據(jù)此時水通量和純水滲透系數(shù)A可求得滲透系統(tǒng)對溶質(zhì)的反射系數(shù)σ.對于公式(2)，若σ=1，表明滲透系統(tǒng)完全截留溶質(zhì)分子，此時溶質(zhì)滲透系數(shù)為零[26].在JW=0,即水通量為零時，由于溶質(zhì)運輸速率遠(yuǎn)小于水分的運輸速率，使得宏觀上進出口兩側(cè)溶液達(dá)到準(zhǔn)靜態(tài)，但實際上此時存在JS≠0，即溶質(zhì)的輸運仍在進行，將隨著時間的推移，在進出口兩側(cè)達(dá)到濃度平衡，但這一時間尺度通常很長而被忽略.上述基本現(xiàn)象將被用于檢驗所建立CFD模型的正確性.

本文主要針對以下角度進行模擬：(1)假設(shè)溶質(zhì)初始反射系數(shù)為1，在層流情況下，模擬確定出不同幾何尺寸對壁面滑移系數(shù)cslip值的影響.根據(jù)模擬得出的cslip值，加入稀物質(zhì)傳遞模塊，模擬計算溶質(zhì)反射系數(shù).(2)在一定孔徑和孔長條件下，研究壁面滑移邊界對滲透系統(tǒng)水通量QW的影響，并對比通過K-K模型計算的QW.由于僅研究系統(tǒng)邊界對QW的影響，所以其他參數(shù)都設(shè)為定值.(3)研究溶質(zhì)摩爾通量隨ΔP/Δπ變化情況.(4)在確定d的單孔道中，進出口兩側(cè)ΔP=0時，模擬純化學(xué)滲透作用對系統(tǒng)邊界產(chǎn)生的作用力，并比較相當(dāng)于化學(xué)滲透壓的水力壓強差對系統(tǒng)邊界產(chǎn)生的作用力，同時揭示膜孔中壓強分布.

3.1 壁面滑移系數(shù)與溶質(zhì)反射系數(shù)

壁面滑移系數(shù)cslip值受諸多因素影響，如材料、孔徑、孔度等.本文在層流情況下，設(shè)定無壁面滑移和進出口壓強差ΔP=105Pa，在上述幾何模型中求解出孔道內(nèi)溶劑流量QW，并轉(zhuǎn)化為溶劑體積通量JW，然后通過公式(1)計算得到純水滲透通量A的值.

考慮孔徑、孔長以及反射系數(shù)的作用，并結(jié)合Van′t Hoff方程，通過量綱分析得到以下關(guān)系式：在ΔP=0，Δc= 10 mol/m3條件下，加入稀物質(zhì)傳遞模塊，引入對流與擴散作用,假設(shè)不同尺寸的孔道溶質(zhì)初始反射系數(shù)σ=1(即系統(tǒng)對所有溶質(zhì)均完全反射)，不予溶質(zhì)反向運輸，排除溶質(zhì)對cslip值的影響，根據(jù)公式(6)計算出cslip值.由圖3可知，cslip值主要受孔徑大小的影響，而孔長對其影響可以忽略不計.

圖3 滑移系數(shù)cslip隨孔尺寸變化規(guī)律Fig.3 Variation of slip coefficient with pore size

由上述計算所得cslip值，設(shè)定ΔP=0，Δc=10 mol/m3以及壁面滑移條件，模擬計算孔道內(nèi)溶劑體積通量Jw，再通過公式(1)確定不同孔道尺寸時的值σ.σ值屬于一種唯象系數(shù)，其主要受孔道尺寸的影響，孔徑越小、孔長越長，σ值越大且逐漸接近于1，但不可能大于1.該結(jié)論同王曉琳[27]實驗結(jié)果相一致，且符合物理事實，表明本文所建模型的有效性.

3.2 水通量與流場分布

層流和稀物質(zhì)傳遞模塊耦合條件下，對R=1 nm、L=100 nm的孔道進行模擬，研究壓強梯度和濃度梯度對QW的影響；并與K-K模型計算的QW進行比較，其結(jié)果如圖4所示，為便于觀察對比，對QW進行絕對值處理，其中(ΔP/Δπ)<1時，溶液主流方向朝向濃度梯度方向；(ΔP/ Δπ) >1時，溶液主流方向朝向壓強梯度方向.從圖4(a)中可知，ΔP=105Pa, ( ΔP/Δπ )=0～40時，QW的模擬值和K-K模型計算值與Δπ-1呈非線性關(guān)系；當(dāng)壓強差與滲透壓差比值(即ΔP/Δπ)接近于1時，QW出現(xiàn)最小值，而ΔP/Δπ在0.6～1.5時，模擬值與K-K模型計算值之間存在一定的偏差，認(rèn)為由于系統(tǒng)誤差使得偏差出現(xiàn)，且該偏差可忽略不計.分析認(rèn)為溶質(zhì)濃度較小時，滲透壓隨之較小，此時較大，ΔP/Δπ導(dǎo)致膜孔中主流方向朝向壓力梯度方向，最大流速出現(xiàn)在膜孔中心區(qū)域，在近壁面處由于滑動邊界作用，隨著溶質(zhì)濃度的增加而逐漸出現(xiàn)與主流方向相反的流動，從而使得模擬值與K-K模型計算值之間偏差逐漸變大.溶液在管道中流動如圖5所示，其中箭頭方向即溶液流動方向、箭頭長度表示相鄰觀測點處速度值的相對大小、橫軸表示截選孔徑、豎軸表示截選長度.由圖5可知，溶液在管道中的速度分布由柱塞狀分布和拋物線分布疊加而成，疊加后的速度分布取決于不同條件下二者對流動的貢獻.溶質(zhì)濃度較大時，ΔP/Δπ較小，使得孔道內(nèi)主流方向朝向濃度梯度方向，最大流速出現(xiàn)在壁面表面處.由于動力粘性作用使得孔道中心的流速最小，此時孔道內(nèi)流動主要受濃度梯度作用.因此ΔP/Δπ越小，模擬值與計算值偏差越小.

圖4 水通量QW模擬值與K-K模型計算值隨ΔP/Δπ的變化規(guī)律：(a) ΔP恒定、Δc變化；(b) Δc恒定、ΔP變化Fig.4 Simulation of water flux value and calculation of K-K model value changes with ΔP / Δπ：ΔP is constant、Δc is changed;Δc is constant、ΔP is changed.

圖5 孔道流體流動隨ΔP/Δπ變化示意圖，ΔP/Δπ為：(a)0 (b)0.2 (c)1 (d)2 (e)∞Fig.5 Schematic diagram of changes fluid flow in pore with ΔP/Δπ, ΔP /Δπ equal：(a)0 (b)0.2(c)1 (d)2 (e)∞

從圖3(b)中可知，Δc=10 mol/m3, (ΔP/Δπ) = 0～40時，模擬值和K-K模型計算值均與ΔP呈非線性關(guān)系.ΔP/Δπ接近于1時，模擬值與K-K模型計算值同樣存在偏差并且達(dá)到最大，偏差分析類似圖4(a).

3.3 溶質(zhì)反向通量

滲透過程中不僅存在溶劑由濃度較低側(cè)向濃度較高側(cè)的滲透過程，同時存在著溶質(zhì)從濃度較高側(cè)向濃度較低側(cè)的反向輸運過程.研究表明[28]，溶質(zhì)的反向跨膜過程與溶劑的滲透過程相互制約.

在上述模型中，對Δc=10 mol/m3、 (ΔP/Δπ)=0.02 ～ 2時進行模擬并計算溶質(zhì)摩爾通量.經(jīng)擬合計算發(fā)現(xiàn)溶質(zhì)通量大小滿足以下方程：

JS_Diffusion/JS_Convective=1.8×10-4

(7)

JS_Total=-2.764 2(ΔP/Δπ)×10-8

(8)

式中JS_Diffusion表示溶質(zhì)擴散通量；JS_Convective表示溶質(zhì)對流通量；JS_Total表示溶質(zhì)總通量.結(jié)果表明，當(dāng)ΔP/Δπ=1(即水通量最小，接近為零)時，溶質(zhì)通量Jw不等于零且對流作用表現(xiàn)更顯著，其中負(fù)號表明溶質(zhì)由濃度較高側(cè)向濃度較低側(cè)流動.其結(jié)果與K-K模型中(2)式理論分析一致，即水通量QW為零時，依舊存在溶質(zhì)的反向滲透.

3.4 滲透作用力及孔道內(nèi)壓強分布

對于進出口兩側(cè)Δc≠0，ΔP=0時，即膜孔兩側(cè)僅存在濃度差，不存在水力學(xué)壓差，此時膜孔軸線處壓強分布如圖6(a)所示.結(jié)果表明，遠(yuǎn)離孔道進出口處，溶質(zhì)濃度基本維持恒定，壓強梯度幾乎為零.但在溶液進入或流出膜孔時均產(chǎn)生階躍現(xiàn)象即壓強存在急劇變化，主要原因是在進出口附近由于孔道內(nèi)外尺寸的劇烈變化而在孔道軸線方向上出現(xiàn)溶質(zhì)濃度梯度，從而表現(xiàn)出滲透壓.此外，溶質(zhì)濃度在進口側(cè)高于出口側(cè)，因此表現(xiàn)出高于遠(yuǎn)離孔道進口處的壓強；在出口側(cè)，由于孔道內(nèi)溶質(zhì)濃度高于孔道外部溶質(zhì)濃度，從而在孔道內(nèi)靠近出口側(cè)表現(xiàn)出負(fù)壓現(xiàn)象.而在孔道內(nèi)部，由于溶質(zhì)濃度梯度恒定，根據(jù)Van′t Hoff方程可知其壓強梯度也同樣恒定，即孔道內(nèi)壓強呈線性分布.隨著Δc的減小，溶質(zhì)濃度梯度也在減小，因此出現(xiàn)壓強梯度減小.該模擬結(jié)果同Soodak等[10]的理論分析相一致.

當(dāng)進出口兩側(cè)僅存在水力壓強差且大小等于上述滲透壓差時，孔道軸線處壓強分布如圖6(b)所示.遠(yuǎn)離進出口處，壓強梯度恒定為零，原因是在該區(qū)域內(nèi)不發(fā)生溶質(zhì)濃度和邊界變化，使得壓強值恒定.在孔道出入口處，由于溶質(zhì)濃度梯度為零，因此不表現(xiàn)出如圖6(a)中的階躍現(xiàn)象.而在孔道內(nèi)，由于進口處壓強較大、出口處壓強較小，且其流動屬于層流，因此壓強呈線性分布.此外，ΔP的作用主要體現(xiàn)在孔道內(nèi)部，因此ΔP越大，沿孔長方向的壓強梯度也越大.

從上述兩模擬結(jié)果可知，無論是滲透壓作用還是水力壓強差作用，其都會使得孔道內(nèi)部壓強呈現(xiàn)線性分布，但呈現(xiàn)這種線性分布的來源有所不同.而孔道外部區(qū)域邊界條件和溶質(zhì)濃度都不發(fā)生變化而呈現(xiàn)出壓強梯度為零的分布.

滲透過程中，系統(tǒng)本身受到諸多作用力，包括：水力壓強差作用、化學(xué)滲透作用、溫度梯度作用、電勢作用等[29].考察進出口兩側(cè)Δc≠ 0，ΔP=0時，邊界受力情況，并與僅水力壓強差存在、無滲透作用時比較.結(jié)果表明，當(dāng)進出口兩側(cè)ΔP=0時，由于Δc≠0，使得低濃度側(cè)溶劑在滲透壓作用下向高濃度側(cè)發(fā)生運動.此時兩側(cè)邊界受力相同，但在入口處附近小范圍存在較大梯度，其表觀現(xiàn)象為在滲透壓作用下邊界位移不明顯，同引言中Leraand和Kiil關(guān)于滲透壓作用下孔壁發(fā)生位移的結(jié)論相一致.

當(dāng)進出口兩側(cè)物質(zhì)濃度相同即不存在濃度梯度時，ΔP由Van′t Hoff方程設(shè)置為相當(dāng)于僅存在物質(zhì)濃度差Δc時對應(yīng)的壓強差時，從圖6(b)可看出孔道進出口處存在壓強差，表明進出口兩側(cè)受力不等使得系統(tǒng)綜合受力不為零，且主要取決于壓強較大處邊界的受力情況，其表觀現(xiàn)象為在水力壓強差作用下系統(tǒng)位移較明顯.同引言中Leraand和Kiil關(guān)于水力壓強差作用下孔壁發(fā)生位移的結(jié)論相一致.上述結(jié)論在邊界總應(yīng)力分布中同樣得到驗證，如圖7所示.

圖6 軸線處壓強分布:(a)Δc≠0、ΔP=0；(b)Δc=0、ΔP≠0及Δc=9、ΔP= 0時濃度分布Fig.6 The distribution of pressure at the axes:(a)Δc≠0、ΔP=0；(b)Δc=0、ΔP≠0 The distribution of concentration：Δc=9、ΔP=0

圖7 孔道邊界總應(yīng)力示意圖(a)Δc≠0、ΔP=0；(b)Δc=0、ΔP≠0 Fig.7 Schematic diagram of total stress at the hole boundary(a)Δc≠0、ΔP=0；(b)Δc=0、ΔP≠ 0

此外，還可同無滑移邊界條件下的壁面位移變化情況進行對比.無滑移邊界情況下，孔道中壁面不存在正應(yīng)力，即壁面上的總應(yīng)力僅包括切應(yīng)力，且沿壁面方向.無論在水力壓強差還是滲透壓差作用下，孔道中壁面均不會發(fā)生變化.而存在滑移邊界條件時，由于壁面所受的總應(yīng)力由正應(yīng)力和切應(yīng)力兩部分組成，使得孔道隨著滲透作用的進行，進口側(cè)在向孔道外側(cè)的正應(yīng)力作用下逐漸向兩側(cè)拓寬，而出口側(cè)在向孔道中心的正應(yīng)力作用下逐漸中心軸線處收縮.該結(jié)論對于管流狀態(tài)下滲透現(xiàn)象在工業(yè)應(yīng)用中具有重要的借鑒作用.

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié)論

基于Comsol Multiphysics多物理場耦合軟件建立了修正的滲透模型.

(1)通過對K-K模型中溶質(zhì)反射系數(shù)σ、純水通量及溶質(zhì)通量的模擬驗證了模型的可靠性.所建模型較K-K模型的優(yōu)勢在于物理意義明確，如通過模擬發(fā)現(xiàn)溶質(zhì)的反向滲透并不是一個獨立因素，其本質(zhì)是對流和擴散綜合作用的結(jié)果.

(2)滑移系數(shù)cslip的引入，一方面在于凸顯化學(xué)勢驅(qū)動過程屬于非平衡熱力學(xué)問題，另一方面在于理解孔道變形問題.在水力學(xué)壓差作用下，孔道外壁面將被壓縮，而內(nèi)壁面將向兩側(cè)擴張，其結(jié)果在于孔道變寬，但滲透壓作用并不引起外壁面的變形，且內(nèi)壁面進出口兩側(cè)發(fā)生反向變形.本文研究所得cslip值同鄭旭等人[30]研究Janus顆粒自驅(qū)動機理所采用的cslip值數(shù)量級相當(dāng)，從而證明本研究所建模型的合理性，同時有助于理解滲透壓概念，滲透壓并不等同于水力壓差，且滲透壓是滲透現(xiàn)象發(fā)生的結(jié)果，而不是滲透現(xiàn)象發(fā)生的原因.

(3)該模型對壓強分布的預(yù)測還可以解釋一些宏觀物理現(xiàn)象.盡管對邊界滑移條件的形成機理以及滑移系數(shù)的確定還值得商榷，但該模型在一定程度上得到符合直觀物理現(xiàn)象的解，為滲透現(xiàn)象與其他基礎(chǔ)學(xué)科交叉的研究提供工具，而這種交叉更有利于對滲透現(xiàn)象物理本質(zhì)的理解.

4.2 建議

盡管采用CFD方法建模，但仍為三參數(shù)模型，分別采用溶液動力粘度μ、溶質(zhì)擴散系數(shù)D、壁面滑移系數(shù)cslip.盡管采用基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，但仍有必要采用分子動力學(xué)方法，從分子間相互作用角度進一步解釋壁面滑移系數(shù)對系統(tǒng)傳輸性能的影響.滲透壓與水力壓強對邊界作用力情況完全不一樣，可以從該角度探索材料的溶脹現(xiàn)象.此外，盡管通過引入cslip值來研究滲透現(xiàn)象，但式(6)表征的是存在濃度梯度時的滑移速度，暫不能表征純?nèi)軇r的滑移速度，速度滑移方程還有待繼續(xù)完善.因此，在后續(xù)研究中，還可針對恒定流和非恒定流進行研究，探索不同時間尺寸壁面滑移系數(shù)、溶質(zhì)反射系數(shù)等參數(shù)變化對滲透作用的影響，為滲透系統(tǒng)優(yōu)化提供理論依據(jù)，同時為其他新領(lǐng)域[11,12-14,31,32]的研究提供借鑒.

[1] 王曉琳.反滲透和納濾技術(shù)與應(yīng)用[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社,2005：1-2.

WANG Xiaolin. Application of reverse osmosis and nanofiltration[M]. BeiJing: Chemical Industry Press, 2005:1-2.

[2] Van′T Hoff J H. Die Rolle des osmotischen druckes in der analogie zwischen l?sungen und gasen[J]. Z. phys. Chem. 1887, 1(9): 481-508.

[3] SOURIRAJAN S. Mechanism of demineralization of aqueous sodium chloride solutions by flow, under pressure, through porous membranes[J]. Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals, 1963, 2(1): 51-55.

[4] LONSDALE H K, MERTEN U, RILEY R L. Transport properties of cellulose acetate osmotic membranes[J]. Journal of Applied Polymer Science, 1965, 9(4): 1341-1362.

[5] GUELL D C, BRENNER H. Physical mechanism of membrane osmotic phenomena[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 1996, 35(9): 3004-3014.

[6] 馬學(xué)虎, 范文霞, 潘廣生, 等. 冷凍保護劑導(dǎo)入細(xì)胞過程的模擬和優(yōu)化[J]. 熱科學(xué)與技術(shù), 2008, 7(4): 324-330.

MA Xuehu , FAN Wenxia, PAN Guang sheng et al. Modeling and optimization of process of cryoprotective agent addition[J]. Journal of Thermal Science and Technology, 2008, 7(4):324-330.

[7] STAVERMAN A J. The theory of measurement of osmotic pressure[J]. Recueil des Travaux Chimiques des Pays-Bas, 1951, 70(4): 344-352.

[8] KLEINHANS F W. Membrane permeability modeling: Kedem-Katchalsky vs a two-parameter formalism[J]. Cryobiology, 1998, 37(4): 271-289.

[9] KIIL F. Mechanism of osmosis[J]. Kidney Int, 1982, 21(2): 303-308.

[10] SOODAK H, IBERALL A. Osmosis, diffusion, convection[J]. American Journal of Physiology-Regulatory, Integrative and Comparative Physiology, 1978, 235(1): 3-17.

[11] 何文博. 植物內(nèi)水分傳輸機理與模擬研究[D].西安：西安建筑科技大學(xué). 2009.

HE Wenbo. Water transport mechanism and simulation in plant [D]. Xi′an：Xi′an Univ. of Arch. and Tech.. 2009.

[12] 劉翠紅. 集成滲透作用微泵的微流控芯片細(xì)胞灌注式培養(yǎng)的研究[D]. 沈陽：東北大學(xué), 2009.：6-12.

LIU Cuihong. An on-chip integrated pump based on osmosis effect for perfusion cell culture [D]. Shenyang: Northeastern University, 2009:6-12.

[13] CóRDOVA-Figueroa U M, BRADY J F. Osmotic propulsion: the osmotic motor [J]. Physical Review Letters, 2008, 100(15): 158303.

[14] 崔海航, 譚曉君, 張鴻雁, 等. 自驅(qū)動 Janus 微球近壁運動特性實驗與數(shù)值模擬研究[J]. 物理學(xué)報, 2015, 64(13): 134705.

CUI Haihang , TAN Xiaojun , ZHANG Hongyan , et al. Experiment and numerical study on the characteristics of self-propellant Janus microspheres near the wall [J]. Acta Physica Sinica, 2015, 64(13):134705.

[15] BOCQUET L, BARRAT J L. Flow boundary conditions from nano-to micro-scales[J]. Soft Matter, 2007,3(6): 685-693.

[16] GAD-EL-HAk M. Flow physics in MEMS[J]. Mécanique & Industries, 2001, 2(4): 313-341.

[17] WATANABE K, MIZUNUMA H. Slip of newtonian fluids at slid boundary[J]. JSME International Journal Series B Fluids and Thermal Engineering, 1998, 41(3): 525-529.

[18] HEINBUCH U, FISCHER J. Liquid flow in pores: slip, no-slip, or multilayer sticking[J]. Physical Review A, 1989, 40(2): 1144-1146.

[19] 曹炳陽, 陳民, 過增元. 納米通道內(nèi)液體流動的滑移現(xiàn)象[J]. 物理學(xué)報, 2006, 55(10): 5305-5310.

CAO Bingyang , CHEN Min , GUO Zengyuan. Velocity slip of liquid flow in nanochannels [J]. Acta Physica Sinica, 2006, 55(10):5305-5310.

[20] 吳承偉, 馬國軍, 周平. 流體流動的邊界滑移問題研究進展[J]. 力學(xué)進展, 2008, 38(3): 265-282.

WU Chengwei , MA Guojun , ZHOU Ping. A review of the study on the boundary slip problems of fluid flow[J]. Advances In Mechanics, 2008, 38(3):265-282.

[21] 凌智勇, 劉勇, 莊志文, 等. 界面性質(zhì)對流動滑移特性影響的實驗研究[J]. 潤滑與密封, 2007(12): 104-105.

LING Zhiyong , LIU Yong , ZHUANG Zhiwen ,et al. Experimental study of the characteristic of fluid slip in hydrophilic and hydrophobic microchannels [J]. Lubrication Engineering, 2007(12):104-105.

[22] AJDARI A, BOCQUET L. Giant amplification of interfacially driven transport by hydrodynamic slip: Diffusio-osmosis and beyond [J]. Physical Review Letters, 2006, 96(18): 186102.

[23] KARNIADAKIS G E, BESKOK A, ALURU N. Microflows and nanoflows: fundamentals and simulation[M]. New York: Springer Science & Business Media, 2006.

[24] JACOB N I. Intermolecular and surface forces[M]. San Diego: Academic, 1992.

[25] BOCQUET L, CHARLAIX E. Nanofluidics, from bulk to interfaces[J]. Chemical Society Reviews, 2010, 39(3): 1073-1095.

[26] CARDOSO S S S, CARTWRIGHT J H E. Dynamics of osmosis in a porous medium[J]. Royal Society Open Science, 2014, 1(3): 140352.

[27] 王曉琳, 中尾真一. 低分子量中性溶質(zhì)體系的納濾膜的透過特性[J]. 南京化工大學(xué)學(xué)報, 1998, 20(4): 36-40.

WANG Xiaolin, NAKAO Shinichi. Permeation performance of nanofiltration membranes for systems of aqueous solutions of neutral solutes with low molecular weight[J]. Journal of Nanjing University of Chemical Technology, 1998, 20(4): 36-40.

[28] 謝朋, 張忠國, 孫濤, 等. 正滲透過程中汲取質(zhì)反向滲透研究進展[J]. 化工進展, 2015, 34(10): 3540-3550.

XIE Peng, ZHANG Zhongguo, SUN Tao, et al. Research progress of reverse draw solute permeation in forward osmosis process[J]. Chemical Industry and Engineering Progress, 2015, 34(10): 3540-3550.

[30] 鄭旭,崔海航,李戰(zhàn)華. Janus球形微馬達(dá)的自驅(qū)動機理研究:自擴散泳動與微氣泡推進[J]. 科學(xué)通報, 2017, (Z1):167-186.

ZHENG Xu, CUI Haihang, LI Zhanhua. The mechanisms of the self-propelled spherical Janus micromotor: Self-diffusiophoresis and microbubble propulsion[J]. Bulletin of Science and Technology, 2017, (Z1):167-186.

[31] NIJS B, BLAADEREN A, ROELAND J M, et al. Fuel concentration dependent movement of supramolecular catalytic nanomotors[J]. Nanoscale, 2013, 5(4): 1315-1318.

[32] LIU C, ZHOU C, WANG W, et al. Bimetallic microswimmers speed up in confining channels[J]. Physical Review Letters, 2016. 117(19): 198001.