基于一道考試題引發(fā)的思考

李衛(wèi)超

摘要：數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，但是如果只是一味的解題，缺乏解題后的反思，容易掉進(jìn)題海戰(zhàn)術(shù)的漩渦，反而得不償失.本文從一道高三期中考試題的解題過程出發(fā)，探究在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如何引導(dǎo)學(xué)生高效的復(fù)習(xí)，并重視反思的重要性，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效率.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；反思；數(shù)學(xué)思維

以題為鏡，可以檢驗知識的掌握程度，解題后反思，以題為型，可以變化出眾多問題，既反映了知識的探究程度，也能鍛煉數(shù)學(xué)思維能力，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)尤為重要。本文從一道考試題出發(fā)來闡述，敬請同行批評指正.

案例（蘇州高三期中考試題）已知 ，則 的最小值為

本題考查在限制條件下，求分式的最值問題.對于此題，一般情況下是消元，將變量減少，轉(zhuǎn)化為可以利用函數(shù)的知識解決問題.具體解答過程如下：

解：由 ，可得 ，又因為 ，所以

令 ，則本題目就轉(zhuǎn)化為當(dāng) 時，求 的最小值問題，我們可以利用導(dǎo)數(shù)的知識來求解.

當(dāng) 時， ，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞減；當(dāng) 時， ，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，故函數(shù) 在 時取得極小值并且也是最小值，計算得到 ，即分式 的最小值為 .

在有限時間的考試過程中，利用函數(shù)知識正確解答本題需要花費較多的時間，尤其是在求 的導(dǎo)函數(shù)過程中，鑒于學(xué)生的運算能力較弱，很容易出錯，一旦中間出現(xiàn)錯誤，則本題就勞而無獲了，甚是遺憾.為了能夠讓學(xué)生更容易做出此題，減少錯誤，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，有意識的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，結(jié)合已有知識，能否從另外的角度去思考問題，這樣有利于鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力.

本題的解答過程我們利用了函數(shù)的知識，結(jié)合已學(xué)的內(nèi)容，我們也可以利用基本不等式來求最小值.基本不等式又稱均值不等式，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是每年高考數(shù)學(xué)考察的熱點內(nèi)容之一，在江蘇高考中是C級要求.它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的每個章節(jié)，但是在實際應(yīng)用上一般限定在求最值，判斷、證明等.

（基本不等式）如果 ，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立.

對于本題我們利用基本不等式的解答如下：

由 ，可得 ，所以 ，觀察這個分式的分母，結(jié)合已知條件，我們可以將分式變形為

此時發(fā)現(xiàn)，這個分式兩個分母相加為一個常數(shù)，即由 ，則 ，原分式可變形為

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.聯(lián)立 ，可知 ，因此我們可以求出分式 的最小值為 .

利用基本不等式能夠順利的求解此種類型的最值問題，在解答過程中通過觀察分母，發(fā)現(xiàn)兩者相加等于一個常值，這樣就能夠充分利用“1”的妙處，恰到好處的轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求解問題.教學(xué)過程中學(xué)生可能會產(chǎn)生一個疑問，這樣的解題方法能否成為同種類型題目的通性解法呢？我們可以及時給出兩道同類型題目讓學(xué)生自主思考和解答.

演練1 若 ，且 ，則使得 取得最小值時實數(shù) 的值為

演練2 已知 ，且 ，則 的最小值為

在配湊時要善于觀察形式，結(jié)合已知條件和分式中的兩個分母，學(xué)生通過系數(shù)的調(diào)整能夠配湊出定值“1”.對于演練1，學(xué)生都能夠構(gòu)造出 ，而對于演練2，學(xué)生也都能夠構(gòu)造出 ，從而能夠順利完成這兩道題的解答.

通過一題多解以及解題后的反思，不僅讓學(xué)生學(xué)會了一種問題的考慮角度不同，解答方法也不盡相同，而且更重要的是讓學(xué)生能夠及時反思，并且通過反思帶來學(xué)習(xí)的樂趣，增強了學(xué)習(xí)的信心.

在高中整個學(xué)習(xí)過程中，反思應(yīng)該貫穿始終，只有經(jīng)過自己不斷地反思，學(xué)習(xí)效果才會高效率.我覺得反思應(yīng)該從以下幾個方面做起.

一、反思審題，正確認(rèn)知

審題是解決一道問題的前提，只有對題目中的已知量，未知量心中有桿秤，才能下手.然而學(xué)生往往審題不仔細(xì)，就匆忙下手，結(jié)果可想而知，同時也反映出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的心浮氣躁的秉性.

比如，已知集合 ，若 中只有一個元素，求 的值.從考試解答情況來看，本題大部分同學(xué)的解答結(jié)果都是 ，同學(xué)們在解答的時候默認(rèn)集合 中的元素就是一元二次方程 的根，殊不知當(dāng) 時，它不再是一元二次方程，而是一元一次方程了，故要對 是否等于 進(jìn)行討論.

再比如，求函數(shù) 的定義域.這是一道?？碱}型，但學(xué)生的錯誤率還是極高，究其原因還是審題不清.學(xué)生都能夠想到 ，但卻忽略了對數(shù)的真數(shù)要大于 這個隱性條件.

由此可見數(shù)學(xué)審題在數(shù)學(xué)解題中處于一個非常重要的地位.這就要求我們老師在平時教學(xué)中要多花時間去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行審題方面的指導(dǎo)，面對問題要多問個為什么，這道題考察了什么知識點，有哪些需要注意的等等.這樣操作不僅能夠提高解題速度，更重要的是減少不必要的失分.

二、反思方法，破解定勢

解題方法的選擇是決定成敗的關(guān)鍵.正確的選擇方法，能夠在最短的時間內(nèi)，完成解題.選擇的方法不當(dāng)，則計算繁瑣或者根本就解不出來.這在平時的教學(xué)中要適時的引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法的選擇.

比如，已知復(fù)數(shù) 的模為 ，求 的值.學(xué)生看到此題，由于思維定勢的影響，往往是先把復(fù)數(shù) 化為代數(shù)式，即讓這個分式的分子、分母同時乘以分母的共軛 ，但這樣做，運算量很大，花費的時間也多，正確率也不高，所以要反思一下，方法是不是不對，有什么更好的方法呢？老師就要破解學(xué)生的思維定勢，加以正確的引導(dǎo).要求復(fù)數(shù) 的模，我們可以這樣做： ，則 .

這樣的例子還有很多，所以在解題中要對解題過程進(jìn)行反思，從失敗的教訓(xùn)中找出解答問題的利劍，對錯誤加以糾正，對提高學(xué)生對知識的把握能力有很大的進(jìn)步.

三、反思拓展，鍛煉思維

反思拓展顧名思義就是指在解題后，思考能否將題目中的條件適當(dāng)?shù)母淖?，以及改變后題目的解答方法是否與原題目有本質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系，或者會得到什么新的結(jié)果.這樣通過反思發(fā)現(xiàn)規(guī)律，既拓展了知識的應(yīng)用能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

比如，當(dāng) 時，求 的最小值，我們可以將其做以下幾種變式練習(xí).變式 、當(dāng) ，求 的最大值；變式 、當(dāng) ，求 的最小值；變式 、

當(dāng) ，求 的最小值；變式 、當(dāng) ，求 的最大值.通過對一道題目的深入的探究學(xué)習(xí)、變式練習(xí)，不僅讓學(xué)生對基本不等式有了更深刻的理解，而且讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題的活力四射，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和動力.

總而言之，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果多重視些解題后的反思，對解題活動進(jìn)一步構(gòu)建，是進(jìn)一步提高和升華的過程，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識有很大的益處，同時能夠逐步培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、積極探究的習(xí)慣，并教會學(xué)生懂得如何學(xué)好數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.

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